基于能量法分析考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁自振特性

孙琪凯， 张 楠， 刘 潇， 陶晓燕， 郑 宇， 霍明宇

(1. 北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044； 2. 高速铁路轨道技术国家重点实验室，北京 100081； 3. 中国铁道科学研究院集团有限公司 铁道建筑研究所，北京 100081)

近几年来，随着我国铁路事业的发展，钢-混组合梁以其自重轻、承载力高的特点而备受关注。钢-混组合梁由处于受压区的混凝土板和受拉区的钢梁两部分组成，其间通过剪力键来传递剪力[1]。在实际工程应用中，一般钢-混组合梁的梁端剪力键布置较密集，而跨中较稀疏[2]；再者，钢梁截面沿梁长可能是变化的。从而造成刚-混组合梁的抗弯刚度沿梁长是变化的，这种梁型可被称为考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁。

由于钢-混组合梁间的剪力键是柔性的，使得混凝土板和钢梁之间会产生相对滑移。在分析钢-混组合梁动力特性时，必须考虑相对滑移造成的影响[3-4]。钢-混组合梁动力特性的研究已比较常见，基于Euler-Bernoulli梁理论，侯忠明等[5-6]采用直接平衡法推导了考虑界面相对滑移的钢-混组合梁自振特性解析解，并在此基础上提出了动力刚度折减系数。对于大高跨比的钢-混组合梁，若继续忽略剪切变形和转动惯性对自振频率的影响，计算结果将存在较大的误差。为减小这种误差，Xu等[7-9]把各子梁按照Timoshenko梁考虑，得到了钢-混组合梁自由振动模态的精确解析解。鉴于较难确定Timoshenko梁理论中的剪切变形系数，He等[10-11]在研究短粗钢-混组合梁的动力性能时，引入了高阶剪切理论。以上相关钢-混组合梁动力性能研究中，均假设梁体抗弯刚度沿梁长不变，未涉及到考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁。

再者，大量学者[12-16]的试验及理论研究结果表明钢梁和混凝土板界面连接处的黏结效应和摩擦效应对钢-混组合梁的受力性能影响较小，一般可忽略并将其作为一种安全储备，只考虑二者间的剪力连接键作用。

本文中基于能量原理，采用分区变分法推导了考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁弯曲运动微分方程并求解。给出了简支-简支、固支-自由、固支-简支和固支-固支等四种常见边界条件下，考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁自振频率的解法。最后，对两孔钢-混组合梁的理论计算、ANSYS数值模拟和实验测试结果进行了对比分析。

1 基本假定

图1 考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁构造图Fig.1 Structural drawing of steel-concrete composite beam considering longitudinal stiffness distribution

分析考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁自振特性时，基本假定如下：①混凝土板和钢梁均为线性弹性体；②混凝土板与钢梁间始终保持竖向密贴而水平向可相对滑动，即混凝土板不会发生竖向掀起脱离；③混凝土板与钢梁均按照Euler-Bernoulli梁理论考虑，忽略剪切变形和转动惯量；④钢-混组合梁变形与结构尺寸相比为小量；⑤混凝土板与钢梁之间是光滑的,即可忽略混凝土与钢梁之间的黏结力，结合面处剪力全部由剪力键承受，剪力键等效为连续分布的弹簧。

2 运动微分方程

2.1 位移场函数

(1)

式中，hc，hs分别为混凝土板和钢梁形心轴到钢混分界面的距离。

图2 钢-混组合梁位移场Fig.2 Displacement field of steel-concrete composite beam

由竖向密贴假定，可知混凝土板和钢梁的竖向位移相等。因此钢-混组合梁位移场函数可假设为

(2)

根据假设，钢-混组合梁处于弹性工作状态，混凝土梁、钢梁和剪力键均满足胡克定律，则各子梁轴向应变应满足

(3)

应力-应变关系满足

σixx=Eiεixx

(4)

(5)

2.2 构建分区模型能量泛函

采用分区变分法[17]计算分析考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁自振特性。沿x轴向将钢-混组合梁划分为N个子块，定义第j子块与j+1子块分区界面为x=xj+1，左端面为x=x1，右端面为x=xN+1。见图3。

图3 钢-混组合梁分区模型图Fig.3 A domain decomposition model of steel-concrete composite beam

构造钢-混组合梁的能量泛函，如下

(6)

(7)

分区变分法中，分区界面广义位移协调方程是近似满足的，因此式(6)中引入的方程为

(8)

(9)

式中：i=c,s；ρi，Bi和Hi分别为子梁的材料密度、截面宽度和截面高度；Ai，Iyi分别为子梁的横截面积、绕各自yi轴惯性矩。

(10)

式中：i=c,s；Ei为子梁材料的弹性模量。

(11)

(12)

式中，Bc,s为混凝土板和钢梁交界面的宽度。

将式(8)、式(9)、式(10)和式(12)代入式(6)中，并对能量泛函Π取一阶变分，由驻值条件δΠ=0，可得分区界面上的未知参数为

(13)

把式(13)的值代入式(6)，并且基于惩罚函数的思想，为了保证式(6)计算的稳定性，在分区界面势能项中添加惩罚函数项，最终得到包含约束项的钢-混组合梁能量泛函

(14)

其中，

Πb=ζucαjδuc+ζusβjδus+ζwχjδw+ζw′γjδw′

(15)

(16)

式中：ζm(m=uc,us,w,w′)为分区界面和边界界面上的控制参数；μm(m=uc,us,w,w′)为分区界面和边界界面上的罚参数，其值为一个特别大的实数。

在内部分区界面上，界面控制参数ζm=1；在边界界面上，根据边界条件的不同，界面控制参数ζm取值，如表1所示。

表1 边界条件界面控制参数取值列表Tab.1 The value list of control parameter considering with boundary condition

2.3 求解动力学方程和自振频率

为了求得考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁离散运动微分方程，可采用幂级数多项式模拟各梁单元的位移函数。M阶展开式

v=Nδe,j

(17)

第j子块位移场展开式可写为

(18)

第j子块应变展开式可写为

(19)

式中，D为微分算子矩阵。

第j子块相对滑移量展开式可写为

(20)

把边界界面控制参数和展开的位移函数式(17)～式(20)代入式(14)，并取一阶变分δΠ，根据驻值条件δΠ=0，可得组合梁的离散运动方程。

(21)

式中：δe,j和δe,j+1分别为第j子块和第j+1子块位移函数系数的列向量；Me,j，Kj分别为第j子块的广义质量矩阵和广义刚度矩阵；K1,j，K2,j分别为分区界面和惩罚函数项引入的第j子块与第j+1子块分区界面附加刚度矩阵。如下所示

(22)

其中，

最后，将所有子域的矩阵进行装配，得到钢-混组合梁区域分解的离散动力学控制方程。

(23)

式中：M和K分别为广义质量矩阵和广义刚度矩阵;K1，K2分别为分区界面广义协调位移和惩罚函数项引入的分区界面附加刚度矩阵；δg为位移函数系数的列向量。

因此，自由振动公式为

(K-ω2M)δg=0

(24)

从而可得钢-混组合梁的频率方程式(25)，即可求得考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁的各阶频率。

|K-ω2M|=0

(25)

把钢-混组合梁各阶频率分析结果代入式(24)，即可求对应于各阶频率的振型。

3 算例分析

通过2孔简支考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁的室内试验结果，验证本文理论的正确性。测试内容为：2孔简支钢-混组合梁的自振特性；采用ANSYS FEA和文中理论的计算内容为：简支-简支(S-S)、固支-自由(C-F)、固支-简支(C-S)和固支-固支(C-C)等四种边界条件下2孔钢-混组合梁的自振特性。

实验梁结构如图4所示，实验梁1和实验梁2的钢梁板厚均为28 mm，结构形式相同，仅剪力键布置不同。实验梁1共计312个φ22 mm剪力键；实验梁2共计168个。实验梁材料参数见表2。

图4 实验梁构造图(mm)Fig.4 Structural diagram of test beams(mm)

表2 钢-混组合梁参数表Tab.2 Parameters of composite beams

采用文中方法或ANSYS FEA分析实验梁1、实验梁2的自振特性时，单个剪力键的剪切刚度均服从荷载-滑移曲线模型[18]。

Q=Qu(1-e-βs)α

(26)

式中：Q为单个剪力键所受剪力；s为界面相对滑移量；α=0.7，β=0.8为计算参数；Qu为单个剪力键抗剪承载力，按如下取值

(27)

式中：Ast为剪力键横截面积；Ec为混凝土弹性模量；fc为混凝土轴心抗压强度；fstu为剪力键极限抗拉强度。

采用文中方法分别计算简支-简支、固支-自由、固支-简支和固支-固支等四种边界条件下实验梁1、实验梁2时的自振特性，关键计算参数取值见表3。

表3 计算参数表Tab.3 Parameters of calculation

在实验梁跨的1/8截面、1/4截面、3/8截面和1/2截面处布置测点，测试两孔实验梁的自振频率和振型。测试工作照见图5。

图5 实验照片Fig.5 Photos of the tests

实验梁1和实验梁2的频率测试结果见图6。

应用ANSYS软件建立钢-混组合梁的三维数值模型。模型中混凝土板采用SOLID65单元，工字钢梁的各钢板采用SHELL63单元，剪力键采用COMBIN39三维弹簧单元，竖向耦合但纵横向不耦合，为弹性约束。边界条件分别为简支-简支、固支-自由、固支-简支和固支-固支。计算模型见图7。

图6 测试结果Fig.6 Test results

图7 计算模型Fig.7 Calculation models

对比分析实验梁1和实验梁2竖向一阶自振频率和竖向一阶振型的文中方法计算结果、ANSYSFEA计算结果和实测结果，见表4和图8。

表4 竖向一阶自振频率对比表Tab.4 Comparison of vertical fundamental frequency

由表4和图8可得：

(1) 四种边界条件的两孔实验梁的自振频率和振型的文中理论、ANSYS FEA和实测结果三者基本吻合。说明可以采用文中的分区变分法分析考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁的自振特性。

(2) 文中理论与ANSYS FEA计算结果更为接近，与实测结果有一定的误差。初步分析产生这种误差的原因主要有两个方面：其一，理论结果、ANSYS数值结果均没有考虑混凝土板和钢梁之间的黏结效应和摩擦效应；其二，计算时，剪力键的等效刚度与实际剪切刚度之间存在误差。

图8 实验梁一阶振型Fig.8 First-order mode shape of the test beams

4 结 论

通过以上分析，结论如下：

(1) 基于能量法原理，采用分区变分法推导了考虑相对滑移影响的纵向刚度分布钢-混组合梁基本运动微分方程。

(2) 将文中理论计算、ANSYSFEA模拟和实测的基频和一阶振型结果进行对比分析，结果显示三者基本吻合，表明了分区变分法用于分析考虑纵向刚度分布的钢-混组合梁自振特性的合理性。

(3) 文中的2片简支钢-混组合模型梁理论计算、ANSYS数值模拟和实测结果均表明钢-混组合梁自振频率随剪力键的抗剪刚度降低而降低，说明组合梁的界面相对滑移不可忽视。