注重直观想象，提升数学素养

汪文飞

摘  要：直观想象是高中数学六大核心素养之一。培养直观想象素养，能够使学生养成运用图形和空间想象思考问题的习惯，提升数形结合的能力，建立良好的数学直觉，挖掘问题本质，本文从实践出发，在识图、用图、构图等环节渗透直观想象素养的培育，并通过例题具体论述了直观想象在函数、不等式、平面向量、立体几何、解析几何等问题中的应用，说明培养直观想象素养在数学学习中的重要性。

关键词：高中数学;核心素养;直观想象;数形结合

高中数学课程标准修订组的专家提出了高中數学学科的六大核心素养，直观想象是其中重要的组成部分之一。仔细分析近几年的浙江省高考试题，不难发现对直观想象素养的考查上升到前所未有的高度。直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。在数学学习中充分发挥直观想象，可以让学习过程具体、生动、形象，更具韵味;这可以激发学习数学的兴趣，从而提升学生的学科素养。

直观想象主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

对此，笔者的看法是：直观想象就是要会看图，会用图，会画图，会想象图形。下面，我就从这几个方面来谈谈如何培育学生的直观想象素养。

一、掌握图形性质，提高识图能力

图形是数学的重要研究对象之一，因此，在数学教学过程中，首先要培养学生对图形的直观洞察力，根据图形中的已知信息向着结论进行直观化推理，探索出解题的思路。提高识图能力，首先要养成正确的图形观察习惯;其次要善于获取图形的重要信息、挖掘图形的隐含条件。当然，对图形性质的理解是直觉产生的源泉，是直观洞察力迸发的载体。直观洞察力是在情境所展现的图形信息被学生获取后，能够将获取的信息与自己原有的知识体系建立相应的关系，从而解决问题的一种能力。

例1：设函数 ，则 的最小正周期（   ）

A.与 有关，与 有关      B. 与 有关，但与 无关

C. 与 无关，且与 无关    D. 与 无关，但与 有关

分析：这是2016年浙江省高考题第5题的改编，考察学生对三角函数与绝对值函数图象性质的理解。绝对值里面这个函数的周期是定值 ，当 时，里面这个函数的对称中心在 轴上，加了绝对值之后，得到 的周期就变为 ;当 时，里面这个函数的对称中心不在 轴上，加了绝对值之后，得到 的周期就依然为 。所以，与 有关，正确答案为D。

例2：函数 （ ）的导函数 的图象如图1所示，则关于 的叙述正确的是（   ）

A.一定无最小值     B.存在 使得

C.一定有最大值     D.存在 使得

分析：这是2017年浙江省高考题第7题的改编，考察导函数与原函数图像之间的关系。导函数函数值的正负反映原函数的单调性，导函数的零点和原函数的极值以及最值密切相关。

由此可见，基本图形性质理解与掌握是直观洞察力的必要基础，比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、绝对值函数等基本函数的图像特征与性质，就要要求学生熟练掌握。有了扎实的基础，就可以利用图形的对称、平移、翻折等解决更复杂的问题。

二、理解问题本质，强化用图意识

数与形并不是对立的，而是在一定条件下可以实现相互转化。数量关系获得几何解释，可以使问题变得直观易懂，几何问题得到代数表示，可以使几何直觉、合情推理等转化为程序化操作的代数运算，实现化难为易的目的，并使人获得对问题的精确化、理性化的理解。

在数学解题过程中，导致解题过程繁琐的很大一部分原因是对题意的理解不够透彻，没有深入到问题的本质。教师在解题教学中应当尽可能直观地分析解题思路，强化学生的用图意识，有意识地将试题中代数形式的表象与直观想象产生联系，培养学生灵活使用直观想象进行解题的习惯。当很难从题目字面上直接获得解题的线索时，借助图形很可能就容易找到问题的突破口。

例3：等腰直角 斜边 上一点 满足 ，将 沿 翻折至 ，使两面角 为 ，记直线 ， ， 与平面 所成角分别为 ， ， ，则（    ）

A.         B.

C.        D.

分析：这是浙江省2017年11月的学业水平考试第18题。考查的是立体几何的翻折问题，这对学生来说是一个难点，也经常出现在选择填空的压轴题上。如图2，要比较出这三个角的大小，就是要比较三条斜线在底面上的射影的长短。又因为点 在底面上的射影 必然落在折线 上，且由条件可得到 ，所以，我们可以很直观得得到 ，从而 。

例4：已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值是________，最大值是_______.

分析：这是浙江省2017年高考题的第15题。学生拿到这个问题，还是比较蒙的，甚至感觉无从下手，其实要解决这道题首先要掌握 和 这组向量的几何意义。主要解法有：

解法1： 和 就是以 ， 为邻边的平行四边形的两条对角线所对应的向量。

如图3， ， ，

则 ， ，设 ， ，

则 ，

且由平行四边形中对角形的长度和邻边的长的关系可得， ，

最后，利用线性规划便可得到 。

解法2：如图4， ， ， ，

则 ， ，由图可得，

，

又 ，

所以 。

解法3： 如图5，设 ， ， ，

则 ， ，则点 在单位圆上，由图可知，当点 在 或 时， 取到最小值 ，当点 在 时， 取到最大值，为该椭圆的长轴长 。

除了这两种解法，对于本道题，我们还可以用坐标法和三角换元解决，也可以用三角不等式和柯西不等式等方法求解，這里就不一一分析。

解题过程中，学生经常会遇到一些看似很新的题目，感觉很难找到解决问题的突破口，主要原因就是对一些数学结论的几何意义理解的不够透彻，或者对数学解题的思想方法总结的不到位。数学中的大部分概念、公式及定理等都有着数与形的双重特征，通过建立数形之间的联系来加强学生对数学本质的认识，从而在解题中起到化繁为简的作用。

三、加强画法交流，构造最佳图形

直观想象素养是一种围绕几何思维解决问题的能力素养。因此，图形是直观想象的基础，数形结合思想是高中数学解决问题的重要思想之一。很多时候，往往是借助图形，将代数问题几何化，找到解决问题的方法。但如果我们所画出的图形不利于问题的直观分析，或者在直观化过程中存在问题，出现了科学性的错误，那么数形结合就难以发挥它真正的作用。因此，如何借助直观想象，构造出有利于问题分析的最佳图形，显得尤为重要。

想要借助数形结合将复杂的问题简化，我们必须在脑中想象、分析解决问题所需的直观角度，采用恰当的图形视角画出图形，才能提高解题的有效性。不同角度的图形构造对问题的直观分析产生直接的影响。所画图形不同，解题的效率就大相径庭。例如，用向量法解决立体几何问题时，常常遇到空间直角坐标系的建立问题，建立的位置不一样，可能对处理问题的计算量影响很大。还有，部分立体几何的相关试题没有直接给出几何图形，需要学生自己绘制，比如题目要求绘制一个三棱柱，学生根据自己的思维习惯可能画出图6的两种形式。究竟哪一种画法更合适，可以让学生在课堂上交流自己的作图想法，然后教师根据作出最合点评，这样有针对性地指导学生进行图形的绘制，不仅可以提高学生分析问题和解决问题的能力，对培养学生严谨的学习态度也有很大的帮助。

例5：已知函数 在定义域内有两个不同的零点，求实数 的取值范围。

分析：函数的零点个数问题经常借助图象来解决。但处理的方法可以不同，对这道题，有些同学会去研究 的图象与 轴的交点，从而借助导数去讨论 的单调性。也可以将 转化成 ，从而去研究 与 这两个函数图象的交点。还可以进一步转化成 ，再去研究 与常数函数 的图象的交点。分析完之后，可以让学生感受这三种做法的不同，从而体会画出最佳图形的重要性。

当然，想要画出完美图形的前提是要画出正确图形。学生在借助数形结合解决数学问题的过程中，容易对题目的要求或都推理过程分析不够透彻，而导致代数与几何之前不等价转化，这是解题时错误产生的一重要原因。错误产生的原因不尽相同，可能是直观思维的不完整，也可能是定式思维的作用或画图时的疏忽，或者是对某数学知识的本质理解得不够透彻。比如，画函数图象时，有些渐近线就不能忽视。不同的问题对图形精确性的要求也不尽相同，有些问题只需画出大概草图便能直观分析，有些则对图形的精确性要求有着较高的要求。所以在图形绘制时，需根据问题的要求，明确图形所需的大致精确性。在进行数形转化的过程中，还需对画图的每一个环节进行合情推理，分析图形的合理性，避免科学性错误的发生。

（一）善于归纳整理，牢记实用模型

解题并不是以获得正确答案为最终目的，而是通过经历一道道题目的解决过程，归纳整理，总结反思，揭示本质，从而获得一类题目的解题思想与方法。因此，解题并不能停留在题目的表面，而是要深入其内部，找到问题的源头，进而获得直观模型。

例6：如图7，四棱锥 满足： 平面 ， 平面 ， ， ，  ， ，则四棱锥 的体积最大值为

分析：此四棱锥的底面积已经是个定值，要求体积的最大值，就是求点P到底面ABCD距离的最大值。由条件可得，平面 平面ABCD，故点P在底面ABCD内的射影落在交线AB上，又因为 与 相似，故 ，所以点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，从而很快可以得出此圆的半径，这就是动点 到底面 距离的最大值。本题的本质就是考察动点的轨迹，此类问题就要求学生平时善于总结，尤其是一些常用的模型最好要牢记并灵活运用。还有，直线与圆锥曲线的综合问题中，也有一些重要的结论，需要学生自己归纳总结，并熟练掌握。

例7：如图8，已知直线与抛物线 交于A，B两点，且 ， 交 于点D，点D的坐标为 ，求 的值。

分析：这是选修2-1教材中第81页复习参考题B组第3题，学生解决起来也是很困难，其实本题考查的就是一个重要结论，即直线与抛物线 交于 两点，若 ，则直线 过定点 ，再利用 便可得解。

直观想象是对于数学对象的本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察、思考和总结的基础之上，既有相对丰富的经验积累，也有经验基础之上的理性的概括和升华。因此，运用直观想象开展数学学习活动需要平时不断地潜移默化，积累经验，最终实现运用自如的目的。这就要求我们教师长期不懈地探索、实践和创新，教师要通过合适的学习任务、学习情景和学习活动的创设，把数学核心素养的养成和发展，渗透、呈现在日常教学中，使常态教学和核心素养培养有机结合。

当然，我们强调直观想象在培养学生数学素养中的地位和作用，但也要防止走向另一个极端。图形揭示很直观、生动，但有时图形也会欺骗我们的眼睛，“以理服人”是数学的精髓。即使是很直观的结论，也还是需要老师们引导学生去进行推理证明，通过逻辑推理的严谨去验证直观想象的合理，让学生体会直观想象与逻辑推理相得益彰，这正是体现了数学学科六大核心素养既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体。

参考文献：

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[4]沈金兴 王奋平.从PME视角看直观想象素养及其培养[J].高中数学教与学，2017（8）：8-10.