圆锥曲线综合题的解题分析与优化运算

摘 要：圆锥曲线综合题方法灵活多变，运算过程复杂，许多学生解题思路受阻，处理关键点的能力有所欠缺，因此，掌握解题思路的构建过程，积累相应的解题经验，使用恰当的解题方法、简化运算过程，就会有效地突破这一难点.

关键词：圆锥曲线;逻辑推理;优化运算

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0019-04

收稿日期：2021-09-05

作者简介：胡贵平（1978-），男，甘肃省天水人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

圆锥曲线综合题涉及知识点多，对逻辑推理和数学运算的数学核心素养要求较高，许多学生对含参代数式的运算缺乏预判，盲目机械地运算，算理存在理解上的偏差.如何从题目中的一些已知条件突破，将结论进行相应的转化，寻找到最简便的解题思路和技巧呢？

一、强化逻辑推理

充分理解圆锥曲线图形性质的基础上，从揭示几何规律入手，以几何推理为基础，借助几何直观，建立条件与结论之间可操作的算法，形成解题的思维路线图，通过数值的合理运算探寻到量的关系，从而突破求解.

1.从结论着手，执果索因

探索结论成立所满足的条件，即结论成立意味着什么，通过等价转化，还可以得出什么，结论与条件之间又有怎样的联系，转变为寻求变量之间的关系，通过逻辑推理找到问题的切入点，把结论和已知条件逐步接近.

例1 已知椭圆C：x216+y212=1的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m>4）满足条件FAAP=e.

（1）求m的值;

（2）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：S1S2=PMPN.

分析 （1）m=8;

（2）如图1，着眼于问题，要证S1S2=PMPN，这是一个几何特征，怎么转化成代数关系？注意到S1S2=12PFPMsin∠MPF12PFPNsin∠NPF，所以只需证sin∠MPF=sin∠NPF，即只需证∠MPF=∠NPF，从而问题转化为只需证kMP=-kNP.这样新的目标就是证明kMP+kNP=0.由于直线l的方程是y=k（x-2），变成了证明k（xM-2）xM-8+k（xN-2）xN-8=0，将式子化简得kxMxN-10k（xM+xN）+32k（xM-8）（xN-8）=0，直线l与椭圆C的方程联立，由韦达定理可得xM+xN，xMxN.因为直线l斜率是否存在不确定，所以还应该考虑斜率不存在的情况.

2.从条件出发，由因导果

准确把握条件中的信息，即条件意味着什么，这些条件通过等价转化，还可以得出什么，几个条件之间又有怎样的联系，多角度地用代数运算刻画几何关系，通过逻辑推理有效提炼整合解题信息.

例2 （2018全国新课标Ⅲ卷文）已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点.线段AB的中点为M（1，m）（m>0）.

（1）证明：k<-12;

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且

FP+FA+FB=0.

证明：2|FP|=|FA|+|FB|.

分析 （1）从条件出发，斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点.通过联立方程，根据Δ>0以及韦达定理得出xA+xB=2，yA+yB=2m，化归成斜率k的不等式，从而求得斜率k的范围.挖掘两个条件之间的关系，涉及中点弦问题，很容易想到点差法，根据M（1，m）在椭圆内，可求得斜率k范围.除这两种通法外，还可以应用直线的参数方程.（2）FP+FA+FB=0可转换为FP+2FM=0，由

M（1，m），F（1，0），可得点P的坐标为（1，-2m）.从另一个角度看

FP+FA+FB=0，显然点F为△ABP的重心，由三角形重心坐标公式易得点P的坐标为（1，-2m）.由点P在椭圆上，得出m=34，进而求得斜率k，将直线l的方程与椭圆方程联立，求出A，B两点的坐标，再由两点距离公式求得.

圆锥曲线综合题解题思路的构建，一定要引导学生分析不同表征形式的特点和它们之间的联系，将条件或结论中的几何特征（线段长度、面积、角、斜率）转化成代数形式，而轉化需要全方位、多角度地理解相关知识，更需要强化逻辑推理，提高一类问题的可辨别性和稳定性.

几何特征转化为代数关系，具体来说转化为坐标表达，直线AB与曲线相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），以AB为直径的圆过原点，等价于OA⊥OB，坐标表示为x1x2+y1y2=0;遇到A，B，M三点共线，等价于kMA=kMB;共线线段比例问题，通过向量坐标表示出共线成比例的关系，找到参量的关系式;共线线段乘积问题，利用弦长公式或直线参数方程中参数的几何意义;遇到三角形面积的计算，高用点到直线的距离公式表示，底用弦长公式表示，尽量将底选在坐标轴或与坐标轴平行的直线上;四边形面积的计算，可分割成两个三角形，特殊的四边形，如对角线互相垂直或菱形，可以转化成对角线乘积的一半，再用弦长公式. 积累常见几何特征代数化方法，无疑可化解入手难的障碍.

二、优化数学运算

学生对运算能力的重要性认识不够，遇到计算复杂的问题，心理脆弱，不敢算、也不愿意去算，选取的方法不得当，会导致计算过程复杂，数学运算一定要明确算什么，怎么算，掌握一些计算技巧，培养学生探究问题的能力.

1.数形结合，优化数学运算

解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，但是解析几何归根结底解决的是几何问题，借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系，把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，不但可以拓宽解题思路，而且还能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程.

例3 直线l：y=k（x-2）与双曲线x2-y2=1（x>0）的右支交于A，B两点，则直线l的倾斜角的范围是.

解法1 由y=k（x-2），x2-y2=1，得（1-k2）x2+22k2x-2k2-1=0.因为直线l与双曲线的右支交于A，B两点，所以Δ=（22k2）2+4（1-k2）（2k2+1）>0，x1+x2=-22k21-k2>0，x1x2=-2k2-11-k2>0，

即k2+1>0，k2-1>0，k2-1>0，解得k>1或k<-1.所以直线l的倾斜角的范围是（π4，π2）∪（π2，3π4）.图2

解法2 直线l：y=k（x-2）恒过定点（2，0），但不垂直于x轴，双曲线x2-y2=1（x>0）渐近线为y=±x，如图2，数形结合可得k>1或k<-1.所以直线l的倾斜角的范围是（π4，π2）∪（π2，3π4）.

2.应用定义，优化数学运算

圆锥曲线的定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础，而且也是解题的重要工具，可以使复杂的问题简单化，提高解题效率.

例4 （2015年浙江文）椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F（c，0）关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是.

解法1 设Q（x0，y0），则y0x0-c·bc=-1，y02=bc·x0-c2，解得x0=c（c2-b2）a2，y0=2bc2a2.点Q在椭圆上，所以c（c2-b2）a22a2+2bc2a22b2=1，即a4=c2（c2-b2）2a2+4c4.

整理得（a2-2c2）（a4+a2c2+2c4）=0，所以a2=2c2，e=22.

解法2 记右焦点为F′，因为点Q是点F关于直线y=bcx的对称点，所以直线y=bcx垂直平分线段MF.又因为点O是FF′的中点，所以直线MF平行于直线y=bcx，所以tan∠QF′F=bc，∠F′QF=90°，不妨设QF=bt，QF′=ct（t>0），所以点M在椭圆上，2a=QF+QF′=（b+c）t，2c=F′F=（bt）2+（ct）2=at，所以ca=ac+b，即a2=c2+bc，b=c，所以e=22.

3.二级结论，优化数学运算

圆锥曲线的二级结论很多，灵活运用一些简单的结论，如圆锥曲线中的垂径定理，抛物线焦点弦的性质等，一方面可以提高分析推理能力， 另一方面可以减少运算步骤，使解题思路简明，更加合理化.

例5 （2014年全国新课标Ⅱ卷理） 设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则ΔOAB的面积为（）.

A. 334B.938C.6332D.94

解法1因为抛物线y2=3x的焦点坐标为F（34，0）， 所以直线AB的方程为y=tan30°（x-34）.

由y=33（x-34），y2=3x，得16x2-168x+9=0，所以x1+x2=212.所以弦长AB=x1+x2+32=12.

又点O到直线AB：4x-43y-3=0的距离d=

342+（43）2=38， 所以SΔOAB=12×12×38=94，故选D.

解法2 根据抛物线焦点弦的性质S△OAB=p22sinα，其中α为直线l的倾斜角，S△OAB=（32）22sin30°=94，故选D.

4.平面几何，优化数学运算

解析几何的本质特性是“几何性”，要善于捕捉曲线的几何特征，灵活应用平面几何的性质，如三角形的中位线性质、内角平分线定理、等腰三角形的判定和性质、圆的有关定理等，不仅能简化运算，还能充分感受到平面几何的魅力，收到事半功倍的效果.

例6 （2019年江苏文） 如图3，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F1（-1，0），F2（1，0）.过点F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2： （x-1）2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1=52.求点E的坐标.

图3

解法1由题知，椭圆C：x24+y23=1，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程x-12+y2=16，解得y=±4.

因为点A在x轴上方，所以A（1，4）.又F1（-1，0），所以直线AF1的方程为y=2x+2.

由y=2x+2，x-12+y2=16，得5x2+6x-11=0，解得x=1或x=-115.

将x=-115代入y=2x+2，得y=-125，因此B（-115，-125）.又F2（1，0），所以直线BF2的方程为y=

34（x-1）.由y=34（x-1），x24+y23=1，得7x2-6x-13=0，解得x=-1或x=137.

又因为点E是线段BF2与椭圆的交点，所以x=-1.

将x=-1代入y=34（x-1），得y=-32.因此E（-1，-32）.

图4解法2如图4，连接EF1，由于BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，∠B=∠BF1E，

又BF2=AF2，∠B=∠BAF2，所以∠BF1E=∠BAF2，所以EF1∥AF2，所以EF1⊥x轴，

因为F1（-1，0），由x=-1，x24+y23=1，得y=±32.又因为点E是线段BF2与椭圆的交点，所以y=-32.所以E（-1，-32）.

5.点乘双根，优化数学运算

二次函数的双根式y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩个根，通过双根式来解决解析几何中涉及向量数量积为定值（MA·MB=λ）的问题，可以减少计算量，提高解题效率.

例7 （2017年全国新课标Ⅰ卷文）设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.

（1）求直线AB的斜率;

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.

解析 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠x2，y1=x214，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.

（2）由y=x24，得y′=x2.设M（x3，y3），由题设知x32=1，解得x3=2，于是M（2，1）.设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N（2，2+m），MN=m+1.由y=x+m，y=x24，得x2-4x-4m=0.当Δ=16（m+1）>0，即m>-1时，x1，2=2±2m+1.从而|AB|=2|x1-x2|=42（m+1）.

由题设知|AB|=2|MN|，即42（m+1）=2（m+1），解得m=7.

所以直线AB的方程为y=x+7.

许多学生解决圆锥曲线综合问题信心不足，其中很重要的原因是对问题无从着手，对繁杂的计算恐惧，几何特征转化为代数关系，是坐标法实施的关键，应成为圆锥曲线学习必备的解题经验.课堂教学中普遍重视解题策略的寻找，轻视计算的做法要改变，计算的重要环节必须得到充分训练，让学生的思维品质和数学运算素养得到相应提升，实现圆锥曲线综合问题的有效突破.

参考文献：

[1]刘增利.高考五年真题[M].北京：开明出版社，2020.

[2]毛良忠.加强思维逻辑分析优化解析几何运算[J].中学数学教学参考，2020（34）：21-24.

[责任编辑：李 璟]