摘 要:圆锥曲线综合题方法灵活多变,运算过程复杂,许多学生解题思路受阻,处理关键点的能力有所欠缺,因此,掌握解题思路的构建过程,积累相应的解题经验,使用恰当的解题方法、简化运算过程,就会有效地突破这一难点.
关键词:圆锥曲线;逻辑推理;优化运算
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0019-04
收稿日期:2021-09-05
作者简介:胡贵平(1978-),男,甘肃省天水人,本科,中学一级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]
圆锥曲线综合题涉及知识点多,对逻辑推理和数学运算的数学核心素养要求较高,许多学生对含参代数式的运算缺乏预判,盲目机械地运算,算理存在理解上的偏差.如何从题目中的一些已知条件突破,将结论进行相应的转化,寻找到最简便的解题思路和技巧呢?
一、强化逻辑推理
充分理解圆锥曲线图形性质的基础上,从揭示几何规律入手,以几何推理为基础,借助几何直观,建立条件与结论之间可操作的算法,形成解题的思维路线图,通过数值的合理运算探寻到量的关系,从而突破求解.
1.从结论着手,执果索因
探索结论成立所满足的条件,即结论成立意味着什么,通过等价转化,还可以得出什么,结论与条件之间又有怎样的联系,转变为寻求变量之间的关系,通过逻辑推理找到问题的切入点,把结论和已知条件逐步接近.
例1 已知椭圆C:x216+y212=1的右焦点为F,右顶点为A,离心率为e,点P(m,0)(m>4)满足条件FAAP=e.
(1)求m的值;
(2)设过点F的直线l与椭圆C相交于M,N两点,记△PMF和△PNF的面积分别为S1,S2,求证:S1S2=PMPN.
分析 (1)m=8;
(2)如图1,着眼于问题,要证S1S2=PMPN,这是一个几何特征,怎么转化成代数关系?注意到S1S2=12PFPMsin∠MPF12PFPNsin∠NPF,所以只需证sin∠MPF=sin∠NPF,即只需证∠MPF=∠NPF,从而问题转化为只需证kMP=-kNP.这样新的目标就是证明kMP+kNP=0.由于直线l的方程是y=k(x-2),变成了证明k(xM-2)xM-8+k(xN-2)xN-8=0,将式子化简得kxMxN-10k(xM+xN)+32k(xM-8)(xN-8)=0,直线l与椭圆C的方程联立,由韦达定理可得xM+xN,xMxN.因为直线l斜率是否存在不确定,所以还应该考虑斜率不存在的情况.
2.从条件出发,由因导果
准确把握条件中的信息,即条件意味着什么,这些条件通过等价转化,还可以得出什么,几个条件之间又有怎样的联系,多角度地用代数运算刻画几何关系,通过逻辑推理有效提炼整合解题信息.
例2 (2018全国新课标Ⅲ卷文)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<-12;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且
FP+FA+FB=0.
证明:2|FP|=|FA|+|FB|.
分析 (1)从条件出发,斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点.通过联立方程,根据Δ>0以及韦达定理得出xA+xB=2,yA+yB=2m,化归成斜率k的不等式,从而求得斜率k的范围.挖掘两个条件之间的关系,涉及中点弦问题,很容易想到点差法,根据M(1,m)在椭圆内,可求得斜率k范围.除这两种通法外,还可以应用直线的参数方程.(2)FP+FA+FB=0可转换为FP+2FM=0,由
M(1,m),F(1,0),可得点P的坐标为(1,-2m).从另一个角度看
FP+FA+FB=0,显然点F为△ABP的重心,由三角形重心坐标公式易得点P的坐标为(1,-2m).由点P在椭圆上,得出m=34,进而求得斜率k,将直线l的方程与椭圆方程联立,求出A,B两点的坐标,再由两点距离公式求得.
圆锥曲线综合题解题思路的构建,一定要引导学生分析不同表征形式的特点和它们之间的联系,将条件或结论中的几何特征(线段长度、面积、角、斜率)转化成代数形式,而轉化需要全方位、多角度地理解相关知识,更需要强化逻辑推理,提高一类问题的可辨别性和稳定性.
几何特征转化为代数关系,具体来说转化为坐标表达,直线AB与曲线相交于两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆过原点,等价于OA⊥OB,坐标表示为x1x2+y1y2=0;遇到A,B,M三点共线,等价于kMA=kMB;共线线段比例问题,通过向量坐标表示出共线成比例的关系,找到参量的关系式;共线线段乘积问题,利用弦长公式或直线参数方程中参数的几何意义;遇到三角形面积的计算,高用点到直线的距离公式表示,底用弦长公式表示,尽量将底选在坐标轴或与坐标轴平行的直线上;四边形面积的计算,可分割成两个三角形,特殊的四边形,如对角线互相垂直或菱形,可以转化成对角线乘积的一半,再用弦长公式. 积累常见几何特征代数化方法,无疑可化解入手难的障碍.
二、优化数学运算
学生对运算能力的重要性认识不够,遇到计算复杂的问题,心理脆弱,不敢算、也不愿意去算,选取的方法不得当,会导致计算过程复杂,数学运算一定要明确算什么,怎么算,掌握一些计算技巧,培养学生探究问题的能力.
1.数形结合,优化数学运算
解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题,但是解析几何归根结底解决的是几何问题,借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系,把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,不但可以拓宽解题思路,而且还能避免繁杂的计算和推理,简化解题过程.
例3 直线l:y=k(x-2)与双曲线x2-y2=1(x>0)的右支交于A,B两点,则直线l的倾斜角的范围是.
解法1 由y=k(x-2),x2-y2=1,得(1-k2)x2+22k2x-2k2-1=0.因为直线l与双曲线的右支交于A,B两点,所以Δ=(22k2)2+4(1-k2)(2k2+1)>0,x1+x2=-22k21-k2>0,x1x2=-2k2-11-k2>0,
即k2+1>0,k2-1>0,k2-1>0,解得k>1或k<-1.所以直线l的倾斜角的范围是(π4,π2)∪(π2,3π4).图2
解法2 直线l:y=k(x-2)恒过定点(2,0),但不垂直于x轴,双曲线x2-y2=1(x>0)渐近线为y=±x,如图2,数形结合可得k>1或k<-1.所以直线l的倾斜角的范围是(π4,π2)∪(π2,3π4).
2.应用定义,优化数学运算
圆锥曲线的定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础,而且也是解题的重要工具,可以使复杂的问题简单化,提高解题效率.
例4 (2015年浙江文)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.
解法1 设Q(x0,y0),则y0x0-c·bc=-1,y02=bc·x0-c2,解得x0=c(c2-b2)a2,y0=2bc2a2.点Q在椭圆上,所以c(c2-b2)a22a2+2bc2a22b2=1,即a4=c2(c2-b2)2a2+4c4.
整理得(a2-2c2)(a4+a2c2+2c4)=0,所以a2=2c2,e=22.
解法2 记右焦点为F′,因为点Q是点F关于直线y=bcx的对称点,所以直线y=bcx垂直平分线段MF.又因为点O是FF′的中点,所以直线MF平行于直线y=bcx,所以tan∠QF′F=bc,∠F′QF=90°,不妨设QF=bt,QF′=ct(t>0),所以点M在椭圆上,2a=QF+QF′=(b+c)t,2c=F′F=(bt)2+(ct)2=at,所以ca=ac+b,即a2=c2+bc,b=c,所以e=22.
3.二级结论,优化数学运算
圆锥曲线的二级结论很多,灵活运用一些简单的结论,如圆锥曲线中的垂径定理,抛物线焦点弦的性质等,一方面可以提高分析推理能力, 另一方面可以减少运算步骤,使解题思路简明,更加合理化.
例5 (2014年全国新课标Ⅱ卷理) 设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则ΔOAB的面积为().
A. 334B.938C.6332D.94
解法1因为抛物线y2=3x的焦点坐标为F(34,0), 所以直线AB的方程为y=tan30°(x-34).
由y=33(x-34),y2=3x,得16x2-168x+9=0,所以x1+x2=212.所以弦长AB=x1+x2+32=12.
又点O到直线AB:4x-43y-3=0的距离d=
342+(43)2=38, 所以SΔOAB=12×12×38=94,故选D.
解法2 根据抛物线焦点弦的性质S△OAB=p22sinα,其中α为直线l的倾斜角,S△OAB=(32)22sin30°=94,故选D.
4.平面几何,优化数学运算
解析几何的本质特性是“几何性”,要善于捕捉曲线的几何特征,灵活应用平面几何的性质,如三角形的中位线性质、内角平分线定理、等腰三角形的判定和性质、圆的有关定理等,不仅能简化运算,还能充分感受到平面几何的魅力,收到事半功倍的效果.
例6 (2019年江苏文) 如图3,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过点F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2: (x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=52.求点E的坐标.
图3
解法1由题知,椭圆C:x24+y23=1,a=2,因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程x-12+y2=16,解得y=±4.
因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1的方程为y=2x+2.
由y=2x+2,x-12+y2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.
将x=-115代入y=2x+2,得y=-125,因此B(-115,-125).又F2(1,0),所以直线BF2的方程为y=
34(x-1).由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.
又因为点E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.
将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.因此E(-1,-32).
图4解法2如图4,连接EF1,由于BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,∠B=∠BF1E,
又BF2=AF2,∠B=∠BAF2,所以∠BF1E=∠BAF2,所以EF1∥AF2,所以EF1⊥x轴,
因为F1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,得y=±32.又因为点E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-32.所以E(-1,-32).
5.点乘双根,优化数学运算
二次函数的双根式y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩个根,通过双根式来解决解析几何中涉及向量数量积为定值(MA·MB=λ)的问题,可以减少计算量,提高解题效率.
例7 (2017年全国新课标Ⅰ卷文)设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=x214,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.
(2)由y=x24,得y′=x2.设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),MN=m+1.由y=x+m,y=x24,得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1.从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).
由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
许多学生解决圆锥曲线综合问题信心不足,其中很重要的原因是对问题无从着手,对繁杂的计算恐惧,几何特征转化为代数关系,是坐标法实施的关键,应成为圆锥曲线学习必备的解题经验.课堂教学中普遍重视解题策略的寻找,轻视计算的做法要改变,计算的重要环节必须得到充分训练,让学生的思维品质和数学运算素养得到相应提升,实现圆锥曲线综合问题的有效突破.
参考文献:
[1]刘增利.高考五年真题[M].北京:开明出版社,2020.
[2]毛良忠.加强思维逻辑分析优化解析几何运算[J].中学数学教学参考,2020(34):21-24.
[责任编辑:李 璟]