五步递进教学法在微积分课程中的应用

李文姿

（山西工程科技职业大学，山西 晋中 030619）

党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央坚持把教育摆在优先发展的战略位置，重点提出坚持深化教育改革创新，坚持深化教育改革创新是我国教育事业实现历史性变革的根本动力，也是新时代加快实现教育现代化，建设教育强国，办人民满意教育的必由之路。在这样的改革背景下，作为一线教师，如何在教学方法上改革创新成为我们关注的一大问题[1-3]。

另外，大自然中物理现象的分析、神秘的宇宙太空探索、变化复杂的金融市场研究、现代通信技术的发展等等，各种改变世界的高科技，处处需用到微积分的相关知识。而随着大数据、人工智能技术对自然、社会科学乃至人们日常生活影响的不断加深，微积分显得越来越为重要，学习任何一门近代数学或其他许多专业技术都需要先来学习微积分。微积分也成为许多高等学校经济类、管理类等专业本科学生必修的一门数学公共基础课程，该课程的学习质量直接影响到学生对后续专业的学习，在培养复合型高素质人才上，具有不可替代的重要作用。然而，由于微积分课程具有难度较大，内容相对枯燥，理论过于抽象等特点[2]，导致部分学生对微积分的学习具有畏惧心理，挂科率也较高[3]。如何使微积分的教与学更有成效？只有方法精彩，课堂才能精彩[4]，学生才能提高学习兴趣，因此如何在微积分教学方法上进行创新改革[3，5]，成了微积分任课教师必须思考的问题。本文在微积分教学方法改革方面，提出并应用了五步递进的教学方法，希望能对微积分的教学有帮助．

一、五步递进教学方法的内涵与意义

微积分教学中，如果只是教师一味地将概念、定理等知识照本宣科地灌输给学生，不留给学生充分的主动学习和内化的时间，学生只能感受到微积分就是一堆空洞的文字和符号，不知道其来处，更不知其去处，那么导致的直接结果是学生被动接受知识从而失去学习的兴趣。因此，微积分教学方法应致力于从怎么教向怎么学转变，重视学生为中心，改变过去单纯的讲授式为主的教学方法，根据教学内容的不同，选择合适的教学方法，有讲授式、启发式、讨论式等，也可采用多种教学方法的组合，本文重点推出“五步递进”教学法：

从问题出发，引导学生一起分析并探究解决问题的障碍，及时引入所需新知识，精讲新知识的重、难点后给予学生内化的机会，并进行小组讨论，最终解决问题。这样的教学方法中，将学生所有的感官进行了充分调动，并将课堂中应有的话语权还给了学生，实现学生主体地位，激发学生学习的主动性。

第一步，聚焦问题，明确目标：我们从实际中寻找与新知识相关的问题，让学生明确要解决的具体问题，从问题出发，学会梳理问题中的已有条件和缺乏条件，这个过程中让学生了解到人们的实际生产和生活是需要微积分的，概念、定理的来源是有实际背景的，并在这个过程中学会抽象问题的方法。

第二步，温习旧知，还原背景：引导学生温习并运用当前问题所需用到的相关知识，并注意还原知识的背景，做好相关准备工作，揭示微积分概念、公式和定理的实际来源和应用，恢复并畅通微积分与外部世界的联系。

第三步，结合问题，探究新知：结合要解决的问题学生分组初步探究要解决的问题，并梳理出解决问题的障碍，在此基础上与老师共同探究还需要用什么新知识来辅助解决当前面对的问题，并及时引入和学习新知识，这个过程中注重突出微积分的基本思想和方法，也要把握微积分课程思政的教育契机。

第四步，应用新知，解决问题：有了新知识的铺垫后，让学生小组再次探究解决问题，尝试给出解决问题的方法步骤，然后与老师共同探究规范解决问题的方法步骤，培养学生应用所学知识解决问题的能力。

第五步，融会贯通，举一反三：这是强化新知识的过程，融入与所学内容相联系的、与生产实践和所学专业结合紧密的实例，让学生分组解决实例中的问题，给予充分的内化过程，回归学生在课堂的主体地位，学生可充分体会到数学本身就是刻画现实世界的数学模型，并非纯理论的推导和无处用的游戏。

二、五步递进教学方法的教学案例——以定积分概念为例

下面我们以定积分概念这节内容为例，来看五步递进教学法的具体应用。

聚焦问题 目标明确：设计某城市的公交车候车亭时对它的容积是有一定要求的，要求出候车亭的容积，首先需要先来求其横断面的面积，我们从解决一个曲顶的公交车候车亭的横断面面积这样一个实际问题出发，引导学生抽象出具体问题，聚焦问题即求一个曲边梯形的面积，这个过程中重点培养学生抽象问题的能力。

温习旧知 还原背景：面对问题，让学生分组初步探究，集思广益，表达出自己的解决办法，允许思维的独特性，总结大家的解决办法，会发现解决问题的难点在于图形的上方边是曲边，面对直与曲的矛盾问题。如何解决直与曲这对矛盾，我们温习旧知、知识牵引，回顾前面所学的微分的知识中，当时也面临这样的矛盾，当时采用了化曲为直再由直变曲的解决办法。此时，要把握课程思政的融入契机，这种智慧前人在解决很多问题时已经有所体现。比如我国古代数学家刘徽“割圆术”中就有所应用，而且在《九章算术》中也有这样的记载“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣。”让学生懂得欣赏和感恩，鼓励学生在今后的学习中善于发现和思考。

结合问题 探究新知：引导学生尝试用“化曲为直、由直变曲”的办法来解决当前问题，整个曲边梯形面积无法直接计算出，那我们就将其先分成若干小的曲边梯形，每个都近似看成小矩形，也就是将曲线边近似看作直线边，为什么分割以后可以近似看作小矩形呢？需要学生去思考，这里应用了连续函数的定义，当自变量变化不大时，函数值变化不大，也就是分割后小区间长度变化不大，其对应的曲边梯形的高变化不大，可以近似看作小矩形。思考这个问题的同时，能让学生们感受到，函数连续的概念是有实际应用价值的，不是无用的文字游戏。接着就用所有小矩形面积的和作为所求曲边梯形面积的近似值。最后，关于如何得到精确值，这是一个从量变到质变的过程，发起讨论，学生可以讨论各自的解决思路，找到最好的解决办法是需要将区间分割得无限细，这样误差才无限小，此时需要借助极限思想实现“无限”这种状态，实现由近似到精确的过程。学生们会再次体会到微积分中的概念是用来解决问题的，并非无用的，激发学生学习的积极性。

应用新知 解决问题：结合上面的解决方法和分析思路，先让学生自己按小组尝试给出解决问题的步骤，再由老师引导规范解决问题的步骤：分割、取近似、作和、求极限，最终得到解决的结果。在这个过程中，让学生体会数学中蕴含的哲学思想，近似与精确实现对立统一，解决问题的步骤中，分割、求和式形式逻辑思维的体现，而取极限得到精确值则是高级的辩证逻辑思维的体现与培养。

融会贯通 举一反三：为了强化新知识，我们会继续引导学生用同样的思路去解决另一个实际问题，变速直线运动的瞬时速度，学生分组完成任务，内化所学知识，达到触类旁通，举一反三的效果。通过两个问题的解决，与学生一起比对两个问题的共性。虽然问题背景不同，但解决问题的思路方法相同，结果的形式也相同。抽象出解决问题的共性，在此基础上给出定积分的概念。

三、结束语

通过五步递进的教学方法，有助于实现高阶教育目标，学生不仅可以掌握微积分的相关知识、思想和方法，还能更深切感知到微积分中概念、定理的来源是有其实际背景，知道概念、定理的来处，才能知道它们的应用方向。五步递进教学法的过程中离不开学生小组多次探究解决问题，让学生积极参与到课堂中来，激发学生学习的主动性和积极性，培养学生学以致用的能力。另外，该教学方法中，注重课程思政内容的有效融入，有助于培养学生的科学素养及创新能力，帮助学生建立正确的世界观、人生观、价值观，让学生在成长过程中受益终身！