构建数学模型，优化问题解决策略

姜丽华

[摘 要]数学建模能够使学生深入数学问题的探索中，锻炼学生的数学思维，使学生由原来的机械式识记转化为主动探索知识，由原来的解决单一问题转化为解决同类问题。以“植树问题”教学为例，给出了建立数学模型的基本过程，即创设情境，感知模型;把握本质，构建模型;应用模型，实现价值。

[关键词]数学模型;植树问题;小学数学

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）17-0058-02

模型思想是重要的数学思想之一。数学建模能够使学生深入数学问题的探索中，锻炼学生的数学思维，使学生由原来的机械式识记转化为主动探索知识，由原来的解决单一问题转化为解决同类问题。下面以“植树问题”教学为例，探讨了建立数学模型的基本过程，力图为数学课堂上渗透建模思想提供可行的方法论。

一、创设情境，感知模型

数学建模是一个从具体情境到抽象模型再回到实际应用的过程。数学来源于生活，最终为生活服务，因此，教师需要在充分了解和尊重学生认知水平的基础上，把现实生活中的情境生动地展示出来，为创建数学模型提供生动丰富的现实支撑，让学生依托生动的情境问题主动发现隐含其中的数学问题，从而为创建数学模型奠定基础。

【教学片段1】

师：把30个苹果平均分给5位小朋友，一个小朋友能够分到几个苹果？

生1：这个问题太简单了。30÷5=6（个），一个小朋友能分到6个苹果。

师：非常好。把问题改动一下：学校里有一段长30米的小路，要在这段小路上每隔5米种植一棵树，一共需要几棵树呢？

生2：这个问题和刚才的问题不是一样的吗？30÷5=6（棵），一共需要6棵树。

生3：不对。我算的是需要7棵树。

师：为什么看似非常简单的数学问题，大家却得出了不同的结论呢？这节课我们就来研究“植树问题（两端都种）”，相信学完这节课以后，就可以很轻松地得出正确答案了。

生动的生活情境是建模思想的基石。教师首先以“分苹果”的情境引入，在学生轻松得出正确答案后，教师顺势把问题转化为植树问题，学生在计算过程中，由于结果不一致发生了碰撞和冲突，进而产生了进一步探索的愿望。

二、把握本质，构建模型

建立数学模型的核心是引导学生从现实生活问题出发，用精准的数学语言提炼出数学问题，分析数学问题中各个量之间的本质联系，使学生经历猜测、验证、修订和反思的完整过程，从而在建模过程中不断丰富学生的思维方式，提高学生的思维品质。

【教学片段2】

师：回到之前的问题：学校里有一段长30米的小路，要在这段小路上每间隔5米种植一棵树，一共需要几棵树呢？

生1：可以试着用画图的方法来解决。

师：好，那就尝试着画图来解决这个问题吧。

生2：我用整条线段来代表这段30米长的小路，用线段上的点代表树，用小线段代表一个间隔。（如下图）       [树][5米][（30米小路）][ ]

生3：这个方法真好，把问题说得很清楚。

师：画线段图的方法很棒！把抽象的植树问题转化成了直观的线段图，一下子让问题简单了很多。

把具体的情境问题转化为抽象的数学问题是构建数学模型的重要一步。教师引导学生通过画线段图的方式把生活情境中的问题抽象化和数学化，在生活原型和数学问题之间搭建了一座桥梁。一棵棵树转化为线段图上的一个个点，树与树之间的间隔转化成了一条条小线段，从而生动形象地展示了植树的整个过程。学生画线段图的过程，实际上就是把植树的过程内化于心的过程。

【教学片段3】

师：按照自己画的线段图数一数，一共需要几棵树呢？

生1：7棵。

生2：咦，30÷5=6，怎么数着线段上有7个点，这是怎么回事呢？

师：谁能为生2答疑解惑呢？

生3：线段的确是被分成了6段，但是如果把点和线段一一对应起来就会发现，点的数量比线段要多一。如图，第1个点对应第1条线段，第2个点对应第2条线段，第3个点对应第3条线段……第6個点对应第6条线段，这时还剩下第7个点。也就是说点数比线段数多1。

[ ][1               2             3              4             5              6]

师：那这个点数代表什么，线段数又代表什么呢？

生4：点数代表树的棵数。

生5：线段数代表间隔数。

师：线段数与点数之间有什么关系呢？

生6：点数=线段数+1。

师：分析得很好，也就是说，棵数=间隔数+1。

生7：那间隔数是怎么计算出来的呢？

生8：这个好办。全长÷间隔=间隔数。在这道题中，30÷5=6，6就是间隔数。

师：非常好。根据“棵数=间隔数+1”，再加上刚才得出的“全长÷间隔=间隔数”，可以得出这样的结论：棵数=全长÷间隔+1。

生9：为什么明明分成了6个间隔，却需要7棵树？

生10：棵数与间隔数之间的关系实际上就是线段图上点数与线段数之间的关系。通过线段图不难得出，点数比线段数多1。

师：改变路的全长，看看我们的结论是否还成立。请通过画线段图和计算来完成下面的表格。

[全长 间隔 间隔数 棵数 20米 5米 30米 5米 40米 5米 ]

生11：这是我填写的表格。通過画线段图，我发现路的全长改变以后，“棵数=全长÷间隔+1”的结论依然是成立的。

[全长 间隔 间隔数 棵数 20米 5米 4个 5棵 30米 5米 6个 7棵 40米 5米 8个 9棵 ]

师：改变树与树之间的间隔，看看我们的结论是否还成立。请通过画线段图的方式进行计算。

[全长 间隔 间隔数 棵数 30米 5米 30米 6米 30米 10米 ]

生12：这是我填的表格。通过画线段图，我发现树与树之间的间隔改变以后，“棵数=全长÷间隔+1”的结论依然是成立的。

[全长 间隔 间隔数 棵数 30米 5米 6个 7棵 30米 6米 5个 6棵 30米 10米 3个 4棵 ]

教师引导学生把线段图和植树问题紧密结合起来，概括出“棵数=间隔数+1”的结论，在这个基础上，结合“全长÷间隔=间隔数”，最终得出“棵数=全长÷间隔+1”，从而初步建立植树问题的数学模型。纵观整个过程，把棵数与间隔数之间的关系转化为线段图上点数与线段数之间的关系在建模过程中发挥了化繁为简、化难为易的作用。为了使模型更加“丰满”，教师采取了“变式”策略，通过变化“全长”和“间隔”验证了模型的正确性，这就使得模型在解决此类问题时具有更为广阔的应用空间。

三、应用模型，实现价值

构建数学模型的目的是为了更好地解决现实生活中的问题，因此，数学模型建构后必然要回归到现实生活，才能凸显其价值和生命力。

【教学片段4】

师：在生活中有类似的植树问题吗？

生1：公交车的站点问题实际上就是植树问题。站点的个数相当于棵数，站点与站点的距离相当于间隔。

生2：马路上安装路灯也是植树问题。路灯的个数相当于棵数，路灯与路灯之间的距离相当于间隔。

师：既然生活中的植树问题这么多，那么我们就试着解决一个具体的问题吧。国庆节期间，一条长100米的马路上要插上红旗，每隔10米插一面红旗，一共需要几面红旗呢？

生3：100÷10+1=11（面）。这个问题实际上也是植树问题。红旗的数量相当于棵数，红旗与红旗的距离相当于间隔，根据“棵数=全长÷间隔+1”可以推导出“红旗数=全长÷间隔+1”。这样就很容易得出结论了。

生4：建立模型的方法真巧妙呀，它使我们解决问题变得更容易了！

数学模型的应用过程实质上就是对数学模型不断进行验证和完善的过程。应用模型的关键是要敏锐地发现数学问题与模型之间的共性与对应关系。学生用“植树问题”数学模型解决“插红旗”的实际问题，显示了数学模型在解决同类问题中的独特优势。

建构数学模型是优化问题解决策略的重要途径。教师要让学生体验数学建模在解决实际问题中带来的便利，使学生初步具备建模意识，形成利用建模思想解决实际问题的能力。

（责编 童 夏）