基于属性拓扑的螺杆转子型线分析

（陕西理工大学机械工程学院,陕西汉中 723001）

1 引言

螺杆压缩机的运转部件少、大修期长、工作时可以强制输气、动平衡性好[1]，可应用在粉尘、煤矿和工艺气体等车间内，也可装备在尺寸和工作条件严苛的机车、船舶等设备上。

螺杆转子作为螺杆压缩机的主要零部件，要求齿面精度高、齿间流量大、泄漏量小等，由于第一代对称型线很难满足工作要求，这种设备在当时并没有得到普及。20世纪70年代，通过对原始不对称型线的改进，第二代不对称的转子型线降低了内部泄漏，提高了热力学效率，同时随着精密螺纹铣床的发展[2]，不仅保证转子复杂型面的精度，其生产成本也大大降低[3]。转子型线发展至今，新一代型线在优化的同时引入了椭圆、椭圆包络线等新曲线类型，接触线更短，内部泄漏降低约90%[4]，工作性能得到了进一步提升。

传统的型线设计方法是从二维曲线出发，先设计阴阳转子中的一个型线，再利用啮合原理生成一对端面曲线和空间曲面[4-6]；后来，出现了通过多变量全局优化改进某种型线既而生成新型线的方法[7]；近些年，以满足技术指标的啮合线为前提，通过调整影响工作性能的参数[8]或调整三次样条曲线控制点[9]来逆向解析生成新型线的方法被广泛采用。

但是，这类利用高次样条曲线生成型线的方法，不仅和先进齿形有很大差距，而且仍需要包络线上的离散点组才可以加工[10]。与此同时，这类型线对生产转子的刀具、工装和机床等要求也会相应提高，理论上最佳性能的转子未必能够大批量生产。因此，仍需回归到经典的转子型线中，用定量的数学方法进行计算，寻找出通用性强且性能优异的啮合对，为下一步设计工作奠定基础。

属性拓扑是图论与形式概念分析的结合[11]，分别用对象和属性代表形式概念中的外延和内涵，并给属性关系赋权值，直观的展现形式背景中属性间的各类拓扑关系[12]。目前，属性拓扑已应用在数据分析[13]和医疗诊断[14]等方面。本文首次将属性拓扑理论引入转子型线分析过程，对历经时间检验的转子型线啮合对进行形式概念计算，利用该数学语言精确地分析不同的曲线类型与螺杆压缩机性能的关系，为生成新型线提供思路。

2 螺杆转子型线的属性拓扑生成

2.1 螺杆压缩机转子型线

螺杆压缩机的气缸通常呈“∞”形，在缸内平行配置按一定传动比反向旋转的一对相互啮合的螺旋形转子[1]。凸齿的是阳转子，凹齿的是阴转子。从单个封闭腔体的工作特性来看，螺杆压缩机可以视为多缸活塞式压缩机；从垂直于轴线的横截面来看，螺杆压缩机的阴转子由少齿数的斜齿轮发展而来、阳转子由多头数的蜗杆发展而来。鉴于形式概念计算的二值背景[15]，从端面型线的角度对螺杆转子型线进行分析。

由于第一代型线的转子并未被广泛应用于工程实际，所以本文仅研究第二、三代转子型线的曲线类型。图1～4和图5～8分别是4种第二代和4种第三代具有代表性的转子型线，表1～8是对应的转子型线组成齿曲线。

图1 原始不对称型线

表1 原始不对称型线组成齿曲线

2.2 转子型线的属性拓扑

属性拓扑来源于形式概念分析，形式概念分析是应用数学的一个分支，而形式背景是形式概念分析的基本表示方法，根据计算需要引入下列定义与公式[11-12]。

图2 单边不对称-销齿圆弧型线

表2 单边不对称-销齿圆弧型线组成齿曲线

图3 Atlas-X型线

表3 Atlas-X型线组成齿曲线

图4 SRM-A型线

表4 SRM-A型线组成齿曲线

图5 GHH型线

表5 GHH型线组成齿曲线

图6 复盛型线

表6 复盛型线组成齿曲线

图7 SRM-D型线

表7 SRM-D型线组成齿曲线

图8 日立型线

表8 日立型线组成齿曲线

定义1 形式背景用三元组K=（G，M，I）表示，其中G表示所有对象的集合，M表示所有属性的集合，I⊆G×M表示对象与属性之间的关系，G×M表示集合G和集合M的笛卡尔积。若A⊆G，B⊆M，令

f（A）={m∈M|∀g∈A，（g，m）∈I}

g（B）={g∈G∀m∈B，（g，m）∈I}

如果A，B满足f（A）=B，g（B）=A，则称二元组（A，B）是一个形式概念，A是形式概念（A，B）的外延，B是形式概念（A，B）的内涵。

定义2 对于一个形式背景K=（G，M，I），M={m1，m2，…，mn}，属性拓扑的邻接矩阵表示法定义为T1=（V，E），V=M为属性拓扑顶点集合，E为该属性拓扑的邻接矩阵，矩阵中每个元素代表从属性mi到属性mj边上的权值。

定义3 属性拓扑中的关联矩阵表示法定义为T2=（V，E′），这种表示法只描述属性之间的关系。其中E′为关联矩阵

因为螺杆压缩机需要两转子啮合运转，所以不单纯分析曲线类型，将各啮合对作为一个属性进行分析。螺杆转子型线啮合对的形式背景如表9所示，表9中各符号含义见表10。

表9 螺杆转子型线的形式背景

表10 符号表

形式背景中通常存在冗余信息，为进行简洁地表达及运算，需要对形式背景进行预处理[11]。

最早采用包络线的是SRM-A齿形，该齿形接触线更短、密封效果更好，Atlas-X是从SRM齿形发展而来的，与作为国标的单边不对称销齿-圆弧齿形区别不大，且没有保护角不利于储存运输，直线段较长泄漏三角形较大[5]，故第二代型线中约去Atlas-X型线。SRM-D通过计算机优化设计得到，是一种可应用于各种场合的非特殊齿形[16]，日立型线是对SRM-D和GHH优点的综合，故第三代型线中约去日立型线。啮合属性a、b和c的对象集相同，计算时合并为一个。经预处理后的形式背景见表11。

由式（1）和式（2）可得对应的邻接矩阵E（vi，vj）和关联矩阵E′（vi，vj）。然后按照关联矩阵画出各属性间的关系。

转子型线的属性集合作为拓扑的顶点集合，按照关联矩阵画出属性拓扑图（图9），并给各边赋予权值。

由文献[12]中关于不同属性的定义可知，顶层属性集（superordinate attributes，SPAs）为{c，e}，伴生属性集（subordinate attributes，SBAs）为{d，g，h，f}，其中，{h}为多重伴生属性。为进一步可视化计算，先将属性拓扑进行有序化处理[11]，SPAsT={c，e}，（SBAsT）^={g，d，f，h}。全局属性和空对象定义为起点属性和起点对象，空属性和全局对象定义为终点属性和终点对象。M（SPAs,SBAs）={Ψ，SPAsT，（SBAsT）^，E}={Ψ，c，e，g，d，f，h，E}，如图10。

表11 经预处理后的转子型线形式背景

3 转子型线属性的异同分析

3.1 转子型线的共性分析

通过属性拓扑图可以看出各属性之间的不同关系及关联强度，但是在工程实际中，通常希望找出性能优异且制造方便的型线类型，这类型线具有普遍适用性。属性偏序图可以将各类属性在可视化的基础上达到“物以类聚”的目的。通过文献[11]的算法，先将螺杆转子型线的属性拓扑图转化为属性偏序图，具体过程见表12。

由最终的属性偏序概念图可以得出，“摆线-点”啮合对的应用最为广泛，说明其具有性能较好、应用范围广且加工难度低等特点；“圆弧和圆弧包络线”啮合对得益于其制造方便，应用的工作场合仅次于“摆线-点”啮合对；“椭圆-椭圆包络线”和“椭圆包络线-椭圆”是第三代型线中新发展的类型，在特殊场合、大批量生产的改进型号中或不将成本作为首要考虑因素的设备上才有所应用。

图9 转子型线的属性拓扑

图10 有序化处理后的转子型线属性拓扑

3.2 转子型线的差异分析

在某些情况下，需要研究的不是通用性而是特性。将已生成的转子型线属性拓扑转化为差异属性拓扑[19]分析各啮合对之间的具体区别。

定义4 差异属性拓扑的邻接矩阵表示法定义为T3=（V，EDM），V=M为属性拓扑顶点集合，EDM为该属性拓扑的差异邻接矩阵，#EDM（mi，mj）定义为差异属性拓扑中属性mi指向属性mj的边加权的元素数，num（mi，mj）={#EDM（mi，mj）+#EDM（mj，mi）}。

求出转子型线的形式背景对应表13的差异邻接矩阵，然后通过该矩阵画出相应的差异属性拓扑，见图11。

差异属性拓扑能反映属性间的互斥关系[17]，而num（mi，mj）（表14）可以定量反映出属性之间的差异程度。各属性之间的差异程度计算之后列于上三角。

从表14可以得出，属性c比属性d、g的应用广，属性e比属性f、h的应用广，属性f比属性h的应用广；属性c与属性f的差异是任两属性对之间差异最大的，说明第二代型线中常用的“摆线-点”啮合对在第三代型线中的使用程度越来越低，原因可能是包括：机床精度的提升导致成本下降，用户不再将成本作为交易需考虑的首要因素，以及圆弧类型线对的综合表现明显占优；属性g到属性c、属性h到属性e、f和属性f到e的差异程度为0，导致num的值较低，说明第三代型线采用的生成方法和第二代型线差别不大，只是根据设计压力比、工作条件的不同而导致最终型线样式的不同。

表12 转子型线属性拓扑图转化为属性偏序图步骤

4 转子型线属性的因果分析，见表15

由于本文并非只分析某一代中的某一类典型型线，所以还需要分析不同性能、不同应用场合的转子型线之间是否存在因果联系。在已生成的转子型线属性拓扑的基础上，通过文献[18]的方法进行因果关系推断。

图11 转子型线的差异属性拓扑

表13 转子型线的差异邻接矩阵

定义5 在形式背景K=（G，M，I）中，若属性mj是属性mi的必要条件，即：g（mi）⊆g（mj），则称属性mj是属性mi的部分因，属性mi是属性mj的果，记 作：mj→mi。若 存 在m1→mi，m2→mi，其 中i≠1，2，则称属性m1，m2共同为属性mi的部分因，属性mi为m1，m2的果，记作：（m1，m2）→mi。

为计算简便，将属性拓扑中边的权值删去，各属性与其对象集作为一个顶点，简化后的属性拓扑见图12，选择属性g作为初始属性进行因果推断，生成因果关系之后删除的对象用空格代替以便观察。

由最终结果可以得出，属性e虽然是顶层属性，但却是属性c、d的果，说明“圆弧-圆弧包络线”啮合对一开始并未出现，随着计算机优化技术和加工技术的发展而兴起；属性c同时是属性g、e和d的部分因，再次论证了“摆线-点”啮合对的通用性很强；属性g和属性h不是任何属性的部分因，说明“椭圆-椭圆包络线”和“椭圆包络线-椭圆”啮合对是通过上一代啮合对优化得到，截至目前应用范围并不广泛。属性f、e、d既是因又是果，说明设计新一代型线除了优化原啮合对之外，还将啮合对作为一个元素，在两转子啮合路径上设计不同的排列组合方案，最后赋予不同的长度，而且每一个元素并非只使用一次。

表14 num（mi，mj）的值

表15 转子型线属性的因果推断

5 结论

转子型线的好坏对螺杆压缩机性能的影响非常大，在用户要求不断提高和市场竞争激烈的前提下，以经典转子型线为基础设计新型线的办法具有很大优势，这就需要先从经典型线中找出优异的啮合对。首先，提取8种型线中的啮合对，将其转化为形式概念中的二值背景，然后生成属性拓扑，再将其转化为属性偏序和差异属性拓扑。分析出啮合对的相同点：“摆线-点”啮合对的通用性最强；“圆弧”类型的啮合对随着加工技术的提高和优化技术的发展而慢慢兴起，至今在第三代中仍大量使用，说明该类啮合对具有很高的工程价值。但随着各企业的加工技术稳步提高，以“摆线-点”为代表的易加工但性能欠缺的啮合对逐渐不受青睐，所以第三代型线已很少使用该啮合对。

由差异度num值和因果关系可以分析出“椭圆-椭圆包络线”和“椭圆包络线-椭圆”啮合对主要由“摆线-点”、“圆弧-圆弧包络线”和“圆弧包络线-圆弧”啮合对发展而来，由于圆弧和椭圆对应的数学方程次幂相差不大，进一步得出如下结论：第三代型线以上一代型线为基础进行优化，然后将优异的啮合对作为一个元素，放入啮入到啮出的路径上，设置不同的排列组合，需要注意的是每一种啮合对并非只使用一次，最后赋予每段曲线不同的长度，从而达到提高性能、满足客户要求的目的。