考虑气体扩散表面应力的纳米梁非线性振动分析

万 磊， 刘灿昌， 孔维旭， 贺成泰， 党 壮， 周长城

(山东理工大学 交通与车辆工程学院，山东 淄博 255049)

近年来，气体物质扩散信息的检测成为研究热点问题之一，常用的检测方法比如化学方法和生物方法存在检测时间较长、检测费用高等问题，利用物理方法(如传感器)进行检测可以避免这些问题。纳米梁具有高固有频率、高承载能力、高灵敏度和低功耗等特点，常用于制作各种传感器，在生化传感中有很好的应用前景。

物质扩散对纳米梁的影响正逐步引起科研工作者的注意。Yang等[1-2]利用线弹性梁理论和Moutier方法分析了单层和双层梁结构中扩散引起的梁弯曲，提出了线性黏弹性材料中扩散引起的应力差分形式的三维本构关系。孙静[3]研究了固体的表面应力对纳米梁的内力与屈曲的影响。刘同庆等[4]理论分析了吸附效应对双端固支纳米谐振梁特性的影响，推导了吸附效应影响下的频率偏移。Boettinger等[5]计算了由于扩散引起的单相和双相金属片的依赖时间的弯曲，将梁理论和扩散弯曲耦合。Zhang等[6]研究了小尺寸和表面效应的轴向预拉伸黏弹性纳米梁振动分析。Jou等[7]提出了一种通用公式，将层状结构的弯曲曲率变化率与外涂层中的溶液扩散时间相关联。Zhang[8]通过测量共振频率的偏移来确定微悬臂梁所受的吸附诱导产生的表面应力和质量。Wang等[9]研究了具有表面效应的纳米级压电双悬臂梁试件的非线性断裂力学。Huang等[10]研究了吸附物和小尺寸悬臂的相互作用，建立了吸附引起悬臂共振频率变化的模型。Dai等[11-12]建立了基于表面弹性理论的悬臂式纳米开关非线性模型，研究表面效应对模型的影响，以及表面效应对悬臂纳米梁非线性受迫振动的影响。

近年来，对于纳机电系统的非线性振动分析与控制研究取得较大的进展。Esfahani等[13]研究了纳米梁静电激励下的依赖尺寸的非线性振动，通过多尺度法进行分析获得了系统的固有频率和动态响应等结果。Shaat等[14]研究了纳米材料的静电驱动梁结构和尺寸大小对静电驱动纳米梁固有频率和非线性动力学的影响。刘灿昌等[15]以弹性理论为基础计算得到非局部效应和轴向非线性纳米梁的固有频率，研究了考虑非局部效应的纳米梁主谐波共振响应。Khaniki等[16]利用Eringen两相局部/非局部模型动态分析了嵌入变化非线性弹性环境中的纳米梁。Zhao等[17]建立了考虑表面效应的悬臂梁横向振动的力学模型，得到了纳米梁非线性振动方程的近似解析解。Beni等[18]考虑卡西米尔力和弹性边界条件的影响，对梁式纳机电系统的静态不稳定性进行了理论研究。Najar等[19]在考虑了小尺度效应下，研究了在非线性力和直流电压作用下纳米梁的动态响应。杨晓东等[20]研究了基于非局部效应的两端铰支纳米梁的横向非线性自由振动，重点分析了非线性项及非局部效应对固有频率的影响。Bornassi等[21]利用Euler-Bernoulli梁建立了纳米器件在静电力和分子间力作用下的运动方程，利用微分求积法求解非线性动力学方程。

本文提出一种基于吸附应力的气体浓度分析物理方法，可用于含氢环境中气体浓度的检测工作。利用气体扩散环境的应力、应变与位移关系得到纳米梁表面应力与气体浓度和吸附时间的定量关系。研究在气体扩散表面应力影响下的纳米梁非线性振动，进行气体信息的检测。首先以Euler-Bernoulli梁作为非线性振动的物理模型，建立考虑气体扩散表面应力的纳米梁非线性振动方程，利用多尺度法得到纳米梁主共振的幅频响应方程，仿真得到幅频响应曲线图和参数变化图，研究扩散气体参数与纳米梁振动之间的关系，分析减弱系统非线性和增强系统稳定性的方法。

1 气体扩散表面应力原理

当气体扩散浓度分布不均匀时，气体扩散到纳米梁表面引起纳米梁弯曲。只考虑线弹性变形的情形。在欧拉-伯努利假设下对扩散引起的弯曲进行求值，得到欧拉-伯努利纳米梁的轴向位移表达式为

u(x,z)=f0(x)+zf1(x)

(1)

式中：f0(x)和f1(x)为待定函数；x为梁轴向位移坐标；z为梁横向位移坐标。

由应力、应变与位移关系得到轴向应变和应力为

(2)

(3)

式中：(′)为对x的一阶导数；Ω为扩散气体的偏摩尔体积；E为纳米梁的杨氏模量；C为扩散气体的浓度。

(4)

将式(4)代入式(2)中，轴向应变可以写为

(5)

纳米梁弯曲的曲率半径为

(6)

扩散气体对纳米梁的弯矩为

(7)

式中：M为纳米梁所受的弯矩；b为纳米梁的宽度；h为纳米梁的厚度；C0为扩散气体的初始浓度；D为比例系数；t为扩散气体的扩散时间。

由式(6)和应力弯矩关系进一步得到气体扩散应力导致的纳米梁弯矩为

(8)

气体扩散会引起纳米梁产生表面应力，该应力与扩散气体的浓度和偏摩尔体积等参数有关，分布较为复杂，为简化分析假设扩散应力均匀分布于纳米梁的表面，扩散应力可以表示为

(9)

纳米梁的应力突变会产生沿着梁轴线方向的附加压力为

qs(x)=Hw″

(10)

式中：H为与表面应力和截面形状相关的常数；w为纳米梁的挠度；w″为纳米梁的曲率。

对于矩形纳米梁，参数H为

H=2τ0b

(11)

2 考虑气体扩散表面应力纳米梁振动模型

如图1所示，以悬臂纳米梁为动力学模型。AB为静电控制极板来控制纳米梁的振动。其中：xi为点到悬臂纳米梁固定端的坐标值；d为纳米梁与静电控制极板的初始距离，纳米梁右端下方为检测振动信号的传感器。

图1 纳米梁振动模型Fig.1 Vibration model of nano-beam

作用于纳米梁与静电控制极板间的控制电压为

V=VD+Va=VD+V0cosωt

(12)

式中：VD为直流控制电压；Va=V0cosωt为交流控制电压。

考虑为纳米梁表面气体扩散，纳米梁的动力学微分控制方程为

(13)

静电力q在考虑边缘效应之后可以表示为

(14)

式中，ε0为真空介电常数。

为便于分析，引入无量纲量

(15)

式中，l为纳米梁的长度。

经过无量纲处理后纳米梁的动力学方程变为

(16)

选取了我院2015年2月到2017年12月46例晚期恶性肿瘤患者作为研究对象，所有患者已经确诊。男性31例，女性15例；年龄在65岁以上有38例，65岁以下有8例。本研究当中使用的阿帕替尼非适应症用药恶性肿瘤类型满足前期临床研究支持，患者自愿采用阿帕替尼，向患者家属讲述了用药过程中可能出现的并发症和风险，患者家属签订知情同意书。

(17)

应用多尺度法将式(17)的近似解用以下形式进行表示

x(t,ε)=x0(T0,T1,T2)+εx1(T0,T1,T2)+…

(18)

式中，ε为小量参数。

考虑纳米梁主共振的情况，取外激励频率近似等于固有频率，则激励频率为

ω=ωn+εσ

(19)

式中，σ为激励频率调谐参数。

将式(18)与其对时间的导数代入式(17)，令式(17)左右两边ε同次幂的系数相等，得到一组线性偏微分方程，即

(20)

(21)

将式(20)的近似解表示成

(22)

(23)

分离式(23)的实部和虚部得到

D1a=m1a3+m2a+m3sin(σT1-β)

(24)

aD1β=m4a3-m5a-m3cos(σT1-β)

(25)

令φ=σT1-β，以上两式可以转化为自治微分方程

D1a=m1a3+m2a+m3sinφ

(26)

aD1φ=σa-m4a3+m5a+m3cosφ

(27)

(28)

(29)

求得系统的幅频响应方程和相频响应方程为

(30)

(31)

3 数值模拟及分析

本文以Euler-Bernoulli梁一阶振动模态为例进行分析，纳米梁的参数值如表1所示，仿真得到系统的幅频响应曲线图。

表1 纳米梁参数值Tab.1 Parameters of nano-beam

如图2所示，研究了偏摩尔体积不同时的幅频响应曲线。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，扩散气体偏摩尔体积不同会对纳米梁振动的非线性产生影响，并且对振动的振幅也产生较小的影响。当Ω=6.50×10-6m3/mol时，在共振频率点左侧出现系统振动不稳定的非线性区间，当Ω从4.00×10-6m3/mol减小到1.77×10-6m3/mol时，系统振动的非线性减弱且系统的振动逐渐稳定。由此可得扩散气体的偏摩尔体积Ω的取值在选取参数范围内时，扩散气体偏摩尔体积越小，振动非线性越弱。

图2 偏摩尔体积不同时的幅频响应曲线Fig.2 Curves of the amplitude-frequency with different partial molar volume

如图3所示，研究了初始浓度不同时的幅频响应曲线。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，扩散气体初始浓度的不同会对纳米梁振动的非线性产生影响。当C0=35 mol/m3时，在共振频率点左侧出现系统振动不稳定的非线性区间，当C0从20 mol/m3减小到5 mol/m3时，系统的振动逐渐稳定。由此可得初始浓度C0的取值在选取参数范围内时，扩散气体初始浓度越小，系统振动的非线性越弱。

图3 初始浓度不同时的幅频响应曲线Fig.3 Curves of the amplitude-frequency with different initial concentration

如图4所示，研究了扩散气体扩散时间不同时的幅频响应曲线。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，气体扩散时间的不同会对纳米梁振动的非线性产生影响。当t=0.1 s时，在共振频率点左侧出现系统振动不稳定的非线性区间，当t从0.4 s增加到1.0 s时，系统的振动逐渐稳定。由此可得扩散时间t的取值在选取参数范围内时，气体扩散时间越长，系统振动的非线性越弱。

图4 扩散时间不同时的幅频响应曲线Fig.4 Curves of the amplitude-frequency with different diffusion time

如图5所示，研究了初始浓度不同时，非线性项随纳米梁长度变化曲线。将非线性项控制在合理范围内有助于保证系统振动的稳定性。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，当扩散气体的初始浓度一定时，非线性项随纳米梁长度的增加而减小。当纳米梁长度一定时，在图4中三条线交点左侧，扩散气体的初始浓度越小，非线性项越小，在交点的右侧，扩散气体的初始浓度越小，非线性项越大。

图5 初始浓度不同时，非线性项随纳米梁长度变化曲线Fig.5 Curves of the nonlinear term varying with nano-beam length for different initial concentration

如图6所示，研究了直流控制电压不同时的幅频响应曲线。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，改变直流控制电压会对纳米梁振动的振幅和振动非线性同时产生影响。当VD=15 V时，在共振频率点右侧出现系统振动不稳定的非线性区间，当VD从10 V减小到3 V时，系统的振幅减小且振动逐渐稳定。由此可得直流控制电压VD的取值在选取参数范围内时，直流控制电压越小，系统的振幅越小，振动的非线性越弱。幅频响应方程中系数m5含有直流控制电压项，m5为负数，减小直流控制电压会减小系数m5，这会使得图像发生左移，出现图中频率发生变化的现象。

图6 直流控制电压不同时的幅频响应曲线Fig.6 Curves of the amplitude-frequency with different ldirect current control voltage

如图7所示，研究了交流控制电压不同时的幅频响应曲线。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，改变交流控制电压会对纳米梁振动的振幅和振动非线性同时产生影响。当V0=0.20 V时，在共振频率点左侧出现系统振动不稳定的非线性区间，当V0从0.10 V减小到0.04 V时，系统的振幅减小且振动逐渐稳定。由此可得交流控制电压V0的取值在选取参数范围内时，交流控制电压越小，系统的振幅越小，振动的非线性越弱。

图7 交流控制电压不同时的幅频响应曲线Fig.7 Curves of the amplitude-frequency with different alternating current control voltage

如图8所示，研究了系统阻尼不同时，非线性项随纳米梁长度变化曲线。将非线性项控制在合理范围内有助于保证系统振动的稳定性。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，当系统阻尼一定时，非线性项随纳米梁长度的增加而减小。当纳米梁长度一定时，系统阻尼越大，非线性项越小。

图8 系统阻尼不同时，非线性项随纳米梁长度变化曲线Fig.8 Curves of the nonlinear term varying with nano-beam length for different system damping

如图9所示，研究了纳米梁长度不同时，振动阻尼项随系统阻尼变化曲线。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，当纳米梁长度一定时，振动阻尼项随系统阻尼的增加而减小。当系统阻尼一定时，纳米梁长度越大，振动阻尼项越小。

图9 纳米梁长度不同时，振动阻尼项随系统阻尼变化曲线Fig.9 Curves of the vibration damping term varying with system damping for different nano-beam length

如图10所示，研究了系统阻尼不同时的幅频响应曲线。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，改变系统阻尼会对纳米梁振动的振幅和振动非线性同时产生影响。当c=1.0×10-6N·s·m-1时，在共振频率点左侧出现系统振动不稳定的非线性区间，当c从2.0×10-6N·s·m-1增加到3.5×10-6N·s·m-1时，系统的振幅减小且振动逐渐稳定。由此可得系统阻尼c的取值在选取参数范围内时，系统阻尼越大，系统的振幅越小，振动的非线性越弱。

图10 系统阻尼不同时的幅频响应曲线Fig.10 Curves of the amplitude-frequency with different system damping

如图11所示，研究了纳米梁与极板间初始距离不同时的幅频响应曲线。在所选取参数范围内以及其它参数保持不变的条件下，改变纳米梁与极板间初始距离会对纳米梁振动的振幅和振动非线性同时产生影响。当d=450 nm时，在共振频率点右侧出现系统振动不稳定的非线性区间，当d从500 nm增加到550 nm时，系统的振幅减小且振动逐渐稳定。由此可得纳米梁与极板间的初始距离d的取值在选取参数范围内时，初始距离越大，系统的振幅越小，振动的非线性越弱。幅频响应方程中系数m5的表达式含有纳米梁与极板间的初始距离d，m5为负数，减小d会增大系数m5，这会使得图像发生右移，出现图中频率发生变化的现象。

图11 纳米梁与极板间初始距离不同时的幅频响应曲线Fig.11 Curves of the amplitude-frequency with different initial distance between the nano-beam and the plate

为了验证本文模型的准确性，图12给出了近似解与数值解对比算例。对近似解方法得出的图线和数值方法计算得出的结果进行对比分析。数值方法(long time integration， LTI)在图12中表示为离散点，多尺度方法近似解以实线表示。取扩散时间为0.1 s的数据，得到图12的结果，从图中看出由多尺度方法得到的近似解析结果与数值计算结果符合较好。两种方法得到结果的相似性说明本文的模型及理论分析方法具有一定的合理性。

图12 多尺度方法与数值运算比较Fig.12 Comparison of calculation between the multi-scale method and numerical integration

4 结 论

(1) 气体扩散产生的表面应力对纳米梁非线性振动有很大的影响，改变扩散气体的偏摩尔体积、初始浓度和扩散时间都会影响纳米梁的非线性振动，其中对振幅的影响较小，对振动非线性的影响较大。

(2) 不同扩散气体环境下的纳米梁非线性振动性质不同。理论上通过记录下不同的扩散气体所对应的不同纳米梁振动行为，可以利用纳米梁来进行扩散气体信息的检测。

(3) 在所选参数变化范围内，系统阻尼、直流控制电压、交流控制电压和纳米梁与极板间的初始距离等参数对系统振幅和振动非线性的影响都比较大。通过改变系统的参数，可以减弱系统的非线性振动。