类比推理教学课例（数学）分析

韩平

【摘 要】以一节类比推理数学课为例，讲解“先行组织者”在数学教学中的应用方法。

【关键词】高中数学 类比推理 课例分析

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）11B-0097-02

“先行组织者”是美国教育心理学家奥苏贝尔在1960年提出的一个教育心理学的重要概念，“先行组织者”就是为同化当前知识与原有的认知结构而先于学习任务本身呈现的一种引导性的材料，它在教学中起到相当重要的桥梁作用。2003年教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出，倡导积极主动、勇于探究的学习方式。将“先行组织者”教学策略应用于数学教学中，适合学生认知结构的特点，有助于教师设计教学内容、安排教学顺序，有助于学生的自主学习、记忆保持、迁移运用。这一种教学策略，能够提高学生分析问题的能力和解决问题的能力，从而形成高效课堂。本课例是将“先行组织者”教学策略应用于課堂教学的实践，现将具体的教学过程呈现如下。

【学习目标】

1.了解类比推理的数学方法含义，以及这种思维方法的过程和特点；

2.运用类比方法进行简单推理，做出数学猜想；

3.培养学生的数学归纳能力，提高学生的创新探索意识；

4.培养学生严谨、创新的数学思维习惯和锲而不舍的钻研精神。

【重点难点】

重点：了解类比推理的含义以及数学中类比思维的过程、特点，能利用类比进行简单的数学推理。

难点：运用“观察—类比—猜想—证明”探求数学结论。

【课堂片段实录】

任务1：问题导思

阅读教材（普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-2），P25—27，在理解的基础上，完成下列知识点的填空。

1.鲁班由带齿的草发明锯；人们从蜻蜓的飞行过程发现直升飞机的飞行原理，仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇，在教学中由指数函数性质探索发现对数函数的性质。以上都是类比思维，即类比推理。

由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。简言之，类比推理是________的推理。

2.初中在平面几何中学习的勾股定理：如图 1 所示，在Rt△ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对的边，则用勾股定理表示为________。

任务 2：合作探究

例1 观察下列等式：

大家观察这组式子，他们有什么不同之处？从中可以发现什么规律？由此，你能归纳出 Rt△ABC 中三个内角的一个性质吗？这个性质是不是与勾股定理有几分相似呢？你进而能证明所得到的结论吗？

【设计意图】以学生熟悉的两个式子为“先行组织者”，引入课题，通过探索和发现，激发学生学习的兴趣。创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学情境，让学生带着问题通过自主学习、课堂讨论、相互合作等方式，使学生在解决问题的过程中不知不觉地实现知识的传递、迁移和融合。

学生小组讨论、展示。

A 组的观点是：由诱导公式得，从而得到在 Rt△ABC 中有；

B 组的观点是：因为，进而得到在 Rt△ABC 中有。

教师：上面得到的结论与勾股定理在形式上是否相似？你能运用勾股定理来证明这个结论吗？

【设计意图】从归纳推理过渡到类比推理。

进入小组讨论。

C 组展示做法：由平面内直角三角形的勾股定理：，得，从而得到。

教师小结：大家能从勾股定理出发，用归纳、类比的方法找到相关的性质。其实与勾股定理类似的还有许多数学性质，例如设 a 边上的高为 ha ，b 边上的高为 hb ，c 边上的高为 hc ， 是否成立？

小组讨论后，用特例说明，令 a=3，b=4，c=5，则 ha=4，hb=3，，故结论 明显不成立。

D 小组认为：通过实验，等式可能成立，大家可以尝试利用勾股定理作出说明。

于是，又进入讨论环节，最终给出了这个性质的证明。

【设计意图】教师将“先行组织者”设计为勾股定理，设问采用渐进分化策略，降低思维难度，让学生体会归纳推理的一般步骤，进而让学生知道归纳推理能够起到提供研究方向的作用，给出探索的路径。学生积极主动地参与课堂活动（例如小组讨论的形式），体验归纳推理获得数学结论的过程，了解归纳推理的含义，明确归纳推理的一般步骤。

【平行训练】

（1）如图 2 左图所示，设长方形的长和宽分别为 x 和 y，则其对角线 l 的长为：l = ________。

（2）如图 2 右图所示，设长方体的长、宽、高分别为 x，y，z，则其体对角线 l 的长为：l =________ 。

【设计意图】基础训练，检查教学效果。练习题由浅入深，螺旋上升，逐步提高学生的思维能力。

通过讨论得到答案（1）；（2）。

由平行练习得到启发，我们可以将勾股定理从平面几何图形拓展到立体几何图形。

例2 （普通高中课程标准实验教科书《数学》选修 1-2，P26 例 4 改编）如图 3 ，在正方形中用直线截得一个 Rt△ABC，同样在正方体中用平面截得一个三个侧面两两垂直的四面体。类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。

【设计意图】让学生通过观察、感知、分析和归纳，完成由易到难、由浅入深、由已知到未知、由特殊到一般的思维飞跃。思维提示：直角三角形中，∠C=90°，3 条边的长度为 a，b，c，其中 2 条直角边 a，b 和 1 条斜边 c →在 3 个侧面两两垂直的四面体中，∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°，4 个面的面积 ，， 和 ，其中 3 个“直角面”，， 和 1 个“斜面”→ 拓展：三角形到四面体的类比。

E 小组用類比的思想方法得到猜想：

教师：这个结论正确吗？请同学们证明。

通过学习讨论，学生展示了这个性质的证明方法。

【课后评析】

在《普通高中数学课程标准》中，课程基本理念倡导自主学习、探索学习，指出“高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质，使学生理解数学概念产生的背景和逐步形成的过程，体会其中的思想，体验寻找真理和发展真理的方法”。数学既是演绎的科学，也是归纳的科学，因此，数学已形成一整套结论的体系，而且结论的发现过程也成为我们教学的主要内容。归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有探索、发现和猜测部分数学结论的作用，有利于学生创新意识的培养，在实际生活中用途很大。类比推理这节课是以新课标为依据，结合学校科研课题“在新课改背景下高中数学教学中先行组织者策略的实践与探索”进行课堂教学设计。

在中学数学教学过程中，我们常常会遇到似曾相识的问题，如果把似曾相识的问题进行对比和比较，或许会发现许多意外的结果和方法。这种“把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个数学对象的性质”的思维方法就是类比法。本节课通过归纳的方法引出问题，用类比的方法去发现新的数学性质，再用演绎的方法去证明。所提供的问题情境，需要探索性思维和整体性思维。通过学生的观察和类比，寻找论证方法，给学生提供施展才华、发展智慧的机会。

教学设计是以学生认知结构中“原有观念”——勾股定理作为“先行组织者”，用类比的方法去同化和迁移，学习类似的新的数学知识。例如，在同一平面内的类比，通过勾股定理的形式“”，类比得到内角的关系“”以及三边上高的关系“”。又如，从平面到空间的类比，利用长方形的对角线的长“”，推广到长方体对角线的长“”；由直角三角形三边的性质“”，拓展到四面体四个面的性质“”。每一次类比或推广，都是通过学生认知结构中已有的有关观念去同化和发现新知。

在课堂教学中突出思维过程，在例题的配置方面，以探索性问题为主；在逻辑思维方面，注意解决问题的方向，充分体现数学猜想和类比推理在数学思维中的应用。在教学中运用了小组讨论的方法，彰显学生学习主体地位，充分发挥学生参与活动的主动性。在课堂上，给学生充分的思维活动空间，尽可能多地依靠学生自己去发现解题思路和动手作答。这是将“先行组织者”理论运用于课堂教学的一次有益的尝试。

（责编 卢建龙）