2021年新课标Ⅲ卷解析几何试题赏析与探究

摘 要：通过对2021年新课标Ⅲ卷第20题解析几何试题的多角度分析，挖掘其中的竞赛背景，再联系与之相关的往年高考真题，从真题解法赏析、试题背景探源、基本思想方法的应用和教学启示等四个方面展开详细阐述，谈谈解析几何的复习策略.

关键词：解析几何;切线问题;竞赛背景;基本思想

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0036-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：潘宇，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

2021年高考刚刚落下帷幕，全国各地老师纷纷对其中的优秀试题展开研究.笔者在研究2021年新课标Ⅲ卷第20题解析几何时，发现该题既可以用特殊位置猜想结果，又可以用基本思想方法解答.此题不仅可以寻找到往年旧题中的缩影，更能挖掘其深藏的竞赛背景，下面笔者以此题为例，从真题解法赏析、试题背景探源、基本思想方法的应用和教学启示等四个方面展开详细阐述.

一、真题解法赏析

例1 （2021年新课标Ⅲ卷第20题）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ，点M（2，0），且⊙M与l相切.

（1）求C，⊙M的方程;

（2）設A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.

图1

分析1容易求得C：y2=x和⊙M：x-22+y2=1.先考虑特殊情形：当点A1位于坐标原点时，根据直线A1A2，A1A3均与⊙M相切可知kA1A2=33，直线A1A2：y=

33x，代入C：y2=x解得A23，3，同理可得A33，-3.此时直线A2A3与⊙M相切.

评注 由于第二问难度较大，很多学生可能想不到如何破解或者在考场上来不及研究，所以可以先用“特殊化”的思想，预测答案，再从“特殊到一般”，寻找证明思路，或者书写有效的得分步骤，争取得分最大化.

分析2设A1x0，y0，A2x1，y1，A3x2，y2，则kA1A2=y0-y1x0-x1=1y0+y1，所以直线A1A2：y-y0=1y0+y1x-x0，整理得A1A2：x-y0+y1y+y0y1=0，同理可得A2A3：x-y1+y2y+y1y2=0.由直线A1A2与⊙M相切得2+y1y01+y1+y02=1，整理得y20-1y12+2y0y1+3-y20=0，同理可得y20-1y22+2y0y2+3-y20=0，所以y1+y2=-2y0y20-1，y1y2=3-y20y20-1，代入点M（2，0）到直线A2A3的距离公式，得2+y1y21+y1+y22=1，所以直线A2A3与⊙M相切.

点评 本题有很多常见的解题经验或结论，值得总结并用于教学.（1）抛物线y2=2px上的两点连线斜率为k=2py1+y2.（2）已知抛物线上的两点A2x1，y1，A3x2，y2，可以快速的写出直线A2A3的方程：x-y1+y2y+y1y2=0，可以帮助我们快速找到根与系数的关系.（3）创造“同构”方程，得到韦达定理，再用之解题，体现了圆锥曲线中“设而不求”的思想.

二、试题背景探源

例1的竞赛背景为彭赛列闭合定理：平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.

简明的彭赛列闭合定理表示为：一个三角形外接于一个圆，内切一个圆，则三角形的外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述的同一个.于是可以得到例1分析如下：

分析3当点A1位于坐标原点时，根据直线A1A2，A1A3均与⊙M相切可知kA1A2=33，直线A1A2：y=33x，代入C：y2=x解得A23，3，同理可得A33，-3.此时直线A2A3与⊙M相切.由彭赛列闭合定理可知，当点A1在抛物线上运动时，直线A2A3始终与⊙M相切.

评注 知道彭赛列闭合定理可以帮助我们预判解题之路，但缺点是这些超纲知识不可用于考场答卷.所以帮助我们解决圆锥曲线的内接三角形的内切圆问题的最重要方法还是通性通法，也就是前文分析2后的总结（1）、（2）、（3）.下面继续举例说明这些总结的应用.

三、基本思想方法的应用

例2（2021年全国八省联考第7题）已知抛物线y2=2px上三点A（2，2），B，C，直线AB，AC是圆（x-2）2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为（）.

A. x+2y+1=0B. 3x+6y+4=0

C. 2x+6y+3=0 D. x+3y+2=0

分析 该题属于伪彭赛列闭合，但仍然可以运用前文所写的总结快速解决.易知抛物线方程为y2=2x，kAB=3，由kAB=2yA+yB得yB=23-2，则xB=8-433.同理可得yC=-23-2，所以kBC=2yC+yB=-12，BC：y-23-63=-12x-8-433，即BC：3x+6y+4=0.

评注 以上的例1、例2都是考查抛物线的内接三角形的内切圆问题，下面看看一个椭圆中的例子.研究往年经典题可以提炼解题方法，指导未来解题.

例3（2009年江西文科第22题·改编）如图2，已知圆G：（x-2）2+y2=49是椭圆x216+y2=1的内接△ABC的内切圆， 其中A为椭圆的左顶点.过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切.

图2

分析 设过点M0，1与圆（x-2）2+y2=49相切的直线方程为：y-1=kx， 则23=2k+11+k2，即32k2+36k+5=0解得k1=-9+4116，k2=-9-4116.

代入x216+y2=1得（16k2+1）x2+32kx=0，则异于零的解为x=-32k16k2+1.

设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），则x1=-32k116k12+1，x2=-32k216k22+1.则直线FE的斜率为：kEF=k2x2-k1x1x2-x1=k1+k21-16k1k2=34，于是直线FE的方程为：

y+32k1216k12+1-1=34（x+32k116k12+1），即y=34x-73.则圆心（2，0）到直线FE的距离d=32-731+916=23，故结论成立.

评注 该题是典型的彭赛列闭合.积极研究往年经典例题，并用于日常教学，不仅可以“与命题者对话”，在研究掌握通性通法的同时训练学生的计算毅力，还可以渗透数学文化、括展知识面，往前追溯，还可以在联赛试题中找到类似考法.

例4（2008高中数学联赛）点P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆x-12+y2=1内切于ΔPBC，求ΔPBC面积的最小值.

图3

分析 设Px0，y0，B0，b，C0，c，不妨设b>c，直线PB：y-b=y0-bx0x.

即y0-bx-x0y+x0b=0，又因为圆心B1，0到PB的距离1，即y0-b+x0by0-b2+x20=1，

故y0-b2+x20=y0-b2+2x0by0-b+x20b2，易知x0>2，化简得x0-2b2+2y0b-x0=0，同理可得x0-2c2+2y0c-x0=0.

所以b+c=-2y0x0-2，bc=-x0x0-2，则b-c2=4x20+4y20-8x0x0-22，因為Px0，y0是抛物线上的点，所以y20=2x0，b-c2=4x20x0-22，即b-c=2x0x0-2.

所以SΔPBC=12b-cx0=x0x0-2x0=x0-2+4x0-2+4≥8，当且仅当x0=4时，SΔPBC取得最小值8.

点评 从以上例题的解答过程可以提炼出解析几何最常用的解题思想方法：设点、设线、联立、消元、设而不求，仍然是圆锥曲线解题的主旋律;以点斜式、点线距离公式、线圆相切等知识为载体，通过运算求解、方程变形，得到“同构”二次方程，再结合根与系数的关系找到解题突破口.

四、教学启示

随着新课程、新教材、新高考的逐步推进，围绕数学学科核心素养落实的全国卷数学试题已然引领着新时期的数学教学改革.基于2021年新课标Ⅲ卷数学第21题解析几何试题的全面阐述，在解析几何教学中需要关注的的几个方面有：

1.贯彻解析几何基本思想方法，回归数学本质.解析几何其核心思想就是运用代数的方法研究几何问题，故而其关键要处理的是几何问题.因此在解析几何实践教学中要注重几何关系的分析，厘清复杂曲线中的几何关系，尤其是直线与曲线的常见位置关系（相切、平行、垂直）的代数等价形式，其基本处理方法是“设而不求”和“设且求”.

2.渗透类比探究思想，强化思维训练，提升运算素养.解析几何内容，尤其是有心二次曲线的性质常常都具有极其类似的结论，因而在引导学生进行自主探究活动中始终树立类比推理的意识，充分挖掘出与已知知识相邻的“知识圈”.在探究推理过程中遵循特殊到一般原则，狠抓学生数学运算能力的培养，培养学习数学的自信心和创新思维.

3.关注学科知识间的融合，培养发现问题和解决问题的能力. 2021年新课标Ⅲ卷数学第21题第（2）问考查学生在开放的情境中发现主要矛盾的能力，结合特殊值的思想与彭赛列闭合定理理论支撑，能够明晰问题结论，指引推理方向.因此在解析几何的教学中需要适当关注数学文化，融合不等式、导数等学科知识.

解析几何问题，不仅仅是运算问题，更是思维问题.“多考一点想，少考一点算”新高考理念下的解析几何问题，设问开放，教学的核心始终围绕基本思想方法才是解决问题的关键.

参考文献：

[1]黄利兵，陆洪文.解析几何[M].上海：上海科技教育出版社，2010（9）.

[2]郝志刚.一道高考压轴题探源[J].中学数学（高中版），2009（19）：20.

[3]梅向明等.高等几何[M].北京：高等教育出版社，2008（4）.

[责任编辑：李 璟]