李瑞瑞 孙铭娟
(信息工程大学基础部, 河南 郑州 450001)
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
以上性质告诉我们,幂级数的和函数在收敛区间内,可以逐项积分和逐项求导,并且逐项积分与逐项求导不改变幂级数的收敛半径。在利用该性质求和函数时,我们往往关注性质的前半部分。借助分析性质求和函数常见步骤如下图所示:
常规解法:先求收敛域。
再求和函数:
由和函数在收敛区间内逐项可导的性质,得
常规解法:先求收敛域。
当x=0时,级数显然收敛。
再求和函数:
再利用和函数的逐项可积性质
简化解法:
由和函数在收敛域内逐项可积的性质,得:
通过逐项求导或逐项积分求幂级数的和函数,是求幂级数和函数的一种常用方法,本文利用和函数分析性质中收敛半径不变的特点,由已知到未知,简化求解过程。另一方面,常规解法是“由果索因”的过程,是用分析法处理问题,而上述方法则是“由因导果”,是综合法,两者是可以相互转化的。但是教辅中经常是两种解法灵活运用,对初次接触这类问题的学生来说容易产生困惑,本文通过“由果索因”和“由因导果”区分两种方法,以期使学生的解题思路更加清晰。