结构化：让数学理解走向更深入

赵红婷

[摘  要] 理解对学习而言意义深远。理解有利于知识的同化和顺应，能不断完善学习者的认知结构。理解的程度由结构内部联系的数目和强度来定，随着知识网络的变大、组织结构的完善，理解就会变得更深入。数学理解是一种基于结构化的学习能力。数学理解以知识的结构化、网络化为本质，以生成性和发展性为特征，以重新组织为形成机制，以自主活动为形成条件，在教学中具有重要意义。数学理解兼具过程和结果的特性，既存在于学习过程中，又体现为学习结果。各类表征的网络结构、互换互译，促进了学生的数学理解和意义建构，实现了学生数学素养的整体提升和拔节生长。

[关键词] 结构化;数学理解;结构关联;结构突变;结构融通

理解的重要性毋庸置疑。知识一旦被理解，便易于同化和顺应，并有助于不断完善学习者的认知结构。王瑞霖老师说：“数学理解是一种结构化的学习能力，是在学习过程中表现出的认识数学的个性特征。” [1]的确，数学理解以知识的结构化、网络化为本质，基于理解的数学学习是知识结构不断精细化、丰富化的过程。理解的程度由结构内部联系的数目和强度来定，随着知识网络的变大、组织结构的完善，理解就变得更深入了。

一、理解的触发：学习思维的结构关联

如果任由数学知识呈点状排列，凌乱而不成系统，就会给学习者造成困扰。学习者要具备一种关系思维，将零散的知识串联起来，形成知识网络，凸显知识体系。在解决问题时，可在同中求异、在异中求同，抓住事物的本质特征，加深对事物的理解或认识。

（1）同中求异。相同事物中寻找相异之处，这是构建关系的常用思维方式。例如，教完苏教版六年级下册“正比例和反比例”之后，学生认识到：此二者均指两种相关联量的有规律变化趋势。教师追问：“正比例和反比例有什么不同点？”学生通过思考得出不同之处：成正比例的两个量比值一定，它们是同向变化;成反比例的两个量乘积一定，它们是反向变化。这时，一学生质问：“正比例、反比例跟比例有什么关系？”讨论后，有学生说：“任取正比例的两组量，他们的比值都相等，都能组成比例;再根据比例的基本性质将比例变形为乘积的形式，从反比例中任取两组量，它们的乘积相等，这不也能组成变形的比例吗？”由此，打通了比例和正反比例之间的关系。同中求异的思维方式，拓展了思路，使课堂生成了更多精彩。

（2）异中求同。相异事物间寻找的相同之处，这是构建关系的另一种思维方式。例如，图形知识具有很多子系统，如果进行横向比较，就会发现子系统之间的某些对应关系。整理图形知识时，于不同处寻找相同处，能寻找到图形之间的一些同构关系。其一，研究方式具有相同的逻辑线索。三角形与各种多边形的研究方式基本类似，一般是先学习概念，再研究图形特性和周长、面积、体积等图形计算，进而再研究图形之间的关系。其二，计算公式推导具有相同点。在推导一些图形的面积或体积公式时，往往将新知转化为旧知，体现了简约化思想。这类例子不胜枚举。异中求同的思维，有助于建构模型，凸显知识的特征及其联系。

二、理解的增长：知识网络的结构突变

皮亚杰在《发生认识论原理》中指出：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的……这种结构或者正在形成‘更强的结构，或者在由‘更强的结构来予以结构化。” [2]把已有的知识网络联系上新信息，或在之前无联系的信息之间建立新联系，这样就产生了理解。如果概念、方法或事实能纳入内部表征网络，并成为它的一部分，那么，这些数学知识被理解了。理解的增长，往往伴随着知识网络的变大或组织得更加完善。

量的增加：知识网络的扩大。知识网络的扩大是指知识在数量上的增加，即把新的数学概念、方法和事实等纳入现有网络。例如，教学苏教版六年级下册“图形知识的总复习”一课时，教师要清楚地认识到：平面图形和立体图形之间的联系非常紧密，它们是并列关系，如果进行恰当地变化和联想，就能打通它们之间的关系，实现二维和三维视角的转换。立体图形表面存在平面图形，而平面图形通过运动或叠加会形成立体图形。教师可引导学生思考：“在立体图形上能找到哪些平面图形？”学生画出平面图形后，再鼓励学生发现立体图形和平面图形的关系：“面在体上”“面围成体”。还可由平面图形联想到立体图形。教师设问：“请你展开想象，这些平面图形经过运动变化能成为哪些立体图形？”经过交流互动，学生形成共识：圆与球或圆柱，三角形与圆锥或三棱锥，六边形与六棱柱等关系都非常紧密。沟通联想，能建构知识之间的多样联系，使知识网络实现量的增加。

质的重组：知识网络的完善。知识网络进行质的重组，是指旧结构被改造或放弃，新结构呈现更完善样态。例如，教学苏教版六年级下册“圆柱和圆锥整理与练习”一课时，课前先引导学生借助表格或思维导图等，自主梳理有关圆柱、圆锥的知识，初步构建圆柱、圆锥的结构体系。课上，在交流汇报过程中，师生互相补充，不断完善知识体系。教师根据学生的汇报，选择最主要的知识点。板书见表1。

高质量的数学理解意味着对知识的深度把握。学习者透视知识的表层结构，深入认识其内在深层结构，才能更好地揭示具体知识内部的数学原理和本质。鼓励学生用不同方式梳理知识，经过修正和完善，能帮助学生将知识结构深刻印在脑海中。

三、理解的深化：表征互译的结构融通

数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于将数学概念的抽象含义转换成易于学生理解和运用的心理表象。抓住数学表征的内在联系，实现表征之间的灵活转换或互译，有利于数学知识的整体建构，能促进学生理解的深化，实现灵活提取和应用数学知识，继而做到转识成智。

表征转化，实现意义学习。杭州师范大学巩子坤教授指出：“‘理解的表征转化说与奥苏贝尔的意义学习理论是一致的。”[3]显然，意义学习的本质是建立新知与原认知结构的实质性联系。例如，在教學苏教版三年级下册“认识分数”一课时，教师呈现三组桃子图，第一组共3个桃，涂色桃有2个;第二组共6个桃，涂色桃有4个;第三组共12个桃，涂色桃有8个。以上三种情况，虽然桃子的总个数不同，涂色桃子的个数也不同，但异中有同，涂色桃子个数与桃子总数的关系不变，涂色桃子个数都是桃子总数的 。三种图形表征自由进行转换，突出了 的本质，即把桃子总数看作单位“1”，平均分成3份，其中2份就是桃子总数的 。此过程包含将图形表征转译成言语符号表征 的过程。推进各种表征进行自由转换，有利于增强学生对数学的深度理解，提升他们的数学素养。

表征互译，沟通知识联系。为了深化理解，不仅要建立知识的多元表征，还要根据需要，将不同表征做出灵活互译。将新知与已有经验建立有层次的联系，能使学生经历意义理解与数学化的过程。例如，在苏教版三年级上册“倍的认识”教学中，教师将语言表征、图形表征、算式表征进行互译，沟通了知识间的联系。在初步理解阶段，为促进对“倍”概念的理解，引导学生实现图形表征向语言表征的转换。在深入理解阶段，又引导学生将语言表征向图形表征转化，用圈一圈等方法表征倍数关系，促使学生建立起“一个量中包含几个另一个量”的图形，加深对“倍”概念的理解。在解决问题阶段，将图示表征和算式表征进行互译，既凸显了两种方法的联系，又使学生感到两种方法的优势。表征互译，沟通了知识间的联系，使学生能灵活进行迁移和应用。

总之，理解就是建立联系，它应该成为学习者追求的自然旨趣。数学理解是一种基于结构化的学习能力。数学理解以知识的结构化、网络化为本质，以生成性和发展性为特征，以重新组织为形成机制，以自主活动为形成条件，在教学中具有重要意义。数学理解兼具过程和结果的特性，既存在于学习过程中，又体现为学习结果。各类表征的网络结构、互换互译，促进了学生的数学理解和意义建构，实现了学生数学素养的整体提升和拔节生长。

参考文献：

[1]  王瑞霖. 数学理解的五层递进及教学策略[J]. 中国教育学刊，2014（12）

[2]  [瑞士]皮亚杰. 发生认识论原理[M]. 北京：商务印书馆，1981.

[3]  巩子坤. 数学理解说及其理论与课程意义[J]. 比较教育研究，2009（07）.