国际文凭数学课程改革的特点分析及其启示

马 峰

党的“十八大”提出了教育“立德树人”的根本任务，同时，教育部提出了“核心素养”以及“学科核心素养”的概念。近年来，我国数学课程标准的修订是在以上重要原则和背景下进行的。

从时间线上来看，2003年，我国《普通高中数学课程标准（实验稿）》（下文简称《标准（实验稿）》）公布，此后各省市先后进行了十多年的实践。在此基础上，2013年起，根据实验结果对2003年的《标准（实验稿）》进行修订，①张奠宙. 《普通高中数学课程标准》的回顾与展望[J]. 中学数学月刊, 2013(3): 1-3.直到2017年《普通高中数学课程标准（2017年版）》的出台。后于2020年再次进行了修订，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称《新标准》）问世，后续没有出台明确的改革日程表。但是，按照惯例，课程标准实施10年以后就要进行修订。②史宁中. 高中数学课程标准修订中的关键问题[J]. 数学教育学报, 2018(1): 8-10.

相关文献③王尚志, 胡凤娟. 高中数学课程标准“修订思路”“组织”及“过程”[J]. 数学教育学报, 2018(2): 11-13.指出，我国此轮高中数学课程《新标准》的修订经历了7个阶段，包括基础研究与调研、凝练数学学科核心素养、优化课程结构与精选课程内容、研制学业质量标准与划分核心素养水平、基于数学核心素养的评价与命题的可行性研究、明确数学课程标准实施的突破点、打磨与完善数学课程标准。在这个过程中，修订组不仅认真考虑了社会、科学技术的发展对教育的影响，也认真研究了国际教育、课程、数学课程发展的特点、趋势、经验和问题。

国际文凭（International Baccalaureate Diploma Program，后文简称IBDP）是一个由国际文凭组织（International Baccalaureate Organization, 简称IBO）开发的一套完整的高中最后两年的课程体系，诞生于1968年，目前已经有五十多年的历史，它是受到包括美国、英国等国家和地区高水平大学认可的国际主流课程之一。IBDP数学课程改革的经验一直为我国的课程改革所借鉴，比如，我国《标准（实验稿）》和《新标准》中的“数学探究活动”和“数学建模活动”都与IBDP数学旧版课程中的内部评价方式名称完全一致，但自2014年起，IBDP数学课程中的内部评价已经取消原先“数学探究”和“数学建模”的说法，统称“数学探索”。

以“IB数学”“国际文凭数学”“国际文凭”“国际课程”为关键词在知网进行搜索，相关文献的主要观点分三个方面：

第一个方面是强调我国课程和国际文凭课程各自的优势。比如，我国强调“训练学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的客观认知性教学，强调类比与转化的数学思想，有利于短期提升学生终结性评估成绩的效果，但对数学模式调研、学术交流及解决现实问题的要求尚不高”, “IBDP的教育行为……侧重学生的数学建模、直观想象和数据分析能力，对学生主动参与学习，通过自我探究……解决各种（熟悉或不熟悉）问题的要求较高。”④张翼飞. 澳大利亚IB数学教材与我国高中人教版教材的比较研究[J]. 数学教学, 2019(12): 4-8.“国内基础教育改革的方向同IB国际课程的内核不谋而合，尤其在教育理念、学习方式、评价体系上都有着相同的指向性。在学生已有知识的基础上开展探究学习，培养科学的学习方法，强调多元化的评估方式，这些都是IB国际课程以学生为中心理念的明确体现，同我国基础教育改革的方向也不谋而合”。⑤高婧. 国际文凭课程现状及其本土化实施路径[J]. 第二课堂, 2020(7): 80-81.“ 2014新版IB内部评价较之于以前所有版本的革命性变化在于让学生自己选题。这更能激发学生学习数学的热情，调动学生的积极性，并培养了他们发现问题的能力。学生在选题、完成的过程中也培养了风险意识和风险评估、控制的本领，这些都是学生将来进一步发展越来越需要的能力。最新的评价标准对于学生的影响可以用激发兴趣、挖掘潜能和培养创造力来进行简单的概括”。①马峰. 激发兴趣 挖掘潜能 培养创造力−−评IB数学内部评价的最新演变[J]. 数学通报, 2017(12): 27-32, 36.

第二个方面是在对比中强调国内高中课程的不足之处。比如，“我国高中所开设的校本课程很少能涉及跨学科的综合课，这在很大程度上造成了学生知识面窄，综合知识贫乏，综合能力不强的状况。高中生的学习强度在全世界首屈一指，但机械的应试训练、缺少对学生批判性思维和创新精神的培养，使得学生的个性缺乏发展的空间”。②熊万曦. 美国高中国际文凭课程发展研究[J]. 比较教育研究, 2015(3): 30-36.“ 国内基础教育也越来越强调学生进行自主研究性学习的能力，但受诸多因素的制约, 国内自主研究性学习的教与学的氛围还远未形成。IB 课程作为国际主流课程体系之一，其学生报告作为内部评估的做法似乎可以给我们一点启示。当然如何去借鉴它的做法，还要花大气力去研究，不能简单地照搬，必须考虑到国内基础教育的具体情况”。③马峰. 实例简析IB数学报告的要求和特点[J]. 数学通报, 2010,(4): 21-24.

第三个方面是强调要对IB课程进行研究和加以借鉴。比如，“我国对IB课程的引入和本土化要将重点放在研究其内核，深化我国课程改革上”。④高婧. 国际文凭课程现状及其本土化实施路径[J]. 第二课堂, 2020(7): 80-81.“ 我国高中课程改革可以借鉴IBDP高中数学的做法，积极主动地激励增加课程的探究性并建立相应的激励机制进行推动。尝试关注高中课题研究和探究式学习，建立起相应的激励评价机制；尝试关注与学科课程和日常生活紧密联系的课题研究，树立起科学精神；尝试通过教材和教学内容设计来培养学生的科学探究精神。高中数学课程也应当增加课程科目和层次的可选择性。运用数字信息技术，改变教学方式，开展课程的内部评价模式，全面评估学生发展。扩展高中数学课程内容，充分与大学专业课程内容衔接”。⑤徐慧新, 项亚光. IBDP数学课程与普通高中数学课程的比较与启示[J]. 外国中小学教育, 2015(7): 53-59.

一、IBDP数学课程改革的理念

数学课程是IBDP课程中的一门必修课程。IBDP课程每七年进行一次大纲的周期性修订，以保持其课程与最新教育思想和理念接轨，确保其在世界范围内课程的领先性。

自诞生以来，IBDP数学课程经历了多轮周期性的大纲修订，最近一次修订的大纲版本的首次实施时间为2019年8月，首次实施新大纲考试的时间为2021年5月。本轮修订为IBDP20年来数学课程改革幅度最大的一次。IBO发布的报告称，IBDP数学的发展意味着它在满足2019年至2028年学生高中数学学习需求的同时，仍然保持着相关性和严格性，届时下一个开发周期将完成，并且将发布该课程的后续新版本。IBDP数学的变化为更多的学生提供了更多选择，并为学校在实施分组教学、安排课程以及教授技能和内容等方面提供了更大的灵活性。此次数学大纲修订尤其强调，批判性思维正变得越来越有价值，特别是随着技术的进步使某些传统技能变得多余。在数学学习的背景下讨论批判性思维是指培养学生如下能力：认识到可以在何处使用数学，理解并整合技术文档，对熟悉和不熟悉的情况应用相关的数学方法，构造逻辑论点，具有风险意识，理解技术和数学可以携手并进，能解释解决方案的含义和相关性，等等。IBDP数学将重点发展分析、抽象和归纳、风险意识和统计素养、算法思维、建模和探究技能。IBDP数学课程的最新修订正是基于以上基本想法。

IBDP课程每七年进行改革的周期规律可以总结如下：

可以看出，IBDP课程改革具有极强的规律性，新课程投入使用之后立即启动新一轮改革的调研，每七年必定进行课程调整和改革。国内课程的改革不具有显著的规律性，按照成熟一个，稳定一个的策略进行，并尽可能延长《新标准》的生命周期。如《标准（实验稿）》其生命周期跨度将近20年（2003−2022年），这与高考这一国家级人才选拔性考试的权威性和影响力有关。

IBDP课程改革的原则主要有七条：第一，课程改革以研究为基础；第二，课程改革是一个咨询与合作的过程；第三，支持IB课程的使命和IB课程的国际性；第四，课程改革中，评价起到关键作用；第五，课程改革周期经过充分的计划并通过项目管理的方式进行完整的记录；第六，课程文件和支持材料具有高水准并且能够反映IBDP课程最新的理念和政策；第七，课程改革必须为教师的职业发展提供机会和材料。其中，第一条所指的IBDP课程改革所必须研究的内容包括：现行IBDP课程的优势和缺点，世界上其他课程的特色，大学方面对于IBDP课程与大学课程衔接的反馈，现有的针对16−19岁少年的教学法形势，学科自身的发展趋势等等。第三条实际上类似于我国在制定课程标准时必须考虑国家意志和教育部统一要求。其余条款与我国课程改革中的原则一致或类似。

二、IBDP数学课程的结构和课时安排

自2019年8月起，IBDP数学课程正式划分为“数学分析与方法”（简称“分析”）和“数学应用与解释”（简称“应用”），两个方向均设较高水平和标准水平两种课程，从而生成了四门数学课程，简称为：分析（较高水平）、分析（标准水平）；应用（较高水平）、应用（标准水平）。这四门课程的主题都包括：数与代数、函数、几何与三角学、统计和概率、微积分、工具箱和数学探索等六大模块。不同课程之间的区别在于在各个模块上的内容和教学时间有所区别。标准水平都是各自方向高水平的子集。具体如表1①马峰, 洪淼, 俞桦. 以素养为导向的学科育人 [J]. 上海中学数学, 2019(9): 14-18.所示。

表 1 IBDP数学新课程主题与学时分布（2019年首次实施）

《新标准》分为必修课程、选择性必修课程和选修课程，其中必修课程8学分144课时，选择性必修课程共6学分108课时。如果学生以高中毕业为目标，可以只学习必修课程，参加高中毕业的数学学业水平考试。如果学生计划通过参加高考进入高等学校学习，必须学习必修课程和选择性必修课程。选修课程是由学校根据自身情况选择设置的课程，供学生依据个人志趣自主选择，分为五类，具体内容请见《新标准》，此处不予赘述。

IBDP数学课程的结构非常明晰，呈现如下几个基本特点：第一，所有四门课程覆盖全部五个教学主题，加上一个特别的“工具箱与数学探索”模块。第二，同一方向的较高水平课程完全包含其较低水平的教学内容。第三，不同方向的课程在不同主题上有所侧重。比如，“应用”方向特别侧重统计与概率，就较高水平而言，这个部分的教学时间多出“分析”方向19个小时；“分析”方向特别侧重微积分，就较高水平而言，多出“应用”方向14个小时的教学时间。第四，在“工具箱与数学探索”这个特别模块，所有四门课程所花教学时间等量。

国内高中数学课程总体课程时数（不含选修课程部分）居于IBDP数学课程标准水平和高水平课时数中间位置。从IBDP数学和国内《新标准》的数学课程结构还可以看出：第一，IBDP课程和国内课程都强调了一定的选择性，为具有不同潜质的学生提供了各种学习机会。从课程结构上来看，国内课程的选择更加细化，有必修、选择性必修和选修三个部分。第二，IBDP课程和国内课程以不同的形式凸显了“做中学”的重要性。IBDP课程通过设置专门的“工具箱与数学探索”教学模块帮助学生进行主动的探究式学习，把数学与解决问题进行联系。国内课程中的数学建模活动与数学探究活动也是主要基于帮助学生了解并实现对数学的应用而进行设置的。

三、IBDP数学课程的内容

IBDP数学课程与国内高中数学课程（高考部分）涉猎的教学内容领域基本相似，相同或相似内容的比例大概为60%，也有些不同的地方。比如，一个重要的区别在于，微积分和统计在IB课程中单独列为必须修读的部分，而国内高中数学高考课程（必修和选择性必修）将一元函数的导数放在了选择性必修的第一个主题（函数部分），将统计的初步知识放在了必修的第四个主题和选择性必修的第三个主题，在国内高中数学课程的选修部分又分别设置了微积分和统计的专门课程。在此选取IBDP课程与高考课程相差较大的“统计和概率”部分为例进行分析。

IBDP数学课程“分析”方向的较高水平覆盖了除超几何分布之外所有国内《新标准》中的“统计和概率”的内容；“应用”方向的较高水平也几乎全部覆盖了国内《新标准》中的“统计和概率”内容，只有两个知识点（全概率和贝叶斯公式、超几何分布）没有包括。

IBDP数学课程中的“统计和概率”部分还有一些国内课程完全没有提及的部分，以统计内容较丰富的IBDP课程(“应用”方向，较高水平）为例，其特色内容包括：离群值（Outlier），累积频率曲线，原始数据变换的影响，一元线性回归的PRCC系数，斯皮尔曼排序相关系数(Spearman’s Rank Correlation Coefficient), 假设检验，p-值，显著水平，自由度，临界值（Critical Value）和临界区间， χ2独立性检验， t− 检验，单边检验和双边检验，调查表的有效数据收集方法，选择相关并合适的数据进行分析，可信度和有效性测试，非线性回归，利用最小平方差进行回归，残差平方和 S Sres，决定系数 R2及其解释，用 x 作为µ 的无偏估计，用作为 σ2的无偏估计，独立正态变量的线性组合的分布，中心极限定理，置信区间，泊松分布，总体均值检验（正态分布、二项分布）、比例检验（二项分布），二元正态分布的PMCC检验（ ρ =0），I型和II型错误，马尔可夫链，转移矩阵，稳定状态（与线性方程组有关）等。

此外，IBDP数学课程的两个方向（“分析”和“应用”）较高水平课程含有的一些其他特色内容同样值得关注。这些内容包括：线性代数初步、图论初步、微积分初步等内容（见表2）。①IBO. Mathematics: applications and interpretation guide: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-18]. https://resources.ibo.org/data/mathematics-applications-and-interpretation-guide_3573b93d-5f69-4c19-8e30-c135da72b01c/mathematicsapplications-and-interpretation-guide-en_5659ecbf-2f8b-4873-8075-c931f676e101.pdf.②IBO. Mathematics: analysis and approaches guide: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-20]. https://resources.ibo.org/data/mathematics-analysis-and-approaches-guide_e10ae7ad-9d1d-4299-b7d1-395b8e52b7fc/mathematics-analysis-and-approachesguide-en_2fee6541-b171-4cba-aa13-afa2a5ac98eb.pdf.③IBO. Mathematics: analysis and approaches teacher support material: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-20].https://resources.ibo.org/data/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material_e1e86054-eb9d-46f2-a043-8d5e09c040be/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material-en_789eb792-f9f0-435a-a8ed-91ee93fee0c7.pdf.④IBO. Mathematics: applications and interpretation teacher support material: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-18].https://resources.ibo.org/data/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support-_05e4b7d0-1cc8-42d8-9e12-256ef89772f4/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support—en_37 299 874-1971-4 150-b293-880e0b48d038.pdf.其他初等数学的经典内容如几何、代数等，因篇幅较长且特异性较低，此处不予述说。

人工智能时代归根结底建立在大数据的基础之上，而要理解和使用大数据，需要较强的统计理论基础。在这样的时代背景下，IBDP最新力推的“应用”课程将统计列为其占比最大的课程内容，值得国内课程体系加以研究。此外，算法思维是在人工智能背景下，教育领域频繁提及的一种需要重视和发展的思维素养。在IBDP数学课程“应用”中，算法思维渗透在很多内容中，包括图论中的各种算法等。比如，在“应用”课程中，谷歌的“网页排名”算法可以作为一个研究型作业帮助学生体验算法思维。

表 2 IBDP数学课程的部分特色内容

IBDP数学的“应用”课程还特别强调数学建模，其课程内容的很多部分都能够帮助学生体验数学在其他学科中的应用。在学习完耦合微分方程组和二阶微分方程的解法后，可以开展跨学科课题的研究性学习，比如，将所学知识应用在氧化−还原反应（化学）、单摆运动（物理）、传染病SIR模型（健康）、物种生态模型（生物）中。再比如，在学习图论知识后，学生便可以研究打车软件关于最短路线的计算方式（计算机）。这样的学习让学生看到了数学的用武之地，从而激发了学生对于数学学习的兴趣。相比之下，国内数学学习的一些内容频频朝高难度技巧上发展，缺少了培养学生数学思想的内容，使得学生看不清数学的用途，有时渐渐失去兴趣。比如，高中阶段微积分的学习到了最后，往往集中在求极值、单调区间和不等式等少数几个方面，技巧性很强，使得学生对于微积分的学习“只见树木，不见森林”。

四、IBDP数学课程的评价

IBDP数学课程采取外部评价和内部评价两种方式综合评价学生的数学学习成效。

（一）IBDP数学课程评价方式综述

IBDP外部评价的主要形式是书面限时考试，其得分占最后百分制总分的80%。百分制得分并非IB评价的最后得分，还将被转换为7分制作为IBDP数学科目的最后成绩。外部评价的一卷、二卷和三卷（三卷仅限较高水平）均覆盖IB数学课程大纲的全部内容。2021年第一次考试的IBDP数学新大纲的考试模式如下：标准水平仅有一卷和二卷，较高水平设一卷、二卷和三卷，其中“分析”方向在一卷不能用计算器，其他均可使用计算器。对于标准水平，一卷、二卷和内部评价的得分在最后总分中所占比例分别为40%、40%和20%。对于较高水平，一卷、二卷、三卷和内部评价的得分在最后总分中所占比例分别为30%、30%、20%和20%。较高水平的三卷在此次改革后呈现的特点显得尤为突出，它包括两道层层深入、考察学生探究或建模能力的素养考查题。更多信息可参考IBDP数学课程的“指南”文件。

IBDP数学课程外部评价所考察的各类数学素养的要求请见表3。①马峰. 博观约取−−高中数学的国际视角[M]. 上海: 上海教育出版社, 2020: 44-45, 79-147.②IBO. Mathematics: analysis and approaches teacher support material: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-20].https://resources.ibo.org/data/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material_e1e86054-eb9d-46f2-a043-8d5e09c040be/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material-en_789eb792-f9f0-435a-a8ed-91ee93fee0c7.pdf.③IBO. Mathematics: applications and interpretation teacher support material: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-18].https://resources.ibo.org/data/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support-_05e4b7d0-1cc8-42d8-9e12-256ef89772f4/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support—en_37 299 874-1971-4 150-b293-880e0b48d038.pdf.

表 3 IBDP数学课程外部评价考察数学素养的占比

（二）IBDP数学课程的特色评价方法分析

IBDP数学课程的书面考试（也即外部评价）与高考无异，主要考察学生在限定时间内做题的数量和质量。但IB书面考试仅仅以80%的比例计入最后的IB数学课程总分。IB内部评价的主要形式是一份由学生自主探索并成文的课题报告, 其正式名称为“数学探索”，由学生所在学校的教师进行评分，并由IB组织抽样检查。表1中“工具箱和数学探索”课时设置的功能之一就是为了帮助学生完成内部评价。IB教师支持材料明确指出，教师需要使用10−15小时的上课时间给学生解释内部评价的标准，帮助学生发现和自身能力相称的可探索的主题、评估学生内部评价的进展，让学生有机会进行小组合作和讨论他们“探索”的进展，分享研究材料、获得必要的知识、技能和理解，为自己的作品寻求同伴评价的机会，等等。就评价而言，尤为关键的一点是，IBDP数学内部评价以占总分20%的形式计入学生课程最终总分（类似于高考总分）。内部评价是IBDP数学课程中极为特别的一个环节，它成为了学生数学素养培育的优秀载体。

IBDP数学课程内部评价所考察的数学素养的比重请见表4。④IBO. Mathematics: applications and interpretation guide: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-18]. https://resources.ibo.org/data/mathematics-applications-and-interpretation-guide_3573b93d-5f69-4c19-8e30-c135da72b01c/mathematics-applications-andinterpretation-guide-en_5659ecbf-2f8b-4873-8075-c931f676e101.pdf.

表 4 IBDP数学课程内部评价所考察的数学素养的比重

学生修读IBDP数学课程后的最后得分并不是百分制或150分制，而是根据原始得分进行一定的换算后得到IB课程的评价总分1−7分，其中7分为最高分。尽管每年根据考卷难度和考生表现，换算规律有些差别，但如下大致等级标准仍可供参考（表5①IBO. Mathematics Higher Level Subject Report for November 2018. [EB/OL] [2021-01-07]. https://resources.ibo.org/data/d_5_mathl_sur_1811_2_e.pdf.为2018年11月旧版大纲“统计与概率”方向高水平考卷的等第划分情况）：

表 5 IB课程原始分与最终得分转换

以上表格给人的第一印象是等第制，且获得7分满分并不难。确实，它与高考中原始分值的每一分都很重要的情况有所不同，这里面的原因是深层次的。简而言之，IBDP课程的最后得分并不直接影响大学录取，教师根据学生平时表现给学生打出的预计分成为大学录取过程中的参考因素。从时间顺序来看，教师一般于12年级（高三）初期（9月份）给出预计分，大学录取大致于当年11月持续到来年5月。英美大学的重要录取时间节点一般为当年的12月中旬、来年的1月中旬以及4月底。而IB正式大考（类似国内高考）的时间为来年的5月份，于7月初出分。如果IB预计分与实际出分有较大出入（降低）时，才有可能影响原先的录取结果。因此，从这个角度看，对原始分“分分必较”的评价，对于IBDP课程和国外大学录取来讲都没有必要。正因为每一门课程并不强调“分分必较”的重要性，IB课程对于“全人”培养以及“素养”培育的其他设计有了很大的实施空间。这种7分制（等第制）的评价方式本质上与英美大学的申请制和“全面评价”息息相关。

毋庸讳言，国内评价方式目前以学业水平考试和高等学校入学考试的原始成绩为选拔性评价的唯一标准。这种做法的优势是成本较低、效率较高、公平性凸显，不足之处是显然过度强化了“结果”评价，在中学教育教学中产生强烈的“以结果论英雄”的引导作用也就不足为怪了，与党中央和国务院“改进效果评价、强化过程评价、探索增值评价、健全综合评价”（简称“四个评价”）的要求还有较大距离。

五、IBDP数学课程中的信息技术

从IBDP数学课程实施来讲，使用信息技术体现在多个方面。

第一，课程内容角度。例如，马尔可夫链的学习需要使用矩阵进行运算，求解稳定状态更是需要求解矩阵的高次方，因为人工计算已经无法解决问题；使用泰森多边形进行区域划分，当中心点多于5个时，手工作图已经差不多是极限了，无法不依赖技术进行探究。耦合微分方程组的相图（Phase Portrait）以及欧拉方法的求解，均需要信息技术的助力，否则无法解决一些现实中的问题等等。

第二，教学角度。引入各种概念需要信息技术的使用。例如，在讲解图论问题时，教师可通过谷歌的搜索排名算法引入转移矩阵及其计算，这些探究活动需要信息技术的助力。在讲解马尔可夫链时，可以通过动画对马尔可夫过程进行模拟，帮助学生形象地理解概念。

第三，评价角度。学生在课外作业或者内部评价完成过程中需要使用信息技术进行探究，否则可能被认为探究不够充分（除非纯数学的推导）。在书面考试中，数学课程中有多张试卷要求必须使用图形计算器进行计算或作图，否则题目无法解答。特别是“数学应用与解释”课程外部考试的每张考卷均要求使用图形计算器。

因为有了图形计算器的使用，IBDP数学课程在内容设计和考试出题方面相对灵活了很多，数据直接来源于生活与生产。而高考题有时碍于技术，出题的灵活度受到较大的限制。特别是对于统计题目而言，具体的计算过程并不是重点考察对象，重要的是对统计思想和方法的考察。

与IBDP数学课程有所不同的是，信息技术不是国内数学课程内容的必需选项。

我国《新标准》在“教学建议”部分提出，“教师应重视信息技术的运用，优化课堂教学，转变教学与学习方式。例如，为学生理解概念创设背景，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观，引导学生自主获取资源。在这个过程中，教师要有意识地积累数学活动案例，总结出生动、自主、有效的教学方式和学习方式”；“教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果。例如，利用计算机展示函数图像、几何图形运动变化过程；利用计算机探究算法、进行较大规模的计算；从数据库中获得数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，帮助学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率”；在“教师实施课程标准”部分提到了“基于信息技术的教育资源和教学手段日新月异，正在改变着数学教与学的方式。教师要适应时代的发展，按照课程标准的要求，发挥信息技术直观便捷、资源丰富的优势，帮助学生发展数学学科核心素养”。

我国《新标准》在“评价建议”部分、“学业水平考试与高考命题建议”部分、“教材编写建议”部分，甚至在“地方与学校实施课程标准的建议”等部分均没有提及信息技术。如此一来，信息技术与教学和评价深度融合的效果可能会有所削弱，学生使用信息技术的广度和深度或许很难真正达到。单从目前最为直观的“指挥棒”高考来看，全国范围内，只有上海卷允许学生使用计算器（非图形计算器）答题。

六、启示

IBDP数学课程的最新改革动向直指“人工智能”背景下的数学教育发展最新趋势，在教学内容上注重跨学科和与高等数学内容的衔接，让学生充分感受数学的有用性，在评价方法上采取了多元化的方式，整套课程设计非常重视技术的使用。其中一些特点非常值得继续深入思考，特别是在“双新”背景下，应积极研究如何将其与国内数学课程的设置、实施进行融合与借鉴。

（一）探究作为数学教学的理念之一

IBDP数学课程鼓励学生的探究式学习，从内部评价的设置，课堂教学活动的设计，如把谷歌的搜索排名方法融入图论学习，把经典传染病模型SIR的建模过程融入微分方程的学习等，甚至在考试题型（如三卷的探究、建模题）等多方面得以体现。一方面，探究式学习让学生学会在不确定的环境中寻找规律、知识，发展自己的学习技能，这更接近于真实的学习。另一方面，在探究的过程中，学生的被动听讲和接受、仅针对考试所需某种特定技能进行训练的学习习惯被打破，有利于学生批判性思维和创造性能力的发展。另外，信息技术在IBDP数学课程中的广泛使用也使得探究式学习不仅成为了可能，也成为了学生的一种学习习惯。

国内《新标准》的课程结构中单列了“数学探究活动”，并给出了一个“探究活动”的案例−正方体截面的探究。与IBDP课程深入其“骨髓”的课程结构、课程内容、评价体系和信息技术使用等多方面相比，国内课程中可以带领学生进行数学自主探究的土壤尚待继续开发。

（二）每一名学生拥有选择合适自己的课程的机会

IBDP数学课程在这次改革中，把数学课程分成了两个方向、四门课程，充分考虑到了学生未来深造的方向对于数学基础和能力的不同需求。比如，数学的“应用”课程充分考虑到了数学课程的应用性，而“分析”课程更加重视纯数学的严谨与推导，这样的课程设置为将来有不同发展方向的学生提供了自主选择的机会。学生根据自己的实际情况进行选课，充分发展了自我规划和选择的能力，从一定程度上做到了个性化发展。高度的严谨性对于选择“应用”这门课的学生，也即将来不从事数学研究的学生来讲，培养了兴趣、拓宽了眼界、激发了好奇心，而不至于让严格性变成数学学习的“拦路虎”。如何取舍“严谨性”始终需要课程顶层设计者和落实教学的教师的拿捏和合理把握。比如，对于极限的正式定义，在课堂教学中无需严格跟着大纲亦步亦趋，虽然IBDP数学新大纲对其不作要求，教师仍然完全可以介绍 ε −δ定义，但对于没有兴趣或者能力了解的学生没有强求，对于有兴趣了解的学生，则有机会与教师或同学进行探讨。牛顿和莱布尼茨在引入微积分时，显然谈不上严格性，然而这并没有妨碍他们成功建立了微积分这门对于人类文明和发展至关重要的学科。

国内《新标准》中有必修和选择性必修部分，分别对应“学考”和“高考”的要求，也提供了选修课程，从课程结构看，似乎也提供了选择性。然而，对于高考而言，选择性仍然很低。张奠宙先生指出，2003年的《标准（实验稿）》很强调选择性，设置了许多选修课，效果不理想。“不同的人学习不同的数学”是一个很正确的口号，可惜没有实行。①张奠宙. 《普通高中数学课程标准》的回顾与展望[J]. 中学数学月刊, 2013(3): 1-3.《新标准》要求由学校自主开展“选修课”，预计其实施情况将同样不容乐观，也就是说，一些比较深入的微积分、统计等知识仍然可能再度成为空中楼阁，不少高中生可能在高中期间还是没有机会触碰微积分和统计思维的核心内容。但是，如果自主招生渠道能够适当发挥作用，那就可能弥补这一缺憾。

（三）开设选修课和落实课题，帮助学生了解数学学科内容的全貌

IB组织每七年根据形势变化改革课程，把最需要融入高中阶段的高等数学内容不断改造、整合并融入高中数学课程体系，从而不仅保证了中学、大学学习的有效衔接，也从一定程度上促进了物理等其他学科的学习。最新的这次课程改革中的“应用”课程把耦合方程组、图论、马尔可夫链、假设检验等具有高度应用性的内容融入课程体系。这些变化都是IB组织敏锐地察觉到世界的最新变化和要求后作出的反应。国内中学阶段的学生因为升学和标准化考试的导向，容易误认为数学就是书本和练习册上罗列的那些内容，很多中学生并不明白什么是初等数学，什么是高等数学，更不用谈数学史、数学学科框架和细分专业了。这对于数学教育来讲是危险的，对于国家培养数学人才来讲，更是急切需要改变的。

尽管高考等关键考试的题目有一些小的变化，教学内容也一直处于变革之中，其理念也是不断地整合需要融入高中数学教育的内容，但是，这条道路似乎特别漫长且曲折。张奠宙先生2013年提到：“中国的高中课程，尤其是数学，与其他国家相比，不是多了，而是少了。微积分、概率统计、空间向量，几乎所有国家都是必修，或者大量选修的课程，中国却没有设置。因此，‘繁难多旧’的提法不准确。随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的‘双基’。对数学的教学知识内容进行研究，是未来数学教育的重点课题。”②同本页①。

如果国内《新标准》中选修课程的开设和做课题（数学探究或数学建模）的要求能够落到实处，张先生的想法也就能够初步实现，落到实处的关键在于评价方法和目标的制定，这恐怕尚需时日，教师培训也是重要一环。

（四）应考需要注意“度”的把握

在IBDP数学课程考试中，尽管仍然需要应付考试，但题目侧重考察基础知识和数学方法的掌握，对于技巧的要求不是很高。此外，数学内部评价需要学生自己发现问题，解决问题并且以一篇文章的形式表达出来，这成为评价的一种重要形式，再加上IB课程考试结果并不是大学录取的唯一标准，因此，IB课程中的“刷题”没有呈现愈演愈烈之势。国内中学为高考数学准备的复习和大量同质练习中，高技巧型题目越来越多，似乎也越来越难。

《新标准》的核心思想是要在教学过程中注意培育学生的核心数学素养，而非仅仅训练学生做题以在考试中获取高分。丘成桐院士在2020 年基础学科拔尖人才衔接培养论坛上指出：“过度的解题技巧训练并不能有效提高学生的数学认识水平，反而会误导学生将数学等同于解题，妨碍对数学建立正确的认知。”事实上，对于大部分不会从事数学研究的学生来说，过多的解题技巧训练同样无益。追求高分不应以扼杀学习兴趣为代价，至少应该为想要思考和探寻数学本质的有数学潜力的学生创造合适的条件。研究对于核心数学素养的基于标准的评价方式是当务之急，从而真正落实党中央和国务院提出的“四个评价”要求。