智慧教室环境下图形与几何教学探究

萧恩颖

摘要：图形与几何是小学数学重要内容。为解决图形与几何教学中存在的缺乏实际任务驱动、忽视分层操作、内隐思维不可视等问题，教师可通过智慧教室创设情境，并通过精准的学情分析，有效支持学生的个性化操作，在发展学生空间观念的同时，使其思维过程可视化。

关键词：智慧教室;图形与几何;探索图形

一、问题与对策

图形与几何是小学数学教学的重要内容之一。在传统模式下，其教学效果不尽如人意。例如，教师执教人教版义务教育教科书数学五年级下册“探索图形”时，经常出现以下问题。

问题一：虚构情境缺少任务驱动。原本想象给正方体蛋糕表面涂果酱的虚构情境看似有趣，但缺乏实际任务驱动，难以激发学生兴趣。没有真实且富有挑战的任务作为支撑，学生的想象停留在表层。这样无法调动所有学生参与思考。

问题二：教学设计缺乏学情分析。因缺乏对学情的精准把控，学生从三阶正方体入手进行探究后，所学知识难以在长方体中进行知识迁移，无法将“长正方体的特征”与“涂色规律”建立起本质上的联系。

问题三：自主探索忽视分层操作。在探索涂色问题的过程中，不少学生无法通过观察平面图想象小正方体的分类、数量和位置。教师需分层设置便捷且丰富的操作活动，引导学生积累数学活动经验，在实践中发展空间观念。

问题四：内隐思维难以直观可视。学生汇报分析涂色小正方体的分类、位置和数量时，传统课件并不能支持学生对每类涂色情况进行可视化展示。因此，难以实现实时交互、直观可视，不利于空间观念水平较弱的学生思考与操作。

科学应用信息技术破解教学困局。仅凭传统环境下的课堂教学，很难解决图形与几何相关的数学问题。笔者认为，在智慧教室环境下开展的图形与几何教学，可以获得更精准的学情分析，创设情境进行可视化呈现，支持学生个性化操作和更直观的思维表达，最终发展其空间观念。

智慧教室环境下的技术操作平台包括以个人计算机、平板电脑、智能手机为基础的接入层，还包括Team model（醍魔豆应用软件）、ActivInspire（普米交互式白板软件）、几何应用App在内的应用层，以及兼具实时交互、数据处理、直观演示等功能的功能层。在技术的支撑和共同作用下，教师可优化设计，改进教学。

二、教学设计及意图

在智慧教室环境下，基于“引导学生探究涂色规律理解，发展空间观念”的目标，笔者对人教版数学五下“探索图形”的教学进行如下设计。

（一）精心设计前测，准确把握学情

为了准确把握学情，课前笔者设计了前测，就正方体和长方体表面涂色问题对学生进行调查。

前测材料：如图1所示，将正方体及长方体中的涂色小正方体先分类，再求出“三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色”每类的数量，并记录思考过程。

前测对象：小学五年级学生400人。

前测分析：详见表1。

从前测结果来看，学生对解决正方体涂色问题有一定的知识基础，而他们作答长方体涂色问题正确率不高，对于两面涂色、一面涂色和没有涂色的正确率更低。笔者从正确分类和方法维度进行前测与访谈后发现，与正方体相比，在长方体中能将涂色小正方体正确分类的学生减少了20%。“数出各涂色数量”的学生占65%，而“能利用长、正方体特征求出各涂色部分数量的学生”仅占35%。

（二）精心设计目标，凸显空间观念

基于上述分析，笔者通过长方体涂色问题引入，将正方体涂色问题作为基本练习，并辅以交互技术，引导学生根据长、正方体的特征，对小正方体涂色的分类、数量、位置深入思考，提升空间观念。具体目标如下：创设问题情境，以任务导引学生卷入学习，深化对正方体、长方体特征的认识和理解;引导学生观察、列表、想象，发现图形分类计数问题中的规律，培养学生的空间想象力;以探索长、正方体的涂色问题为任务，引导学生在观察、想象过程中发展空间观念与思维能力，体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想。

（三）融合技术应用，实现思维可视

笔者利用Team model交互式电子白板批注、即时影像功能，ActivInspire着色、隐藏显示、移动功能，及时生成内容;利用Think 3D旋转、添加删除小正方体功能，验证想象，使學生思维过程可视化，促进学生空间观念的发展;利用Team model教师端挑人、推送、拍照、数据实时反馈等功能，使学生之间的互动更便捷，师生之间的互动更平等。

三、教学实践及分析

（一）任务驱动，用交互工具实现即时观察

任务：给一个长方体表面涂上颜色，切分成同样大小的正方体。每个小正方体的涂色情况是怎样的呢？教师运用交互课件涂色功能出示图形。

教师：我做了一个同样的长方体模型，请一位小助手帮我托起来，让全班同学都看到。谁能帮帮我？

学生助手上台协助，不小心打翻了模型。

教师：没关系。你请三位同学一起复原这个模型，行吗？（其他学生观察这些同学是怎么复原的。）

出示观察要求：仔细观察，怎么搭的;认真思考，想要搭成有什么好建议。

教师使用Team model教师端即时影像功能，拍摄操作情况。

学生观察后反馈：

学生1：我觉得要想成功复原，要先给这些小正方体按涂色情况分类。

学生2：我觉得还要想象一下不同的情况应该放在什么位置，以及每种情况的数量。

学生3：上台拼搭的同学要有分工，不然会手忙脚乱的。

小结：看来想要复原，要先给小正方体分类，还要知道每种类型放在什么位置上，有几块。

【设计意图】创设真实的情境并使用即时影像功能让全体学生浸入式体验还原的过程，激发学生探索复原长方体策略的意识，在任务导引中让“分类”成为必须，渗透“分类”思想。

（二）合作探究，用交互工具实现仿真观察

1.教师布置任务，学生分层探究规律

教师：为了让大家顺利完成任务，我准备了三星和五星的小提示。三星提示是“先在3D图中看一看，再想一想”;五星提示是“先想一想，再在3D图中看一看”。

学生在平板电脑上用几何应用软件进行分层操作，可以旋转长方体，可以展开小正方体，使原本看不到的面变得直观可视（如图2）。不同层次的学生都能顺利探究涂色小正方体的分类、數量和位置。

2.小组汇报成果，初步感知特征

小组1：我们组介绍三面涂色的情况。它们在顶点上，有8块。

学生运用ActivInspire交互课件隐藏功能呈现图形。

教师：能想象还有一块藏在哪儿吗？

学生：能，在被挡住的顶点上。

学生运用几何应用软件旋转功能展示被挡住的三面涂色小正方体，验证猜想（如图3）。

小组2：我们组介绍两面涂色的情况。我们是一层一层数的，第一层有10块，第二层有4块，第三层也有10块，一共有24块两面涂色的小正方体。

学生用几何应用App隐藏、旋转功能呈现图形。

教师：你们组是用数的方法求出块数的，有没有小组用的不一样的方法呢。

学生1：我们组发现两面涂色的小正方体在棱上，长中有3块，宽中有2块，高中有1块，可以用（3+2+1）×4求出共有24块两面涂色的小正方体。

学生2：我们组发现棱中两面涂色的块数，可以用每条棱上涂色块数去掉顶点上的两块求出来。比如：长一共有5块，去掉顶点上的两块，就是3块。同样，宽和高中间的块数也可以像这样求出来。两面涂色的共有[（5-2）+（4-2）+（3-2）]×4=24块。

学生运用ActivInspire隐藏功能呈现图形。

小结：这两个组的同学很厉害，他们不是数的，而是分类求出来的。他们先求出长、宽、高中两面涂色的分别有几块，再根据长方体的特征求出了总数量。

教师：对于一面涂色的问题，能不能也像这样分类研究呢？

小组3：我们组发现一面涂色的部分与面有关，长方体的上面有6块，前面有3块，右面有2块。再乘2，共有22块。

学生运用几何应用软件隐藏功能呈现图形。

学生：每个面中间一面涂色的块数，我们也可以求出来。上面的块数可以用长边上的块数减去顶点上的块数乘宽边上的块数减去顶点上的块数，（5-2）×（4-2）=6（块）。同理，一面涂色的块数为[（5-2）×（4-2）+（5-2）×（3-2）+（4-2）×（3-2）]×2=22块。

教师：为什么要乘2呢？

学生：因为前后、左右、上下是一样的。

小结：看来只要求出前面、右面和上面，根据长方体的特征，就可以求出所有一面涂色的块数。

小组4：我们组是研究没有涂色部分情况的。这些小正方体在中心，去掉外面一层，里面是没有涂色的部分。

教师：想象一下，去掉前面、后面、左面、右面、上面、下面。剩下的是什么形状，有几块？

学生1：是长方体，长放3块，宽放2块，高放1块，剩下6块。

学生2：6块还可以求出来。因为上下、前后、左右各去掉一层，我们可以用（5-2）×（4-2）×（3-2）=6（块）求出没有涂色的块数。

教师在学生充分想象后，运用ActivInspire交互课件移动涂色面，呈现中间未涂色部分。

教师：是不是真的只有这四种涂色情况？检查一下，有没有漏掉的。

学生：可以将所有涂色情况的数量相加，看看是不是60块。如果正好相等，说明没有漏掉。

小结：学生一起研究出了涂色小正方体的分类、位置和数量。这样就可以更快地复原长方体了。

【设计意图】引导学生根据自己能力，选择合适的学习助手，探索各类涂色小正方体的位置与数量规律，在探索过程中主动运用长方体“顶点”“棱”“面”的特征。同时，不断引导学生在探索中进行想象，并运用几何应用软件隐藏、展开等功能验证猜想，有效提升空间观念。

（三）巩固练习，用交互工具实现思维可视

1.运用经验，研究正方体特色问题

提问：能用研究涂色长方体的经验，再来研究这个涂色大正方体吗（如图1中左图）？

大部分学生通过想象探究问题，少部分学生借助几何应用软件探究问题或验证猜想。

2.尝试解决，深入理解式与形间联系

学生1：我是用长方体的特征来求涂色情况的。三面涂色的还是8块;两面涂色的有（2+2+2）×4=24（块）;一面涂色的有（4+4+4）×2=24（块）;没有涂色的有8块。

学生2：我是用正方体的特征来求的，因为正方体的12条棱都相等，6个面都相等，所以，两面涂色的有2×12=24（块）;一面涂色的有4×6=24（块）。

学生3：可以想象一下，两面涂色的部分就是将两边三面涂色的去掉，可以用（4-2）×12=24（块）来求，同样，一面涂色的可以用（4-2）×（4-2）×6=24（块）来求。没有涂色的可以用（4-2）×4 =8（块）来求。

教师根据学生回答情况，运用ActivInspire交互课件移动、隐藏等功能，以及几何应用软件中的隐藏、展开功能与学生进行互动，相机呈现不同涂色情况的小正方体，让思维直观可视。

小结：因为正方体是一种特殊的长方体，所以它的涂色情况既可以用长方体的特征来求解，也可以用正方体的特征来求解。

3.对比沟通，感悟特征

教师：从涂色小正方体的分类、位置和数量来看，大长方体和正方体有什么相同的地方？

学生：三面涂色的块数都在顶点上，且都是8块 ;两面涂色的都在棱中，一面涂色的都在面中，没有涂色的都在立体图形的中心。

交互课件分类呈现不同涂色情况的小正方体。

【设计意图】学生在正方体涂色问题的探究中，运用ActivInspire交互课件移动、隐藏等功能，以及几何应用软件中的隐藏、展开功能验证想象，进一步巩固规律理解;在长正方体的对比中，借助交互课件分色块呈现，有利于概括涂色分类、各类涂色小正方体的位置与数量的一般特征。

（四）變式拓展，用交互工具实现模拟操作

呈现任务：如果将一个涂色长方体切分成16个相同的小正方体，重新搭成一个长方体，搭成的这个长方体，三面涂色的可能有多少个？

①8块 ②12块 ③没有 ④以上皆有可能

学生利用Team model即问即答功能选择，呈现数据。数据显示：95%的学生选择三面涂色的小正方体有8块。

教师利用智慧挑人功能，精准选择①的学生作答。引导学生想象几何体的形状。

教师：想一想，三面涂色的部分可不可能有12块，或者没有呢。

学生运用几何应用软件中的放置删除、着色旋转功能进行模拟操作。根据学生回答，教师利用ActivInspire层遮盖及隐藏功能依次呈现图形。

图形直观显示：三面涂色的小正方体在顶点上，有8块;三面涂色的小正方体在棱中，有8块;三面涂色的小正方体在棱中，有12块;没有三面涂色的小正方体。

【设计意图】设计变式练习，突破三面涂色部分正方体数量一定是8块的思维定式。引导学生根据三面涂色的情况，想象还原几何体的形状，在反思质疑中，想象还原新形状，对不同形状的长方体涂色情况进行分类思考，发展空间观念。

教师：同样用16个小正方体拼组图形，有没有可能拼出的图形全是三面涂色的呢。如果继续研究，还能继续猜想吗？大家可以课后研究。

四、教学反思

（一）从情境到模型，基于任务激发分类思考

真实的任务比虚拟的情境更易激起学生探究的欲望。笔者用“还原长方体模型”的真实任务代替“涂果酱”情境，制造“不小心”打翻积木的小插曲。台上的学生摩拳擦掌，智慧合作复原积木。在Team model即时影像功能的加持下，台下的学生聚精会神，认真思考全员参与，引发课堂小高潮。课堂上开展任务教学有效渗透了“分类思考”的数学思想。

（二）从经验到实证，基于特征把握涂色规律

探索涂色小正方体的分类、数量及位置的规律，并将涂色规律与长、正方体的特征建立本质联系，是此课例教学的主要目标。笔者根据实证数据，直击难点，从一般的长方体入手展开探究，并将特殊的正方体作为基本练习展开教学，引导学生充分经历从一般到特殊的探究过程。学生根据长、正方体的顶点、棱、面的特征本质，比较分析，明晰涂色小正方体的分类、位置、数量与图形特征之间的本质联系，形成探究图形问题的一般思路和经验。

（三）从单一到交互，基于不同水平分层探究

如何根据学生的能力水平展开分层研究？如何在丰富的活动体验中激发想象？课例中，技术支持为“分层研究”“思维可视”提供了可能。首先，笔者为学生提供了便捷可操作的交互工具，鼓励学生根据需求操作，能力较弱的学生可以利用交互工具辅助思考，能力较强的学生可以先想象探究再操作验证。其次，利用电子白板及几何应用软件交互可视的特点，根据生成情况面向全体学生动态演示，使静态的图形动起来，使传统教学难以表达的思维过程直观可视。无疑，技术的介入与应用为可视化分层活动、理解涂色规律、发展空间观念提供了极好的支持。

（四）从观察到想象，基于变式突破观念定式

空间观念的培养，需要学生经历从“空间知觉”到“图形想象”的过程。整节课，教师始终遵循“先想象再演示”的原则，给予学生充分思考与表达的空间。同时，在对比发现一般规律后，巧妙设置打破规律的变式练习，不断引导学生由“体”想“面”。学生需要经历两次想象，第一次，需要想象出“由16个小正方体可以拼组成怎样的几何体”;第二次，需要想象出“这个几何体三面涂色的小正方体在什么位置，分别有几块”。在突破学生思维定式的同时，让空间观念的培养贯穿始终。课后，教师引导学生继续想象，运用交互工具创作新图形在网络学习空间中分享互评，打破时空的界限，实现差异化的自主学习。

注：本文系国家出版融合发展重点实验室、人教数字教育研究院规划课题“小学数学信息化教学模式研究”（课题批准号：RJA0119008）的研究成果。

（作者系浙江省杭州濮家小学教育集团教师）

责任编辑：祝元志