旨在培养数据分析素养的PBL活动建构与实施

吴子昊 (上海市曹杨第二中学 200062)

吴茎洁 (华东师范大学第一附属中学 200086)

徐斌艳 (华东师范大学教师教育学院 200062；上海市“立德树人”数学教育教学研究基地 200241；华东师范大学课程与教学研究所 200062)

1 研究背景

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)中提出高中阶段六大数学核心素养，其中《标准》将数据分析素养列为六项数学学科核心素养之一，特别指出数据分析的作用：这是一种在大数据时代下非常重要的研究随机现象的数学技术、工具或是方法[1]，可见其在数学学科核心素养中的重要地位.与数据分析素养最相关的数学内容为概率统计，而我国的概率统计教育在21世纪初期有所缺失，学生对于随机现象的理解较差[2].在经过多次课程改革后，概率统计内容在我国中学数学课程中的地位得到了明显的提升，我国数学课程越来越重视学生数据分析素养的培养[3]，这与新课程标准下的数学课程改革需求相契合.课程改革的目标不仅需要嵌入或增添概率统计教学内容，还旨在通过多样的学习方式培养学生的随机思想，渗透对数据进行整理、定量分析、推断的意识和能力，以达到对数据分析素养的有效培育.

有研究指出，学习过程具有如下特点：有明确的目标指引，并进一步积极搜寻信息和问题空间.好的学习往往来源于学习者主动地对知识进行自我建构，而不是通过教师找到了一种好的教学方法[4].从这个意义上来说，学科核心素养的培养不仅可以在课堂教学中得到落实，还可以通过整合、开发丰富的课程资源，使学生在真实情景中得到素养的提升.

项目式学习即是这样一种学习方式.项目式学习(Projected-Based Learning)(以下简称PBL)发源于20世纪美国著名哲学家、教育家John Dewey的实用主义教育思想，包括“三中心论”——经验中心、儿童中心、活动中心，“从做中学”等[5].PBL与建构主义、情境学习、社会交互等理论有密切的联系[6].PBL以学生为中心，以学科概念和原理为基础，其主要形式是学生以小组为单位围绕驱动问题或任务进行相互协作、研究、解决问题，制作项目产品或形成解决方案，从而建构知识.PBL是一种学习方式的变革，是21世纪的学习策略之一.有别于传统学习方式的被动性、机械性、独立性，PBL在学习性质上具有主动性、有意义性、合作性.因此在核心素养导向的背景下，PBL是一种有效指向学生核心素养培养的学习方式.

数学PBL对数学核心素养(或能力)在一定程度上是有促进作用的，并集中于数学建模、数学运算、直观想象以及数据分析这四个领域[7].而与数据分析素养最相关的数学内容是概率统计，这是一门兼具理论性与应用性的数学分支学科，与日常生活紧密相关，因此这个领域具有更强的情境性和直觉性，从理论上说应对数学PBL有良好的适应性[8].从已有研究来看，数学PBL确实可以对概率内容的学习产生较为积极的影响，相关研究多集中于国外[9].

在现阶段，我国数学PBL的设计、开发、实施、评价等各环节并不成熟，其体系亟待完善[10].这对传统教学提出了一定程度的挑战，数学PBL的建构需要数学学科教育研究人员与基础教育工作者群策群力，共同研究探索培育核心素养的新途径.

2 活动设计

本研究将以某中学高一学生为对象，在基于PBL相关理论以及高一学生的认知与数学知识基础，设计并实施旨在培养学生数据分析素养的概率统计PBL活动.

2.1 活动建议与驱动问题

中学阶段的概率统计是一块兼具理论性与应用性的知识内容，且其更偏向于在现实生活中的应用.在中学数学课堂中，概率统计教学将精力较多地放在了公式的推导以及计算、解题能力的训练上，而对知识的实际应用有所忽视，许多学生对于为什么要学概率统计往往没有较为清晰的认识.本研究设计的PBL活动尝试凸显概率统计知识点在生活中的综合应用，提高学生的数据分析素养以及利用概率统计的思维方式解决实际生活中的(数学)问题的综合能力.

此活动分为五个子活动，每个子活动中设计有若干驱动问题供学生小组选择并进行研究.

活动一：数学，让我欢喜让我忧！

(1)如果数学是一种食物，它像什么？为什么？

(2)目前我们常用的数据统计分析方法有哪些？它们的优缺点各是什么？

(3)你能选择一种或几种统计分析方法进行一项研究吗？

所需数学知识或能力：抽样统计，数据的收集、整理、分析.

在活动一中，学生需要学会设计数学情感调查问卷，结合基本的抽样统计方法收集数据，并对其进行编码，而后运用统计工具对结果进行处理与分析得出结论.

活动二：来呀！一起撒豆子，扔牙签！

(1)自行搜集资料，梳理古代数学家是如何通过统计学的方法估算圆周率π的数值，并对计算方法进行归类.

(2)如何用绿豆和牙签估算圆周率的数值？请你设计两个随机试验进行估算并对结果进行误差比较与分析.

所需数学知识或能力：几何概型，随机试验，测量与读数，数据处理及误差分析.

在活动二中，学生需要在互联网或者数学杂志等课外资源中搜集数学史资料并对其进行梳理归类；设计用随机模拟的方法估计圆周率π的数值相关随机试验并实施(如蒲丰投针等)，同时对误差进行分析，撰写实验报告，并在报告中阐述其背后的概率学原理.

活动三：我们现在使用的键盘合理吗？

(1)基于你收集到的信息、中文语言习惯和一些你自己的功能需求，你可以自行设计一个键盘吗？

(2)你可以通过数据直观地显示自己设计的键盘比目前的键盘好在哪里吗？

所需数学知识或能力：频率与概率，样本估计总体，统计图表的绘制.

在活动三中，学生需要用统计的眼光去观察日常生活中频繁接触到的键盘，查阅相关资料，收集信息，并应用基本的抽样统计方法收集数据并绘制统计图表，基于统计结果设计一个符合国人使用习惯的键盘.

活动四：神奇的高尔顿钉板！

(1)什么是高尔顿钉板？你能制作高尔顿钉板吗？

(2)你能解释高尔顿钉板试验的结果吗？它蕴含着怎样的奥秘？

所需数学知识或能力：二项分布，正态分布，大数定律.

在活动四中，学生需要查阅资料了解高尔顿钉板，以及二项分布、正态分布等数学知识；制作高尔顿钉板并通过动手实际操作验证结果，简要解释高尔顿钉板背后蕴含的概率学原理.

活动五：不可思议的本福特定律！

(1)什么是本福特定律？它蕴含在生活中的哪些领域？

(2)你能结合生活中的具体实例验证本福特定律的有效性吗？

所需数学知识或能力：抽样统计，概率分布，对数函数.

在活动五中，学生需要查阅资料来了解本福特定律的数学原理、实际应用等；选取生活中的具体实例，收集、整理、分析数据，验证本福特定律的有效性并撰写报告阐述验证过程.

五个子活动的开展均需要扎实的概率统计知识作为理论基础，本项目主要涉及如下概率统计知识点(图1)：

图1 活动所涉及知识点

2.2 活动成果建议

PBL活动成果可以是一个具体实物、一份调查报告、一个设计等.活动成果充分展示了学生在参与活动期间表现出的创造力，同时也体现了学生的团队分工协作与交流表达能力.学生可在活动结束后的展示汇报中对自己小组的作品进行讲解、交流、相互评价.表1结合活动建议，给出若干活动成果建议.

表1 活动成果建议

2.3 活动特点

PBL活动基于学生的主体地位，强调学生自愿自主选择活动任务、制定活动目标、设计活动过程并展示活动成果.活动的主要组织形式是小组活动，学生通过小组协作在活动过程中交流数学经验与学习心得，使数学交流意识得以较好地凸显.

2.4 活动评价

在活动结束后，教师要依据活动成果进行评价，主要关注两方面内容：自评与互评.自评侧重于学生在活动中表现出的九个方面的能力：数学软件、数学交流、动手实践、数学写作、自主探究、文献搜集、数学兴趣、项目兴趣、团队协作，并将其定量描述为“高(5分)”“较高(4分)”“中(3分)”“较低(2分)”“低(1分)”，主要通过学生自我评分的形式来完成；互评主要指的是学生以小组为单位在活动最后以口头或书面报告的形式进行活动成果展示，其他小组同学与教师对其作出评价.

3 活动实施

3.1 活动过程

上述活动以拓展课的形式在某中学高一年级开展，23名选修数学拓展课的学生被分为5组，每个小组4到5人.活动周期为5天，每天2课时.

在活动过程中，各小组成员分工协作，逐步确定每个成员所要完成的工作，发挥各自所长，一起经历确定活动目标、设计活动过程、制作活动成果并交流展示成果的过程(见图2).

图2 活动过程示意图

为了更好地沟通活动进展，小组成员采用线上微信群的形式进行课后线上交流，及时反馈、交流想法，跟进项目进度.另外，学生在活动过程中展现了较强的自主学习能力与学习兴趣，主要体现于在图书馆查阅文献、在网络上积极搜寻科普短视频进行学习、学员们在组内及组间热烈地讨论等，说明活动较好地激发了学生的内在学习动机，并在数学学习情感、态度、兴趣等非认知因素方面对学生产生了积极的影响.

3.2 活动成果

PBL活动不同于传统的数学解题活动，其最终不存在唯一正确的“标准答案”，成果形式与内容具有多样性和开放性.学生的“数学作品”是在活动中将学科知识融入真实的情境中，经历分析问题、解决问题、优化方案等一系列过程得到的最终成果，这一成果(包括对作品的展示、汇报、讲解)凝练了学生深度学习及自主进行知识建构的过程，是学生核心素养和关键能力提升的重要体现.在本次活动最后的展示阶段，各组学生分享了他们关于各自子活动的精彩成果.

(1)活动一(数学，让我欢喜让我忧！)的成果

第一小组探究子活动“数学，让我欢喜让我忧！”学生首先设计发放数学情感调查问卷，采用分层抽样方法，分别在线上(问卷星)、线下随机选取本校高一不同班级学生进行问卷发放、填写与收集.

根据回收的回答及其特征，小组成员反复讨论，对问题回答类型进行细化分类.自制编码表对收集到的数据进行统计性编码，运用统计软件对数据进行处理、分析，在这一过程中学生复习了初中学习过的条形统计图与饼图，使其应用于真实情境中并作了优缺点的比较.学生们在本次活动中首次学会编写具有统计学意义的调查问卷和编码量表，数据分析素养得以发展.

另外，小组成员首次接触并学习统计软件SPSS，用于分析数学情感与性别、成绩、对数学的重视程度等因素的相关性，得出“情感和性别相关但不明显”“情感与重视程度无关”“重视程度与成绩无关”等结论.

最后，小组成员充分发挥团队协作能力，整理活动过程、结论，制作并展示了精美的数学海报.

(2)活动二(来呀！一起撒豆子、扔牙签！)的成果

第二小组探究子活动“来呀！一起撒豆子、扔牙签！”学生依据几何概型设计了两个随机试验来估算圆周率π的数值.

其一是投掷绿豆试验.圆面积和圆外切正方形面积的比值等于随机掉下的绿豆落在圆内的概率比上落在圆外切正方形内的概率，即

根据此原理，小组成员设计并实施了投掷绿豆试验，在一边长为20 cm的正方形区域内均匀撒豆，并采取两种办法(分别测得绿豆的数量和重量)得到一系列圆周率π的近似值.接着，小组成员对结果进行误差分析并对试验进行改进，进一步使用米粒进行试验并得到了更精确的数据.在这一过程中，学生收集、整理、分析数据的能力得到强化.

其二是蒲丰投针试验.小组成员设计并再现了18世纪博物学家蒲丰依靠随机投针法计算圆周率π的经典试验.根据蒲丰投针试验的原理，当牙签长度L与平行线间距d的关系满足L=0.5d时，有

根据此结论，小组成员分别投掷了50根、217根牙签得到了圆周率的近似值(图3).学生还试验了不同数量的平行线(4根、5根、11根)，经探索，发现平行线的数量对结果并无影响.

图3 蒲丰投针试验

在此基础上，小组成员整理试验结果、撰写报告并提出若干反思，由此培养了数学写作能力.

(3)活动三(我们现在使用的键盘合理吗？)的成果

第三小组探究子活动“我们现在使用的键盘合理吗？”经过小组成员的探索，改进后的新键盘面向以中文为第一语言的使用者，根据拼音字母使用频率的统计数据，设计出了一种较为合理的、更适用于汉字拼音输入法及中国人使用习惯的键盘字母布局.

小组成员采用对各种体裁、题材的文本资料进行随机抽样统计的方法，以选取的文本资料最大限度地接近日常使用的情况为标准.同时为使所选取的文本资料更加全面，小组对娱乐性新闻、学术类论文、政治新闻、当红网络小说等多类文本进行调查，得到字母频率表，划出了最常使用的字母.

根据此结论，小组成员重新编排了键盘布局，得到了新型键盘概念图(图4)并制作了实物模型(图5).

图4 键盘概念图

图5 键盘实物模型

活动结束后，小组成员整理设计思路，撰写了基于统计结果的键盘改进报告，详细说明了新键盘的设计思路与原理.

(4)活动四(神奇的高尔顿钉板！)的成果

第四小组探究子活动“神奇的高尔顿钉板！”经查证相关资料与文献，小组成员学习了有关正态分布与高尔顿钉板的统计学知识，了解到虽然高尔顿钉板的本质是离散的二项分布，但由于二项分布的极限形式是连续的正态分布，因此高尔顿钉板可以很好地模拟正态分布.在对相关知识进行梳理、学习后，小组成员用泡沫塑料板、小木棍、牙签、塑料薄膜等材料制作了一个高尔顿钉板实物模型(图6).

图6 高尔顿钉板实物模型

接着，小组成员采用绿豆作为实验工具，在课程最后的汇报中演示了绿豆落下的实验并取得了较为不错的效果，绿豆落下生成的分布曲线比较接近中间高、两边低的正态分布，且学生在报告中简要阐述了该模型的概率学原理.

在整个项目活动过程中，学生锻炼了数据收集、整理、分析能力以及劳动技术能力，同时由于高尔顿钉板原理的思维复杂性，在实验过程中还渗透了基于数据进行推理判断的能力的培养，使学生体会到统计规律在生活中的应用.

(5)活动五(不可思议的本福特定律！)的成果

更进一步地，小组成员结合文本资料和视频学习网站两种形式学习并理解了本福特定律背后的原理及其在生活中的应用(例如检验公司的财报是否作假)，基于此撰写了“本福特定律研究报告”.学生通过自主学习经历了分析问题、解决问题的一般过程，提高了数据分析、逻辑推理、数学写作等多方面素养与能力.

4 活动评价

4.1 自评

对于自评，主要采用发放自评表让学生自评的形式对学生自己的表现进行量化评分.经向学生发放、填写自评表，总共收回有效样本23份，将统计数据录入Excel中可得如下结果(图7).

图7 自评反馈结果

从图7中可以直观地看到各个维度的均分情况.由图7可知，在众多维度中，学生对团队协作、项目兴趣、数学兴趣等维度评价较高，分别达到了4.35，4.17，4.这说明项目式学习对学生数学学习情感、态度有积极的促进作用，并且使学生意识到开展数学项目最为关键的要素之一是团队配合与协作.

4.2 互评

互评的评价内容主要为小组成员与教师对被评小组的评语.根据活动安排，学生在最后两课时展示汇报项目活动成果并交流感想，期间在各小组汇报完毕后穿插评价环节.以下是关于课堂评价的部分记录：

(1)第二小组成员评价第一小组(活动一：数学，让我欢喜让我忧！)

“把数学比作各种食物，出现了那么多好玩的答案，真没想到同学们的想象力那么丰富！从第一小组的研究结果中也可以看出同学们对数学不同的情感与态度，非常有趣.”

(2)教师评价第三小组(活动三：我们使用的键盘合理吗？)

“第三小组在研究中的抽样、统计、数据处理等环节都具备了基本的统计学研究规范，是一个不错的、可供大家学习参考的范例.”

5 结论与启示

5.1 PBL活动对数据分析素养培养的作用

本研究设计的PBL活动旨在培养学生数据分析素养，项目活动以其多样性、情境性为学生提供了一个广阔的学习平台，使学生在分析与解决问题的过程中融合新知识、新技能.更进一步地说，活动较好地将概率统计知识迁移至项目推进过程中，例如活动一中对问卷数据的收集涉及抽样统计方法，对数据的编码以及统计结果的相关性分析涉及统计学分析方法；活动二中对圆周率的估算涉及随机试验、几何概型、误差分析等内容；活动三中对文本数据的收集、处理、分析涉及抽样统计方法和统计图表的应用；活动四中对高尔顿钉板原理的梳理、汇报涉及概率分布、随机试验等内容；活动五中对本福特定律的验证过程涉及抽样统计、概率分布等内容.学生在每个项目中都运用了统计方法对数据中的有用信息进行收集、整理、分析、推断，培养了数据分析素养.

5.2 小结

本文通过对旨在培养数据分析素养的PBL活动和建构与实施的具体描述揭示其一般性与特殊性的特征.

一般性体现在其活动特点：较为广泛的知识覆盖面，小组探究，多样的成果形式，多种评价方式相结合等；特殊性体现在基于不同内容载体还有更加丰富的项目活动值得开发，同时应注意在设计活动时应尽量避免项目式学习通常会带来的知识离散化、碎片化问题，尽量使知识的传授具有其原有的逻辑体系，使其真正落实到数据分析素养的培养中去.