一道高考题目的解答与评析

重庆市酉阳第一中学校 曹珍玉

本文选择的是2014年高考数学全国Ⅰ卷第12题，是一道选择题。题目如下：“已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（ ）。A. （2，+∞）；B. （1，+∞）；C. （-∞，-2）；D. （-∞，-1）。”本文针对该题进行一些研究。

一、问题的解答

解法1

思路分析：这是一个包含参数的函数，且参数a在未知数最高次项之前，所以a的数值是一个值得讨论的重点。当a=0时，f（x）=-3x2+1；当a≠0时，f（x）=ax3-3x2+1。但是a取值正负并未交代，所以题目可分为a=0、a＞0和a＜0这三种情况进行讨论。

x （-∞，0） 0images/BZ_47_1084_1991_1101_2008.pngf '（x） + 0 - 0 +f（x） 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增

∵a＞0，∴当x→-∞时，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，∴当x∈（-∞，0）时，必存在一点p，使得f（p）=0成立。结论与题干矛盾，故舍弃。

0 （0，+∞）f '（x） - 0 + 0 -f（x） 单调递减 极小值点 单调递增 极大值点 单调递减x

由于f（0）=1＞0，而x→+∞时，f（x）→-∞，

故存在一点x0＞0，使得f（x0）=0。

∵f（x）存在唯一零点x0，且x0＞0成立，

又∵a＜0，∴a∈（-∞，-2）。成立，即

所以，题目的正确答案为C项。

解法2

思路分析：上述解法工作量大，对于一个选择题而言有些大材小用的意味。由于此题为选择题，4个选项给出的都是参数a的取值区间，也就是说，在正确答案给出的区间内，我们随意取值都能使得题目条件成立。所以，采用特殊值验证法进行逆向推理，从而排除错误选项也能得到正确答案。

x （-∞，0） 0images/BZ_47_2152_1501_2168_1518.pngf＇（x） + 0 - 0 +f（x） 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增

假设D项为正确答案，从其区间内取a=-2，则f（x）=-2x3-3x2+1，f'（x）=-6x2-6x。令f'（x）=0，得x1=0，x2=-1，而后制作表格如下：

x （-∞，-1） -1 （-1，0） 0 （0，+∞）f '（x） - 0 + 0 -f （x） 单调递减 极小值点 单调递增 极大值点 单调递减

由上表可知，f（-1）是函数f（x）的极小值点，且f（-1）=0，所以-1是函数的一个零点，故D选项排除。经过一系列逆向推理，三个选项都已被排除，那么正确答案也就显而易见了。

二、评析

综合来看这两种解题方法，虽然整体的工作量都不小，但是排除法的逻辑思维复杂程度明显更低。根据选项表述将参数具体化，这一步有效降低了题目难度，而后通过反证法，应用逆向推理的思维找出矛盾，进而排除选项，得到最终答案。

但是第二种解法的适用范围较窄，因为解题过程中做出的每一种假设都要有一个支持其立足的基本点，所以该方式多用于选择题的分析和解答。若题目是以解答题形式出现，例如同类型例题：“已知函数f（x）=4x3+3tx2-6tx+t-1（x∈R，t∈R）。（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（3）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点。”此道题目的解答就要使用第一种方法，因为该方法更常规，更具有普适性。