做“自能课堂”的践行者

姚晋秋

摘 要：新课程要求在数学教学中发挥学生的主体地位。数学课堂以问题为导向，充分发挥学生的自主作用，强化数学知识的建构过程，激发学生学习数学的兴趣。在教学过程中，将提高学生数学学科核心素养、养成良好的数学学习习惯、发展自主学习的能力等设为基本目标，逐步形成“自学-探究-导学-拓展”的“自能课堂”有效教学模式，提高教学效率，在教学实践中践行叶圣陶先生“教是为了不教”的教育思想。

关键词：课例分析;问题导向;自能课堂

一、背景分析

2017版《普通高中数学课程标准》中明确指出：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人的根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。在教学活动中，教师应准确把握课程目标、课程内容、学业质量的要求，合理设计教学目标，并通过相应的教学实施，在学生掌握知识技能的同时，促进数学学科核心素养的提升及水平的达成。

我校数学教研组努力践行叶圣陶先生“教是为了不教”的教育思想，积极探索适合学生实际的有效教学模式。我们坚持在数学教学中发挥学生的主体作用，强化数学知识的建构过程以增强学生的学习体验，努力提升学生自主学习能力和数学核心素养，逐步形成了“自学-探究-导学-拓展”的“自能课堂”有效教学模式，提高教学效率。

众所周知，上好一堂观摩课或展示课很不容易，它是授课者潜心钻研、反复改进的智力成果，而上好每一堂日常课就更不容易了，因为日常教学工作量大，不可能每个教学环节都细细推敲琢磨，也不可能反复试教改进，只能一次成型。日常课构成了我们教学主题，直接影响着教学质量的高低。下面笔者以普通高中课程标准试验教科书苏教版必修一2.2.1分数指数幂为例，分析如何在日常课中优化教学内容，以问题为导向，发挥学生的主体作用，打造高效的“自能课堂”。

二、教学任务分析

1.教学目标

知识目标：理解根式的概念，n次方根的概念及二者的关系，掌握根式的性质，能利用根式的性质对根式进行运算。理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化。掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值。了解无理数指数幂的意义。

能力目标：通过对分数指数幂的基本性质的探究和应用，帮助学生通过问题解决并获得数学知识。在学习过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养。

情感目标：通过课程的学习，激发学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力。

2.教学重点与难点

根式、分数指数幂的概念及其性质。

3.教学方法

通过对具体问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解类比与转化思想、分类讨论思想在数学中的应用。

三、学情与教材分析

学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。我校是普通中学三星级高中，学生的学习基础和学习习惯较差。

分数指数幂这一部分内容是指数函数的序幕部分。承接指数部分内容，引导指数函数的开始。指数函数是应用广泛的基本函数，是进一步学习数学的基础。如果能深刻理解根式的概念和分数指数幂的含义，熟练掌握指数幂的运算性质，那么就可以为后续的学习打下扎实的基础。

教材以细胞分裂为引例：某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……如果分裂一次需要10 min，那么，一个细胞1 h后分裂成多少个细胞？这个引例与本节教学联系不大，尤其是根式，更是没有什么关系，笔者认为，把这个引例移至2.2.2指数函数一节，与“古莲子半衰期问题”一同开启指数函数的学习将更为妥帖些。本节内容以学生熟悉的指数与正整数指数幂运算引入。

四、教学过程分析

1.根式

[自学]

从这些熟悉的等式可知，2和-2是4的平方根，其中2叫做算术平方根;2是8的立方根;-2是-88的立方根……

归纳总结：如果，那么称为的平方根;如果，那么称为的立方根。根据定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为±2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如-8的立方根为-2;零的平方根、立方根均为零。

[探究1]

问题1：有没有四次方根、五次方根……n次方根呢？

问题2：若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？

问题3：若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？

问题4：类比a的平方根及立方根的定义，如何定义a的n次方根？

通过刚才的导入，学生感觉新知识并没有什么神秘感，是在已有認知基础上的推广。问题1至问题4均让学生讨论之后回答，不仅能培养学生用类比思想解决问题的能力，也能培养他们团结协作、与人沟通的能力。其中在定义的n次方根时，学生往往会遗漏“n>1，且n∈N*”这个条件，老师要做好引导工作，并且及时归纳总结如下：

（1）a的n次方根的定义

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

（2）a的n次方根的表示

n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围

n为奇数 a∈R

n为偶数 [0，+∞）

一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

（3）根式

式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

[导学]

例1 求下列各式的值：

[探究2]

问题5：根据n次方根的意义，可知肯定成立，那么等式一定成立吗？

通过实例，使学生感受到“次方根”实际上就是平方根与立方根的推广，这里引导学生由平方根与立方根的运算性质类比得到n次方根的性质，注意对n分奇偶数讨论。

根式的运算性质：

（1）当n 为任意正整数时，

（2）当n为奇数时，

当n为偶数时，

2.分数指数幂

[探究3]

问题6：根据n次方根的定义和数的运算，得出以上式子，你能从中总结出怎样的规律？

当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数

等于根式的被开方数的指数除以根指数.我们常用的就等于。

分数指数幂的定义：

（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：

;

（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：

;

（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

[探究4]

问题7：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？

提示：由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

[导学]

例2 用根式的形式表示下列各式（x>0）：

通过实例可知，实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便。而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握。

例3 求下列各式的值：

分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化。在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则。更多的运算练习将在下一节课中展开。

[拓展]

问题8：为什么教科书上写“在本书中，若无特殊说明，底数中的字母均为正数”？

指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a≤0时，

有时有意义，有时无意义。如但就不是实数了。又例如，而由 = 可得

，但后者却无意义了。为了保证在取任何实数

时，都有意义，所以规定a>0。当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分。

问题9：是否表示一个确定的实数？

当的不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近;当的过剩近似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近。所以是一个确定的实数。在教学过程中，我们利用计算机操作，感受逼近过程。这部分阅读材料是为引入指数函数做准备的。

问题10：无理数指数幂（a>0，α是一个无理数）有何意义？有怎样的运算性质？

无理数指数幂的意义，是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小。一般来说，无理数指数幂（a>0，α是一个无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

五、教学反思

以上就是2.2.1分数指数幂新课的完整教学内容。本课例以问题为导向，处处注意与初中所学知识作类比，如根式与平方根、立方根的类比，分数指数幂与整数指数幂的类比，使知识的形成水到渠成，学生在原有认知的基础上进行有益的推广，其学习是主动的、积极的，知识形成是自然的，没有强加之嫌。在教师的引导下，学生始终处于“我要学”的状态，并自觉去探究新的教学任务。整节课紧紧围绕“自学-探究-导学-拓展”模式展开，很好地体现了“高中數学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养”的基本理念。

叶圣陶先生曾经说过：教是为了不教。这就是说，教师要解决学生如何去学习的问题。这就要求我们的教学要有针对性，针对性地设计问题、提出问题及引导学生解决问题，从而达到有效教学的目的。由于本节课是一堂日常课，缺少时间打磨，十个问题的设计是否最合理，能否优化，还有待于备课组同仁的商讨及实践检验。在教学过程中发现，学生的参与度参差不齐，有些学生已经适应了“填鸭式”的教学模式，只专注于记笔记，缺少主动思考与探究，对这部分学生我们要格外关注。在今后的教学实践中，我们要一如既往践行叶老的教学理念，朝着“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”方向坚定地走下去。