基于局部测量的复杂封闭空间结构表面声振响应重建方法

肖 悦，张兴旺，初长宝，盛 敬，寇桂岳

(南昌工程学院 机械工程学院，江西 南昌 330099)

复杂封闭空间结构(如汽车、船舶和飞机等)的内部声场主要由结构声和空气声两部分组成，其中结构声是由于外界激励引发结构振动进而向腔内辐射噪声产生的，是形成腔内声场的最主要因素。因此获取振动结构表面的声振信息，对于实现声场特性分析和噪声优化控制有着重要的理论意义[1]。

采用在振动结构表面安装加速度计的方法可直接获取振速信息，但这种接触式测量会影响结构表面振动特性[2]，也无法得到振动结构的表面声压信息。近场声全息(Nearfield Acoustic Holography，NAH)技术[3-4]作为一种强大的声场可视化和声源识别的声学前沿技术，具有高效准确、信息量大等显著优势。通过测量声源表面近场范围内的声学数据，利用空间声场变换算法，重建出声源表面甚至整个空间声场的声学信息。该方法属于非接触式测量，不会造成结构—声传递特性的改变。

常规NAH技术必须满足自由场条件[5]，然而在实际应用中，全息测量面背侧往往存在无法移除的干扰声或者反射声(如机舱、车厢等封闭空间的现场测量)，自由场条件难以满足[6-7]。为了将NAH技术从自由声场扩展到非自由声场，声场分离方法被引入到NAH的声学前处理过程[8-9]。根据NAH声场空间变换算法的不同，目前已发展出如空间Fourier变换法[10]、统计最优法[11]、边界元法[12-13]以及等效源法[14-15]等多种声场分离技术，其中等效源法可适用于任意形状声源，在计算精度和效率方面具有较大优势。

应用常规NAH技术的另外一个问题是全息测量孔径尺寸的限制。为了保证测量孔径边缘处的全息数据衰减到足够小，通常要求全息测量孔径至少是声源尺寸的两倍以上，这对于汽车、飞机等大型结构体几乎难以满足。为了解决这一问题，相关学者提出了基于测量数据外推[16-17]和可直接在空间域运算[18-19]的两类局部近场声全息(Patch NAH)技术，保证在全息测量孔径小于声源面积(仅覆盖局部源面)时具有足够高的重建精度，显著降低了测量成本，为NAH技术在大尺寸复杂声源结构上的应用提供了可能。

对于如汽车、飞机等大型复杂封闭空间结构，既不能满足测量环境的自由声场条件，也无法达到测量孔径远大于声源尺寸的要求。为此，本文利用等效源法的优越性，联合声场分离技术和局部近场声全息技术，建立基于等效源法的局部近场声全息重建模型，旨在解决复杂封闭空间结构内部的声场分离和局部结构表面声振响应重建问题，实现对复杂封闭声场的各振动结构的声学贡献识别，从而为面向低噪声设计的结构优化提供指导。

1 基于等效源法的局部近场声全息

等效源法的基本思想是在真实声源附近放置若干个简单声源，利用这些简单声源产生的叠加声场来等效真实声源的辐射声场。假设声源表面为S，全息测量面Sh上有M个测量点，等效源面Sq上有N个虚源，则全息测量面上的声压列向量可表示为

Ph=GphQ，

(1)

式中，Q=[q(rq1)，q(rq2)，…，q(rqn)，…，q(rqN)]T为等效源强列向量，Gph(m，n)=iρckg(rhm，rqn)为等效源面与全息面之间的声压传递矩阵，rhm表示全息测量面Sh上的第m个测量点的位置，rqn为第n个等效虚源的位置，g(rhm，rqn)为自由场格林函数，可表示为

(2)

式中，i为虚数单位，ρ为声传播介质密度，k=ω/c为声波数，c为声速，ω为角频率。

由式(1)可以求得等效源强列向量

Q=(Gph)+Ph，

(3)

式中，上标“+”表示矩阵的广义逆。在实际的计算中，(Gph)+一般通过奇异值分解获得。等效源强向量Q的求解属于声学逆问题，由于在实际全息测量中不可避免的会存在噪声干扰，因此在求反计算时须采用正则化方法来稳定求解过程，以抑制输入误差对重建结果的影响[20]。

利用求得的等效源强列向量，可以计算任意重建面上的声压和质点振速：

Pr=GprQ=Gpr(Gph)+Ph，

(4)

Vr=GvrQ=Gvr(Gph)+Ph，

(5)

式中Pr和Vr分别为重建面上的声压和质点振速列向量，Gpr和Gvr分别为等效源强到重建点的声压传递矩阵和质点振速传递矩阵，其中

Gpr(l，n)=iρckg(rrl，rqn)，

(6)

(7)

式中rrl为重建面上第l个重建点的位置，当重建面与声源表面重合时，即rrl=rs时，可以重建出声源结构表面的声压和质点法向振速。

对于上述理论的推导，要求全息测量面必须覆盖整个声源面，对于较大的声源结构，这种要求会引起测量时间和成本增加的问题，降低了计算效率。另外，实际工程中往往只关心大尺寸声源面的一个或几个关键振动区域，而对其他区域的振动特性并不感兴趣，在此种情况下，若仍按常规全息测量孔径的要求覆盖整个声源进行全场测量，显然测量成本和代价过高。而利用局部NAH技术，则可在很大程度上弥补这方面的缺陷。局部NAH的全息测量面只需覆盖所要考察的源面，建立该区域和全息面之间的关系，进而实现所考察区域的声振信息的重建。该过程的计算公式和实现过程与常规NAH完全一致，区别只在于等效源布置范围不再对应整个声源结构，而是只在所考察区域后面布置即可。

2 基于等效源法的声场分离方法

对于由结构振动而形成的封闭空腔声场，假设Sp为所要考察的振动面板。由于封闭空间内部同时存在各振动结构的辐射声场和反射、散射声场，因此在上述情况下，全息测量面的四周都存在声源，此时如果直接利用局部NAH方法重建目标区域的声振信息，将会造成较大的重建误差，甚至得到完全错误的结果。对于该问题，应先采用声场分离技术消除全息测量面周围的干扰，获取Sp在自由场下振动而在全息测量面上产生辐射声信息，再利用该信息进行全息重建。

图1为封闭空间声场分离的全息面与虚源面之间的空间位置关系。全息面Shk(k=1，2)与所关心的振动结构面板Sp共形，由于测量面两侧均存在声源，因此可将全息测量面上声压分为两部分：向外声场的声压Phk，out和向内声场的声压Phk，in，其中向内和向外都是相对测量面而言。同时，根据等效源法的原理，向外声场和向内声场均可以由位于其背侧的等效源面Sq1和Sq2上的一系列等效源产生的声场叠加表示，可得：

Phk=Phk，out+Phk，in=Gpk，outQout+Gpk，inQin，

(8)

式中，Gpk，out和Gpk，in分别为向外声场等效源面Sq1和向内声场等效源面Sq2到全息测量面Shk(k=1，2)的声压传递矩阵，Qout和Qin分别为向外声场等效源面Sq1和向内声场等效源面Sq2上的源强列向量。

图1 封闭空间声场分离示意图

将式(8)表示为矩阵形式：

(9)

对式(9)求逆，可获得向外声场和向内声场的等效源强列向量：

(10)

根据式(10)解出Qout，可得向外声场在全息测量面Sh1上产生的声压为：

Ph1，out=Gp1，outQout.

(11)

实际上，Ph1，out同时包含了振动结构在自由场条件下的辐射声压和向内声场入射到振动结构表面产生的散射声压，可表示为

Ph1，out=Ph1，f+Ph1，scat，

(12)

式中，Ph1，f为振动结构在自由场条件下辐射声压，Ph1，scat为向内声场入射到振动结构表面产生的散射声压。

在振动结构表面Sp上，向内声场与散射声场的声压之间存在如下关系：

Vs，in+Vs，scat=As(Ps，in+Ps，scat)，

(13)

式中，As为结构表面的导纳矩阵，Ps，in和Vs，in分别为向内声场在振动结构表面Sr上产生的声压和法向振速，Ps，scat和Vs，scat分别为散射声场在振动结构表面Sp上产生的声压和法向振速。

同样，利用等效源法，可将式(13)改写为

Gvs，inQin+Gvs，scatQscat=As(Gps，inQin+Gps，scatQscat)，

(14)

式中Gps，in和Gvs，in分别为向内声场等效源面Sq2到振动结构表面Sp的声压和质点法向振速传递矩阵，Gps，scat和Gvs，scat分别为散射声场等效源面Sq0到振动结构表面Sp的声压和质点法向振速传递矩阵，Qscat散射声场等效源面Sq0上的源强列向量。

由式(14)，整理可得：

Qscat=(AsGps，scat-Gvs，scat)+(Gvs，inQin-AsGps，inQin).

(15)

在实际工程中，很多声源表面都可以认为是声学刚性的，此时，As=0，则式(15)可以简化为

Qscat=-(Gvs，scat)+Gvs，inQin.

(16)

利用Qscat可以计算散射声场在全息测量面Sh1产生的声压：

Ph1，scat=Gp1，scatQscat.

(17)

式中，Gp1，scat为散射声场等效源面Sq0到全息测量面Sh1声压传递矩阵。

将式(17)和式(11)代入式(12)，得到振动结构在自由场条件下辐射声场而在全息测量面Sh1产生的声压：

Ph1，f=Ph1，out-Ph1，scat=Gp1，outQout-Gp1，scatQscat.

(18)

则利用等效源法，得到在自由场条件下，振动结构表面Sp上的声压和法向振速可以表示为

Ps，f=Gps，f(Gp1，f)+Ph1，f，

(19)

Vs，f=Gvs，f(Gp1，f)+Ph1，f，

(20)

式中，Gps，f和Gvs，f分别为自由辐射声场等效源面Sq0到振动结构表面Sp的声压和质点法向振速传递矩阵，Gp1，f为自由辐射声场等效源面Sq0到全息测量面Sh1的声压传递矩阵。为了便于布置，可将自由辐射声场的等效源面设置在与散射声场等效源面Sq0相同的位置上，此时，Gp1，f与Gp1，scat是相同的，在实际应用中无需重复构建。另外，需要注意的是在式(19)和式(20)的求逆计算中，需要采用正则化方法来稳定求解过程。

封闭空间内部声场是由边界结构振动引起声辐射而相互叠加产生的，不同的振动区域对于声场的声学贡献是不同的。在重建出自由条件下振动结构表面声压和法向振速后，可以通过计算振动结构表面法向声强来获得该区域的辐射声功率。假设将封闭空间结构的待考察振动区域Sp离散为s个单元，如果这些离散的单元足够小，则由该结构表面第t个离散单元振动产生的辐射声功率为

Wt=Int·ΔSt，

(21)

式中ΔSt为结构表面第t个离散单元的面积，Int为第t个离散单元的法向声强，可表示为

(22)

式中pst，f和vst，f分别为考察振动区域Sp上的第t个离散单元的表面声压和法向振速，上标“*”表示复共轭。

3 算例分析

选取类似汽车车厢结构的不规则封闭空间结构内部声场为分析对象，封闭空间结构由前侧板1、后侧板2、左侧板3、右侧板4、顶板5、底板6和上斜板7组成。封闭空间结构的各壁板厚度均为2 mm，材料为薄钢板，材料密度为7.8×103kg/m3，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3，系统阻尼比0.01。模型的坐标原点设置在底板的中点上，封闭空间结构的尺寸如图2所示。整个结构受到来自底面的激励，幅值为0.2 N、频率带宽为20～400 Hz的激励，激励点位置为(0.038 m，-0.015 m，0)。在底板上选取待考察观测的振动结构区域Sp的尺寸为0.7 m(x)×0.5 m(y)，并设定该块区域的表面为声学刚性。

图2 复杂封闭空间结构内部声场模型

全息测量面由两个位于观测面上方附近的半封闭矩形面组成，其中全息测量面Sh1的尺寸为0.7 m(x)×0.5 m(y)×0.04 m(z)，全息测量面Sh2的尺寸为0.8 m(x)×0.6 m(y)×0.09 m(z)。在x和y方向上，两个全息测量面上的测量间距均为0.05 m，而在z方向上，全息测量面Sh1上的测量间距为0.02 m，全息测量面Sh2上的测量间距为0.025 m。

图3 等效源面和全息测量面的几何布置示意图

仿真模型的等效源面和全息测量面几何位置关系如图3所示。向内声场等效源面Sq2设置成与全息测量面Sh2共形的半封闭矩形面，两个面的间距为测量面Sh2上平均测量间距的1.5倍。由于全息测量面Sh1与底板上待考察振动区域Sp之间的空间很小，因此将向外声场等效原面Sq1设置为平面，Sq1与Sh1之间的距离为全息测量面Sh1上平均测量间距的1.5倍。将自由辐射声场等效源面与散射声场等效源面Sq0设置在相同的位置上，且均设置为平面，Sq0与Sp之间的距离为全息测量面Sh1上平均测量间距的1.5倍。由于该封闭空间结构的形状不规则，难以用解析的方法描述封闭空间内部声场的声振特性，因此利用耦合声学有限元法进行声场计算，将得到的全息测量面上各测点的声压值作为进行内部NAH重建的“输入量”，并加入信噪比为30 dB的随机噪声以更接近实际情况。

图4～6给出了待考察区域Sp分别在150 Hz、250 Hz和300 Hz频率处的结构表面法向振速分布。其中图4～6(a)为自由场理论的表面法向振速分布，图4～6(b)为直接采用全息测量声压重建的表面法向振速分布，图4～6(c)为采用双面局部声场分离还原声压重建的表面法向振速分布。可以看出，采用所提方法重建的表面法向振速与理论值具有非常高的一致性。

图4 结构表面法向振速分布(150 Hz)

图5 结构表面法向振速分布(250 Hz)

图6 结构表面法向振速分布(300 Hz)

图7给出了在待考察振动区域上的两个点(0.150 m，0.103 m，0)和(-0.159 m，-0.132 m，0)位置处，采用双面局部声场分离还原声压重建的表面法向振速与理论值的对比。可以看出，采用所提方法重建的表面法向振速与理论值在整个分析频带20～400 Hz内吻合较好，验证了所提方法的正确性。

图7 结构表面法向振速重建值与理论值的对比

图8～10分别给出了待考察振动区域分别在150 Hz、250 Hz和300 Hz频率处的结构表面声压分布。其中图8～10(a)为自由场理论的表面声压分布；图8～10(b)为直接采用全息测量声压重建的表面声压分布；图8～10(c)为采用双面局部声场分离还原声压重建的表面声压分布。可以明显看出，采用所提方法重建的表面法向振速与理论值具有非常高的一致性。

图8 振动结构表面声压分布(150 Hz)

图9 振动结构表面声压分布(250 Hz)

图10 振动结构表面声压分布(300 Hz)

为了定量评价所提方法的重建性能，分别定义了结构表面法向振速和表面声压的相对误差：

(23)

(24)

式中Vcal和Pcal分别为采用双面局部声场分离还原声压重建的表面法向振速和表面声压；Vth和Pth分别为相应的理论值。

图11～12分别显示了在20～400 Hz的频率范围内(间隔为10 Hz)，振动结构表面上重建的表面法向速度和表面声压的相对误差。可以看出，直接采用全息测量声压作为输入的重建相对误差非常大(大部分超过100%)，而除了在一些模态频率处，而采用双面局部声场分离的声压作为输入的重建相对误差小于10%，这进一步证明了所提方法可以有效地重建振动结构表面上的声学信息。另外，还可以看出，表面法向振速的重建误差要比表面声压的重建误差更大，其原因是采用了测量全息面声压作为重建的输入物理量。可以推断，若采用质点振速作为全息重建的输入物理量，则结构表面的法向振速重建误差将会小于表面声压的重建误差。

图11 表面法向振速重建的相对误差 图12 表面声压重建的相对误差

一旦振动结构表面的表面法向速度和表面声压被重建，就可以通过积分在振动区域表面上若干个小单位上的平均声强来计算来自整个待考察区域Sp的辐射声功率。在上述仿真算例中，将待考察振动区域Sp划分为24(x)×16(y)个小单元，则可以计算出从每个振动小单元辐射到内部声场的声功率。

图13显示了待考察振动区域Sp上各个小单元在150 Hz、250 Hz和300 Hz频率处的辐射声功率。可以看出，在相同频率处，振动区域上的不同位置对封闭空间内部声场的贡献是不同的，并且存在负值和正值，分别表示进入和流出每个小单元的净声功率。

图13 待考察区域表面各单元的辐射声功率

4 结论

(1)采用基于等效源法的双面声场分离技术，有效去除封闭声场内存在反射及散射的干扰，还原出自由场条件下辐射声场，重建待考察振动区域的表面声压和法向振速，获得结构振动表面对内部声场的辐射声功率，实现该振动区域对整个封闭空间声场的声学贡献的识别。

(2)结合等效源法和局部NAH声场分离的优点，可根据实际需要有针对性地对所感兴趣的振动区域进行考察，只需在覆盖该振动区域的两个半封闭表面上完成一组声压测量，实现在大尺寸封闭空间结构中有效重建该振动区域的表面声压和表面法向速度，具有所需测量点数目少、实现方法简单灵活等特点，易于向工程实际推广。数值仿真结果验证了所提方法的有效性和正确性，扩宽了NAH技术的工程应用范围，为解决汽车驾驶室、机舱和潜艇等大型复杂封闭空间结构的振动噪声治理问题提供了一种有效手段。