“做中学”理念下的数学实验探究——以“数格点 算面积”一课为例

薛文武 (江苏省苏州工业园区星汇学校 215028)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆”“在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．”[1]数学实验是让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题的一种教学过程.它突出了知识形成的过程，有助于学生经历真正的“做数学”和“用数学”的过程.充分借助实验的平台不仅能激发学生的兴趣和创新思维，有助于突破教学难点，有利于培养学生学习数学的应用意识，而且能让学生在实践操作中领悟数学知识的生成，理解数学核心概念的发展和延伸，然后用数学相关方式方法描述数学知识间的内在联系和必要的规律，使得学生在做中学、做中悟，在做中有所得．本文是学生在初步了解几何图形的基础上，通过数学实验积极引导学生对格点多边形面积规律展开探索，让学生通过“做”感受数学，在做中探索格点多边形面积的形成过程，揭示格点多边形的数学本质．

本节课主要分为两阶段：第一阶段通过层层递进的实验设计为学生提供较充分的“做”数学机会，实验内容呈现采用学生做数学，然后在实践操作中感受和体验，主动获取格点图形中的数学知识与规律，再通过数学实验明晰相关的格点算面积的生活实际．第二阶段是学生通过实验掌握了格点多边形面积的规律后，在应有的知识基础上不断地思考和提升，在“做”中感受数学知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识和能力，进一步感受数学与生活的联系，最终获得情感、态度、价值观的体验．

1 课内活动

1.1 概念认识

如图1，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点(如图1中的点A，B，C等).如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图1中的多边形ABCDE).

图1

设计意图七年级学生已经初步了解格点多边形的简单知识并在一些考题中体验过，只是对概念没有进行严格意义上的描述，通过对格点和格点多边形的提前了解，为接下来的实验探究做好铺垫.

1.2 情景引入，激发兴趣

情景1 如果小正方形的面积是1，你会求图2中格点图形的面积吗?

图2

设计意图前两个图形能够让学生很容易地看出答案并且巩固了格点四边形的定义，第三个图形充分发挥学生的能力，及时巩固和完善了割补法，激发学生进一步学习的兴趣，为接下来的游戏做好铺垫.

情景2 你说，我猜.

请你任意画出一个格点四边形，计算出面积，然后告诉我边上格点数(记为L)、内部格点数(记为N)，我就能很快算出你所画格点多边形的面积.

图形序号内部格点数(N)边上格点数(L)面积S①②③…………

设计意图自己动手画任意四边形算面积的目的是培养学生的动手能力，同时感受用已有的算面积的方法(割补法)对于任意四边形可能有难度，并且计算起来比较困难.而教师只通过边上格点数和内部格点数就能很快算出学生所画任意四边形的面积，增强了学生的好奇心，激发了求知欲，也为接下来的实验探究埋下伏笔，为营造良好的学习氛围创造条件.

学生在探究过程中出现了计算结果和老师答案不一样的情况，在思维碰撞的火花中，学生不仅感受到了游戏的魅力，也激发了他们求知的欲望.尤其是当任意四边形内部格点数和边上格点数比较多的时候，更加有利于启发学生思考格点多边形的面积与哪些量有联系，促使学生继续以探索者的身份去发现问题，总结规律，从而使得课堂教学更加精彩，最终获得最佳的教学效果.

1.3 交流研讨，高效探索

问题1：图3中格点多边形的面积S变化与边上的格点数L变化有关吗？

图3

问题2：图4中格点多边形的面积S变化与边上的格点数L变化有关吗？

图4

问题3：通过先前的游戏以及改变图形的结构，我们从中发现了什么？

设计意图探究过程是主动的深入思考而不是简单的带入，通过合理的情景创设，引导启发学生自己去探究，去总结知识的发现过程和方法的形成过程，而不是简单地告知或暗示.通过两个设计让学生进一步体会到格点多边形的面积与边上格点数和内部格点数有着密切的关系，也与前面的游戏相呼应，同时为学生进一步思考指明了方向，也为在接下来的探究中渗透“控制变量法”的思想，做好铺垫.

生1：图3中，边上格点数每增加2个，面积就增加1个单位；图4中，内部格点数每增加1个，面积就增加1个单位.

生2：从我自己画的图中，通过割补法求面积时有点困难，现在知道边上格点数和内部格点数就能猜出我画图的面积，真的很神奇，但是自己又不敢相信.

生3：在计算过程中，我发现有两个量与面积有关系，难以统一，怎么办？

提出问题既然面积与两个量有着很大的关联，那我们一般怎么操作？

1.4 活动探究，精彩纷呈

要求：在网格纸上画任意格点多边形，每位同学至少画3个以上图形，自主探究S与L，N之间的数量关系.

图5

设计意图让学生积极参与，自主探究，自主思考，由猜想到自主验证，由浅层思考到自主思考，培养学生独立思考的精神，锻炼学生的思维能力.

活动1 探究N=0的格点多边形中S与L之间的关系.

满足N=0的格点多边形中S，L之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？

设计意图结合学生的探究过程和思考方式，从学生的最近发展区出发，循序渐进，逐步引导学生做好实验的操作.

图6

活动2 探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系.

满足N=1的格点多边形中S，L之间存在一个什么样的关系？

图7

活动3 探究N=2的格点多边形中S与L之间的关系.

图8

活动4 探究N=3的格点多边形中S与L之间的关系.

(1)示范引领：画N=3的格点多边形.

(2)合作交流：四人一组，画图研究N=3时S与L之间的关系.

设计意图通过对一个变量的控制，有助于学生在已有的知识和能力范围内对S与L之间的关系进行科学高效的猜想和合理的验证.

活动5 猜想N=4，5，…，10，…的格点多边形中S与L之间的关系.

设计意图通过大量的实验操作，让学生的思维越来越活跃，探究过程越来越完善，从而能找到S与L之间的关系，验证自己的猜想，让实验的价值凸显出来.

活动6 归纳分析S，N，L三者关系：

设计意图让学生根据自己的实际操作和合理的猜想，归纳总结出本节课的重要结论，让学生在享受实验的过程中感受到数学探究的魅力和实验的价值.

设计意图让学生了解该定理，感受定理的价值和存在意义，激发学生学习数学的热情.

2 实际应用及推广

2.1 应用皮克定理求格点多边形的面积

图9

(1)求图9中格点多边形的面积.

设计意图通过熟悉的题目来验证定理的准确性，让学生感受到数学实验的探索价值以及高效便捷的解题帮助.

图10

(2)图10中，左侧多边形的L=15，N=17，右侧多边形的L=17，N=16，则哪个多边形的面积S较大？

设计意图通过对L与N的变化，从视觉感知到定理的灵活运用，无不体现出皮克定理的价值.

2.2 拓展研究

(1)如图11，如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是1，那么还能用皮克定理来求多边形的面积吗？

(2)如图12，如果每相邻的四个点构成的菱形的面积是1，那么还能用皮克定理来求多边形的面积吗？

图11 图12 图13

(3)如图13，如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1，那么还能用皮克定理来求多边形的面积吗？

设计意图三个基础图形的变化带来更多的思考与研究，目的是让学生在类比中灵活运用皮克定理，同时也让学生在不同的情景中能够推广皮克定理，充分激发学生学习数学的兴趣，培养学生思维品质和数学素养.

2.3 应用生活

图14

你能否运用今天所学，近似地求出一片树叶的面积？请你设计一个解决方案.

设计意图数学源于生活，服务于生活.学有价值的数学，让学生进一步感受到学好数学能为自己未来生活、工作和学习奠定重要的基础.

3 实验教学反思

3.1 多维互动，发展思维

“做中学”的理念注重学生的动手操作能力和学生的自主能力、数学素养的培养，最为重要的是让学生借助数学实验调整课堂教学内外的时间，将学习的决定权和主动权从教师转移给学生，从课堂转到课外，从外化转化为内在的自主学习行为和自我构建意识，让学生从生活中学、从经验中学、从做中学．传统的数学教学是教师在课堂上讲，布置家庭作业，让学生回家练习．与传统的课堂教学不同，在“做中学”的理念下，实验教学中学生自己动手完成数学实验相关知识的初步学习，从实验中收获了知识的来源和产生的过程，从而让课堂教学变成了师生之间和学生之间互动的场所，包括答疑解惑、知识的运用等，从而达到更好的教育效果和知识构建过程，满足了学习数学的切实需要[2]．在数学实验中学生可以通过自己动手实践操作去探究，去总结研究构建知识模型，不再单纯地依赖授课教师去教授知识，最终达成知识体系的完善和能力的提升．通过数学实验，课堂和教师的角色发生了变化，教师更多的责任是答疑和引导学生去运用知识解决问题，实现了数学本身的价值和学生能力的提升、思维的发展，最终达到学生学科素养和思维品质的发展．

3.2 能动自主，放飞思想

在数学实验教学环境下，学生能够更专注于基于动手操作的学习，在动手操作过程中获得更深层次的理解和学会使用知识解决问题的能力．实验探究和思考后，教师不再占用课堂的时间来讲授知识，这些知识需要学生在课后完成自主探究，他们可以从身边的生活数学出发，还能自主地研究数学知识，能在任何时候去查阅需要的材料，教师也能有更多的时间与每个人交流，实现了实验从动手到脱手的目的和意义．在课后，学生自主规划数学学习内容、学习节奏、风格和呈现知识的方式，教师则采用讲授法和协作法来满足学生的需要和促成他们的个性化实验学习，其目标是为了让学生通过实践获得更真实的学习．动手做数学的目的是为了让学习更加灵活、主动，让学习的参与度更高，让学生更加喜欢数学，能够自主地构建数学模型，培养学生的创新思维能力，很好地运用数学知识解决实际问题，从而给我们数学课注入了许多活力，放飞了学生的思想，展现了学生的能力，突破了教学桎梏，最终实现了使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验，给与学生一个“完整的 数学”[3]．

3.3 双向关联，收获成长

通过数格点算面积的数学实验，学生会在“游戏”“赏析”中提出猜想，进行思考，做出判断，找寻到证明的方法.这种“外在”的操作活动与“内在”的思维活动的协调一致，就是推理能力的发展.在本次数学实验中，学生从其自身经验出发，动手操作、动脑思考，亲身经历真正的解决问题的过程，这就是建立模型的过程．数学实验不仅仅是直观地“做”，还要有意识地“用”[4]．在第二阶段中联系学生的生活实际，帮助学生进一步形成“由数学看现实，由现实想数学”的意识和习惯，发展学生的数学应用意识.数学实验构建了发展学生创新意识的课程环境，学生在操作、观察、猜想等活动中敢于改变，超越常规、学会创新，从而为他们学会改变、结出创新之果而奠基．