探求解析几何中动点横（纵）坐标取值范围（最值）的策略

平面解析几何中动点横（纵）坐标取值范围（最值）问题是高考中的热点，是教师教学中的重点，是同学学习中的难点.由于这类问题，没有固定的解题模型，没有规律可循，解法灵活，思维性强.因此，大多数同学想不到、找不到解题的切入点与突破口，心生畏惧，一筹莫展.对此问题，笔者试想，没有定法，应该有法，应该有策略.有几种？具体是什么方法？是什么策略？笔者结合自己多年积累的教学资料（教师错题集）和教学经验，反复思考，反复探究，归纳总结，给出如下六种策略，希望对同学们的学习有所启示和帮助，希望对同仁的教学有参考价值.

1 走数形结合之路

虽然解析几何是用代数方法研究几何学问题的学科，但是仍然离不开由数想形、由数画形、以形助数、由形化数，问题获解.例1 已知直线l：y=1与y轴交于点M，Q为直线l上异于点M的动点，记点Q的横坐标为n，若曲线C：x22+y2=1上存在点N，使得∠MQN=45°，则n的取值范围是（用区间表示）.

解析 令Q（n，1），n≠0，kQN=k，则lQN：y=k（x-n）+1，通过画图，如图1，观察图形可知，当Q在第一象限，k=1时，lQN与椭圆相切时，n取得最大值.由x2+2y2-2=0，y=（x-n）+1， 得3x2+4（1-n）x+2（n2-2n）=0，由Δ=0，得n=1±3，n=1-3不符合题意，舍去;

当Q在第二象限，k=-1时，lQN与椭圆相切时，n取得最小值.由x2+2y2-2=0，y=-（x-n）+1， 得3x2-4（1+n）x+2（n2+2n）=0，由Δ=0，得n=-1±3，n=-1+3不符合题意，舍去.所以n∈[-1-3，0）∪（0，1+3].

2 走三角函数之路

选取变量角为自变量，建立所求与变量角的函数关系式，把问题转化为三角函数的值域（最值）问题，问题获解.

例2 （2014年高考全国卷Ⅱ理科数学第16题）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是.[2]

分析 选取∠MNO为自变量，记∠MNO=α，应用正弦定理建立x0与α的关系式，问题转化为求角α的三角函数的值域问题.图2

解 因为点M（x0，1）在直线y=1上运动，记∠MNO=α，如图2，则∠MON+α=135°，所以0°<α<135°，又因为MO≥ON，所以在△MON中知，α≥45°，于是45°≤α<135°.

在△MON中，因为MO=x20+1，ON=1，所以由正弦定理，得x20+1sinα=1sin45°，即x20+1=2sinα，从而问题转化为求角α的三角函数2sinα的值域.

因为45°≤α<135°，所以1≤2sinα≤2，故而1≤x20+1≤2，解得-1≤x0≤1，从而x0的取值范围是[-1，1].

评注 此题有如下简解.过O作OP⊥MN，P为垂足，图3如图3，则|OP|=|OM|sin45°≤1，所以|OM|≤1sin45°，从而|OM|2≤2，于是x20+1≤2，故-1≤x0≤1，故而x0的取值范围是[-1，1].3 走数量积定义之路

根据数量积定义，进行向量坐标运算，建立关于所求的不等式，问题获解.

例3 （2000年高考全国卷文科数学理科数学第14题）椭圆x29+y24=1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是.[3]

解 設P（x，y），不妨设F1（-5，0），F2（5，0）.

由∠F1PF2为钝角，知PF1·PF2<0，所以（-5-x，-y）·（5-x，-y）<0，即x2-5+y2<0，又y2=4-4x29，故x2-5+4-4x29<0，即59x2<1，解得-355

4 走代数函数之路

选取动直线的变量斜率k或变量横截距a或变量纵截距b或圆锥曲线中的参变量为自变量，建立所求与变量斜率k或变量横截距a或变量纵截距b或圆锥曲线中的参变量的函数关系式，把问题转化为代数函数的值域（最值）问题，问题获解.

例4 （2018年高考浙江卷文科数学理科数学第17题）已知点P（0，1），椭圆x24+y2=m（m>1）上两点A，B满足AP=2PB，则当m=时，点B的横坐标的绝对值最大.[2]

解 方法1 由题意可设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）.

由y=kx+1，x24+y2=m， 得（1+4k2）x2+8kx+4-4m=0，

由根与系数的关系，得x1+x2=-8k1+4k2，①x1x2=4-4m1+4k2.②

因为P（0，1），所以由AP=2PB，得-x1=2x2.③

由①②③，得x2=8k1+4k2，x22=2m-21+4k2.

于是k2=m-136-4m，从而x22=14（9-m）（m-1），

所以，当m=5时，x22取最大值，即|x2|取最大值，即点B的横坐标的绝对值取最大值.

方法2 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x214+y21=m， ①x224+y22=m.②

因为P（0，1），所以由AP=2PB，得x1=-2x2，③y1=3-2y2.④

把③④代入①②，得x22+（3-2y2）2=m，⑤x22+4y22=4m.⑥

⑤-⑥，得y2=14m+34，代入②，得|x2|=2m-（m+34）2=12-（m-5）2+16.

故当m=5时，|x2|取最大值，即点B的横坐标的绝对值取最大值.

5 走判别式之路

依题意，选取一个参变量，建立所求与所选取的参变量的关系式，由此得关于以参变量为未知数的一元二次方程，根据一元二次方程有实根的充要条件是判别式不小于零，问题获解.

例5 已知抛物线y=x2上有一定点A（-1，1）和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标取值范围是.解 设P（a，b），Q（x，y），则AP=（a+1，b-1），PQ=（x-a，y-b），

由AP·PQ=0，得（a+1）（x-a）+（b-1）（y-b）=0，又P，Q在抛物线上，所以a2=b，x2=y，

故（a+1）（x-a）+（a2-1）（x2-a2）=0，

整理得（a+1）（x-a）[1+（a-1）（x+a）]=0，①

而P，Q，A三点不重合，所以a≠-1，x≠a，

所以①式可化为1+（a-1）（x+a）=0，

整理得a2+（x-1）a+1-x=0，

由题意可知，此关于a的一元二次方程有实数解，故判别式Δ≥0，从而（x-1）2-4（1-x）≥0，解得x≤-3或x≥1.

故点Q的横坐标取值范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）.

6 走圆锥曲线范围之路

建立所求与圆锥曲线上动点横（纵）坐标的关系式，再利用圆锥曲线范围，问题获解.

例6 （1992年高考理科数学第28题）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），证明-a2-b2a

解 证法1 设A，B的坐标分别为（x1，y1） ，（x2，y2），则线段AB的垂直平分线方程为

y-y1+y22=-x2-x1y2-y1x-x1+x22，令y=0，则x=x0=y22-y212（x2-x1）+x1+x22=y22-y21+x22-x212（x2-x1），①

又由y22=b2a2（a2-x22），y21=b2a2（a2-x21），二式相减，得y22-y21=b2a2（x21-x22），代入①式，即有

x0=（x21-x22）b2a2-12（x2-x1）=x1+x22·a2-b2a2，

因为-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2， 所以-a

又因为a2-b2a2>0，所以-a2-b2a

所以-a2-b2a

证法2 设A，B的坐标分别为（x1，y1） 和（x2，y2），因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2，又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即

（x1-x0）2+y21=（x2-x0）2+y22 .①

因为A，B在椭圆上，所以y21=b2-b2a2x21，y22=b2-b2a2x22，代入①式，整理得

2（x2-x1）x0=（x22-x21）a2-b2a2 .

因為x1≠x2，可得x0=x1+x22·a2-b2a2 .

又因为-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，且x1≠x2， 所以-2a

所以-a2-b2a

参考文献

[1] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书（选修）数学2-1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2] 杜志建.2014—2018新高考5年真题汇编（数学·理科）[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2018.

[2] 刘增利.2000年全国各省市高考真题汇编及解析（数学·理科）[M].西安：开明出版社，2000.

作者简介 武增明（1965—），男，云南易门县人，中学高级教师，大学本科学历，主要从事高中数学教学及其研究.