例说发展初中学生直观想象素养*——以2020年广州市初中毕业生学业考试试题为例

广东省广州市白云区教育研究院(510050) 雷珮瑛

1 对直观想象内涵的理解

2017年教育部颁发的《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下文简称为“普高课标(2017年版)”)明确指出:直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.直观想象可以理解为主体在空间形式特别是图形等刺激物的影响下,把新编码临时存储的表象与过去存储的若干表象进行比较、选择、分解、整合加工改造形成新表象的过程.这种借助几何直观和空间想象的个性化改造通常能把主体直接带到事物的本质.可见,直观想象素养的发展并不是一蹴而就的,可能从初中、小学甚至学前就开始了.为此,初中阶段要重视发展学生的直观想象素养.

2 发展直观想象的必要性

《普通高中数学课程标准(2017年版)》把直观想象素养划分成了三个水平,是从情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思这四个方面开展描述的.史宁中教授认为这三个水平中,水平一是高中毕业应当达到的要求,水平二是高考的要求,水平三是学生学完选修、选择性必修和选修课程的相应内容应该达到的要求.《义务教育数学课程标准(2011年版)》虽然没有提到直观想象素养,但是明确陈述了几何直观与空间观念的内涵,其中几何直观的含义与“普高课标(2017年版)”中的基本一致;而空间观念则与空间想象对应,前者是后者的低级阶段.两个学段对学生直观想象素养发展的要求是一脉相承的.国内相关研究表明,初中阶段是学生直观想象素养的高速发展期.为考察学生的直观想象素养2020年广州市初中毕业生学业考试(下文简称为“广州中考”)的试题中,第2 题,第4～11 题,第15 题,第18 题,第21 题,第23,第25 题,共12 题与直观想象素养相关,占全卷25 题的48%,这种命题导向充分说明了发展直观想象素养是初高衔接的重要组成部分.

3 关于发展直观想象的思考

直观想象依赖于图形刺激所生成的临时表象,也依赖于过去储存的若干表象.它为问题解决带来新表象.直观想象还受到情感态度价值观的影响,如学生借助图形解决问题的意愿是否强烈,学生是否持有运用直观想象的自信,学生在解决数学问题的过程中,遇到挫折时能否运用元认知适当调整认知策略等,这些都会影响其直观想象素养发展的进程.下面以四道2020年广州中考题为例进行说明:

3.1 以图获信,提升自信

例1(2020年广州中考第2 题)某校随机抽取了100 名学生,对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查(每人选一种),绘制成了如图1 的条形统计图,根据图中信息,学生最喜欢的套餐种类是(*).

图1

A.套餐一 B.套餐二 C.套餐三 D.套餐四

要求学生读条形统计图,比较等宽长方形的面积大小(转化为比较长方形高的大小),寻找“最喜欢的套餐种类”,通过读图直接获取答案,让学生领悟读图能获取破题相关的信息.在考试的起始阶段,给予学生解决问题所需的积极心理暗示.这种积极的心理因素,正是运用直观想象解决数学问题的必要条件.

3.2 以图抗挫,磨砺心志

例2(2020年广州中考第10 题)如图2,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE ⊥AC,交AD于点E,过点E作EF ⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为(*).

图2

在问题解决的过程中,学生偶尔会遇到挫折.如解例2 时,在“化曲为直”(即把折线段转化为线段)求折线长时遇挫,可适时启动元认知系统,打破前期的信息整合,再聚焦特殊的位置关系“垂直”,尝试等积法:SΔAOD=SΔAOE+SΔEOD,从而觅得破题的路径可见,元认知系统调控破立,在运用直观想象,解决数学问题的过程中,起着关键的作用.

3.3 以图降阶,工具降等

初中学生的认知发展处于形式运演阶段[3],用具体运演思维进行思考已经轻车熟路.在解决问题的过程中,可通过画示意图,借用直观想象,把学生带回具体运演思维.

例3(2020年广州中考第23 题)粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作,无人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9000 万元改装260 辆无人驾驶出租车投放市场,今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50 万元,预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%.(1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元;(2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆.

该题的通解通法是列方程.笔者尝试用图形进行分析,如图3,假设全部车辆由明年改装,则9000 万元能改装,超出计划360-260=100(辆).为保持总改装费不变,需在360 辆的基础上减少改装车辆的数目.把明年改装2 辆车的费用,用于今年改装1 辆车,这样总改装费不变且改装车辆的总数减少1 辆.现需在360 辆的基础上,减少360-260=100(辆),则今年应改装100 辆,明年应改装260-100=160(辆).

图3

以拼图游戏的形式,用三角形和长方形的面积表示今、明两年改装车辆单价之间的倍数关系,引导学生运用具体运演思维解决问题,不但提高学生学习数学的兴趣,而且能提高学生知识内化的效率.

3.4 以图通达,直探本质

例4(2020年广州中考第24 题)如图4,⊙O为等边ΔABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧AB上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC.(1)求证:DC是∠ADB的平分线;(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗?如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由.

图4

解第(1)小题时,若能从圆内接等边三角形中,看到三等分圆周,问题就迎刃而解.直观想象是巧解数学问题的直通车,能帮助学生直达问题的本质.能否运用直观想象迅速地探求问题的本质,这既受个性化的思维习惯影响,又依赖于丰富的数学活动经验.如何发展学生直观想象很值得教师们深入思考.

3.5 以图构思,弘扬个性

直观想象是对表象极具个性化的重构,同一数学问题,不同的学生会生成不同的表象,经过逻辑推理后形成不同的解法.如例4 第(2)小题(第24 题第(2)小题)的通解通法是割补法,沿CD把四边形ADBC“割”开后,“补”的方法有“旋转”、“截长补短”和“等积変换”等.

第一类方法:如图5,转化为等边三角形的面积.(1)旋转:抓住CA,CB“共端点,等边长,夹60°角”,把ΔBCD绕点C按时顺针方向旋转60°,可把四边形ADBC的面积转化为等边ΔCDE的面积.(2)抓住CA=CB,∠CBD=∠CAD的邻补角,构造全等三角形:截长补短(延长DA至点E,使AE=BD);等积変换(作∠ACE=∠BCD,CE交DA延长线于点E)……

图5

第二类方法:如图6,转化为两个关于CD对称的直角三角形面积和.(1)旋转:抓住点C到DA,DB的距离CN,CM相等,把RtΔACN绕点C按逆时针方向旋转,得到RtΔBCM,可把四边形ADBC的面积转化为RtΔCDM与RtΔCDN的面积和;(2)构造全等三角形的方法与第一类方法的类似……,学生通过读图、识图、辩图形成的新表象各异,因此,呈现解法“百花齐放”.

图6

发展直观想象素养是数学教学的终极目标之一.“以图获信”、“以图抗挫”、“以图降阶”、“以图通达”和“以图构思”是发展学生直观想象素养的手段.本文仅对2020年广州中考部分试题在发展直观想象素养方面的效能进行了分析,如何在教学中发展学生直观想象素养,还需要更深入地研究.