巧用扑克牌做实验

兰衍局

[摘 要]抽屉原理是组合教学中的一个重要原理。依据“一个项目玩一节课”的理念，利用扑克牌作为实验项目，让学生在玩扑克的游戏中体会、理解“抽屉原理”的概念，从而发展能力，提升素养。

[关键词]项目学习;抽屉原理;扑克

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）17-0010-04

【教学内容】人教版教材六年级下册“数学广角——抽屉原理”

【教学目标】

1.初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决一些简单的实际问题。

2.通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律，渗透建模思想;经历从具体到抽象的探究过程，亲历知识的形成过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

3.提高学生解决数学问题的能力和兴趣，使学生感受到数学文化及数学的魅力。

【项目背景与思考】

1.分析教材：教材并没有直接给出“抽屉原理”的定义，而是在“你知道吗”出现了这样的描述：抽屉原理是组合教学中的一个重要原理，它最早由德国数学家狄利克雷提出并用于解决数论中的问题，所以该原理又称“狄利克雷原理”。

面对教材，需要关注以下两种不同的问题形式：问题一，把4个苹果放在3个抽屉里，总有1个抽屉至少有2个苹果。对吗？问题二，把4个苹果放在3个抽屉里，总有（     ）个抽屉里面至少有（     ）个苹果。这两种不同的问题形式，会导致学生解题出现差异。问题一指向的是假设法，即假设这句话是错误的，那么，每个抽屉最多只能放1个苹果……问题二指向的是平均分法，即将苹果平均分散在不同抽屜里面，会使得每个抽屉中苹果的数量尽可能的少。在问题二的背景下，学生容易列出“苹果数÷抽屉数=商……余数”这样的算式。

2.学情分析：学生对于这一教学内容的学习有以下困难：

（1）对抽屉原理中“至少”的理解存在障碍。抽屉原理在语言表述上具有精练、概括、抽象的特点，因此，学生很难理解 “总有一个抽屉里至少放入了多少个物体”这样表述的意义，他们往往忽略前半句 “存在性 ”的前提，将“存在性”与“至少”割裂后思考，根据过去的经验把 “至少”理解为数量上的绝对少。如有学生认为：这个问题根本不用多想， 最少的个数就是 0，因而不能很好理解抽屉原理的数学模型。（其实，这里有最值思想的渗透，如果让学生体会到最多的那一个抽屉里最少可以放几支笔，就可以了。）

（2）对“存在性”的理解存在障碍。抽屉原理研究的是物体数最多的一个抽屉里最少会有几个物体，只研究是否存在这样一种现象， 而并不需要指出具体是哪一个抽屉。正所谓：“松下问童子，言师采药去。只在此山中，云深不知处。”这种“不确定性”与学生过去的定量学习和习惯于“明确指向”的思维定式之间存在着矛盾，在一定程度上影响着学生对抽屉原理的理解和应用。换句话说，对存在性定理的理解即对最差角度的体会，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。

（3）学生用准确的数学语言描述数学知识的能力不强。鸽巢问题的表述本来就拗口，学生对“总有……至少……”的理解难度大，如果不让学生从本质上理解鸽巢原理，那学生是无法用准确的语言来表达的。

为此，笔者依据“一个项目玩一节课”的理念，利用扑克作为实验项目，让学生在玩扑克的游戏中体会、理解抽屉原理的内涵，从而发展能力，提升素养。

【项目实施过程】

一、课前谈话

师：今天老师给大家带来了扑克牌。你了解扑克牌吗？谁能给大家介绍一下。

生：扑克牌有13个数字;扑克牌有4种花色和大小王。

师：用扑克牌可以干什么？

生1：赌博。

生2：玩游戏。

生3：用来学习，比如算24点。

生4：变魔术。

二、 引入新课

1.体会“总有”“至少”

【活动一】从一副52张的扑克牌（去掉大小王）中随意抽出5张牌，如果把抽到的花色次数统计出来，可能会有什么规律？

师;仔细观察这组数据，你发现了什么？

生1：每种花色的次数会变化，但是每组的总数都是5。

生2：每组中最少的数量是0或1，最多的数量有2、3、4。

师：同学们能从整体上观察数据，非常了不起。最多的花色次数还可能是几？

生3：最多的花色次数是5，我刚才就抽到了5张“红桃”的花色。但是，每组中总有一种花色至少会出现2次。

2.体会“至少”“总有”

师（板书“总有一种花色至少出现2次” ）：你觉得这句话对吗？

师：在第一次实验结果中，红桃出现了3张，不是2张。

生4：这里是说，至少2张，不是刚好2张。至少的意思是大于或等于2。

师：但是在第一次中，“方块”没有出现一次，没有大于或等于2呀？

生5：我明白了，在观察这些数据的时候，不能仅仅看1种花色的情况，要把4种花色都看一遍。虽然在第一次的数据中，“方块”没有出现，但是，“黑桃”出现了3次。因此，总有一种花色出现2次是正确的。

（教师让学生观察、思考其他情况）

【设计意图 ：“总有”和“至少”这两个关键词，反映了学生对“存在性原理”的理解水平。由于抽屉原理研究的是物体数最多的一个抽屉里最少会有几个物体，只研究它是否存在这样一种现象，而并不需要指出具体是哪一个抽屉。这种“不确定性”与学生过去的定量学习和习惯于“明确指向”的思维定式之间存在着矛盾，在一定程度上影响着学生对抽屉原理的理解和应用。因此，在教学开始，笔者便让学生开展“抽取扑克牌，观察花色数量”的活动。学生在讨论中体会“至少”和“总有”这两个关键词，为后续研究扫清障碍。】

三、教学新课

1.初步感知抽屉原理

【活动二】把4张扑克牌放在3本书上，总有1本书上面至少有2张扑克牌。对吗？

要求：  （1）独立操作：找出3本书，利用4张扑克牌（背面朝上）做实验：边操作，边记录。

（2）同桌合作：向同桌介绍你的想法;请同桌“找茬”。

师：能读懂题目的意思吗？我们先做一个小实验吧。老师手上就有4张牌，你觉得可以怎么放？（根据学生回答，教师随意在第一本书上放3张牌，在第二本书上放1张牌）

生1：我觉得这样放是不符合要求的，因为题目要求是“放在3本书上”，而第三本书上没有放。因而，这样放是不行的。

生2：我觉得没有问题，“把4张扑克牌放在3本书上”并不是说“每本书上都要放扑克牌”。

……

师：如果这样放，该怎么记录呢？（板书：3，1，0）

师：这样放置的结果，能判断吗？

生3：可以的，因为第一本书上面有3张牌，说明了这个结论是正确的。

师：这种情况下可以说明这个结论是正确的，那是不是所有的情况都符合呢？看来，我们还需要继续做实验。

（同桌两人合作做实验，一人摸牌，一人记录，教师巡视指导）

成果汇报：

（1）枚举法1

生4：将4张扑克牌放在3本书上，罗列出所有的情况，有（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4）（3，1，0）（3，0，1）（1，0，3）（1，3，0）（0，1，3）（0，3，1）（2，2，0）（2，0，2）（0，2，2）（2，1，1）（1，1，2）（1，2，1），共计15种。

生5：我们罗列了全部情况，共有15种。每种情况都证明了总有1本书上面至少有2张扑克牌。因此，我们认为这句话是正确的。

师（展示学生作品）：很多小组也想全部罗列出来，但是有些是14种，有些是16种。请大家认真看看这15种，有没有問题？

生6：我发现，他们在记录这些数据的时候，能“有序思考”，仔细比较，应该只有15种情况。

师：像这样把全部的结果都罗列出来的实验方法，我们称为“枚举法”。请仔细观察这里的每一种结果，再想一想是否可以证明这句话是正确的。

生7：是的。

（2）枚举法2

生8：我们认为不用这么多，只要研究这四种就可以了：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1）。因为不管怎么放，只是顺序变化了，而数量上没有变化，对于总有2张扑克牌放在同一本书上这个命题没有影响。

师（引导学生观察刚才的15种）：（4，0，0），（0，4，0），（0，0，4）这三种情况是不是像这位同学讲的一样，只是顺序发生改变，本质上都是说明了“总有1本书上至少有2张扑克牌”？

生（齐）：是的。

生9：像这样的情况，我们留下一种就可以了。这样算下来，这15种可以分为4类，每类都留下一种情况，所以，只要研究4种就可以了。

师：同学们真了不起，能想到4种情况来代替15种。那么，有没有比4种还简单，但又能说明这个结论的方法呢？

（3）假设法1（最差角度）

生10：用（1，2，1）这一种情况就能说明这个结论是成立的。因为这个问题是让我们判断“总有1本书上会出现2张扑克牌”，我就从最差角度来思考：能不能让每本书上都不出现2张或2张以上呢？于是，我在每本书上只放1张牌（教师让学生到讲台前动手操作）。这样，我分掉了3张牌。可是，还有1张牌，不管怎么放，总会出现在其中的一本书上。（板书：1×3=3   3<4）

（4）假设法2（反证法）

生11：我也是用（1，2，1）这种情况就能说明这个结论是成立的。但是，思考方法和生10不同，我假设这句话是错误的。那么，每本书上多只能放1张或0张牌（学生动手操作）。这样，我分掉了3张牌。可是，还有1张牌，不管怎么放，总会出现在其中的一本书上。

【设计意图：从枚举出来的15种方法，到不考虑位置顺序的4种方法，进而到（1，2，1）这样只用一种方法来证明的思维发展进程中，学生经历了数学建模的全过程，触摸到了“抽屉原理”的本质属性，即从“最差角度”来思考问题，体会到了“抽屉原理”的优越性。】

2.建构抽屉模型

（1）1+1的模型书上

师：我们在“将4张扑克牌放在3本书上”发现了规律。如果把扑克牌数和书本数都增加相同的数量，这个规律还存在吗？（课件依次出示各种数量变化的情况）

A.将5张牌放到4本书上。

B.将6张牌放到5本书上。

C.将10张牌放到9本书上。

D.将100张牌放到99本书上。

[不管怎么放，总有1本书上面至少有2张牌。对吗？ ]

师：请你挑选一个例子向同桌说一说原因。

师：你还发现了什么规律？

生12：扑克牌数比书本数多1的时候，这个命题都成立。

（2）商+1的模型

①余数为2

师：如果扑克牌数与书本数发生其他变化时，还是这样的吗？

师： 5张牌放在3本书上，总有1本书上会出现2张牌对吗？

生13：从最差的角度来思考，我先在每本书上放1张牌，这样我的手上还有2张牌。不管怎么放，总会有1本书上会出现2张牌或3张牌。

生14：我反对，如果你把这2张牌放在同一本书上，本身就已经给出了结论，那就不是从“最差角度”来思考了。应该把2张牌分开放，虽然分开放了，但是每本书上还是有2张牌，才能说明结论是正确的。

……

②余数为0

师：如果把6张牌放在3本书上……你会怎么放呢？

生15：我首先在每本书上放1张牌，这时候手上还有3张牌，于是，继续在每本书上放1张牌……

生16：我不会这样放。6张牌放在3本书上，就是我们以前学习过的除法平均分，所以，我先口算6÷3=2，然后，直接在每本书上放2张牌。

师：真了不起！你发现了“抽屉原理”和以前学习的“除法平均分”是相同的，这是一种思考问题的好方法。

师：除法平均分的方法和刚才的方法有没有相同的地方？

生17：除法平均分就是把扑克牌数“分散”了，也就是每本书上面都最少了。

生18：哦！除法平均分的方法也就是从“最差角度”来思考的方法。

……

【设计意图 ：“最差角度”与“除法平均分角度”看似无关，实则本质相同，用“除法平均分”证明结论的方法，就为“抽屉模型”的建構做了很好的铺垫。】

（3）破解“商+1”的模型，沟通平均分

【活动三】

A.将7张牌放到3本书上，有1本书上至少有3张牌。对吗？

B.将8张牌放到3本书上，总有1本书上至少会出现（ 3 ）张牌。

C.将（    ）张牌放到（    ）本书上，总有1本书上至少会出现（    ）张牌。

师：将7张牌放在3本书上，总有1本书上至少有3张牌。你是怎么判断的？

生19：我用假设法，在每本书上只放2张牌，但是我的手上还有1张牌，所以这个结论是成立的。

生20：我用的是平均分的方法，我的算式是7÷3=2……1，2+1=3。我将7张牌尽量平均分在3本书上，但是，只能分掉了6张牌。还有1张牌多余……

【设计意图：同样的一道判断题，学生从不同的角度给出了解释。可见，学生已经理解了抽屉原理的实际含义。】

师：把8张牌放在3本书上，总有1本书上至少会出现几张牌呢？

生21：这不是判断题，这是填空题了，我觉得用假设法好像不太好。

生22：我们可以用平均分的方法来思考。8÷3=2……2，2+2=4。

生23：不对，应该是2+1=3。要把多余的2张再“平均分”。

……

师：你们刚才发现和分析的就是著名的数学家狄利克雷发现的“鸽巢问题”，也叫作狄利克雷原理，同时叫作抽屉原理。

师：我们常常用苹果和抽屉来表示需要研究的元素……

【设计意图：把判断题改为填空题，让学生发现“平均分”这种方法的普适性，学生就能“触摸”到抽屉原理的本质属性。】

（责编 金 铃）