基于模型依赖平均驻留时间的H∞输出跟踪控制

刘 超，聂 宏，陈 丽

（1.辽宁石油化工大学 信息与控制工程学院，辽宁 抚顺 113001；2.辽宁石油化工大学 理学院，辽宁 抚顺 113001）

切换系统是由一组包含连续或离散时间动态子系统和一条决定各个子系统如何切换的切换信号所构成的。它在工程实际中具有非常广泛的应用，如飞行器控制、交通控制、机器人行走控制、网络控制系统及多智能体的协作与控制等[1‐3]。切换系统理论在改善系统的暂态性能和提高系统的控制精度方面表现出很大的优势。近年来切换系统涌现出了大量的研究成果，涉及稳定性分析、故障检测、H∞控制以及其他控制综合问题等[4‐6]。

跟踪控制是控制领域的重要问题之一，其目的是通过有效的控制使被控对象具有所期望的运动轨迹。由于跟踪控制拥有较强的实际应用背景，如在化工过程中对温度的实时跟踪、加工制造业中对机器人路径的跟踪等，目前跟踪控制问题已经得到比较深入的研究[7‐9]。文献[7]研究一类常时滞切换系统的模型跟踪控制问题，设计基于状态的切换信号，保证了系统具有鲁棒H∞跟踪性能。文献[8]针对具有不稳定子系统的时变时滞切换系统，得到了跟踪控制问题可解的充分条件。文献[9]讨论异步切换下时变时滞切换系统的输出跟踪控制问题，利用平均驻留时间方法，给出了跟踪控制器的设计方案。这些研究成果均是使用平均驻留时间的方法。文献[10]指出，使用模型依赖平均驻留时间法（Mode‐Dependent Average Dwell Time，MDADT）相较于平均驻留时间法可设计保守性较低，更具一般性的切换信号。通过使用MDADT 方法，文献[11]研究一类具有时变时滞的连续切换系统H∞镇定问题，设计出一类切换信号和状态反馈控制器，使闭环系统具有全局指数稳定性和L2性能。文献[12]通过设计有限时间状态反馈控制器，得到了线性切换系统有限时间有界且具有H∞性能的充分条件。文献[13]针对一类具有时变时滞的线性切换系统，设计动态输出反馈控制器，保证了系统指数稳定且具有加权H∞性能。到目前为止，利用模型依赖平均驻留时间方法对切换时滞系统的输出跟踪控制的研究还鲜有报道。

受文献[10-15]的启发，本文使用模型依赖平均驻留时间方法研究切换时滞系统的H∞输出跟踪控制问题。利用多Lyapunov 函数理论，以线性矩阵不等式形式给出切换时滞系统H∞输出跟踪问题可解的充分条件，同时还给出状态反馈和跟踪误差积分相结合的切换控制器的设计方案。最后，以仿真例子验证所获得结论的正确性和有效性。

1 问题描述

考虑如下线性时变时滞切换系统：

式中，x(t)t ∈Rn为系统的状态；u(t)t ∈Rm为控制输入；ω(t) ∈Rp为属于L2[0,∞)的扰动输入；y(t) ∈Rq为输出；ϕ(θ)为定义在[-h,0]上的连续可微的初值函数；σ(t)t:[0,∞),∞→M ={1,2,…,m}为关于时间t 的分段连续的常值函数，称作切换信号。对任意的i ∈M,Ai、Bi、Ei、Fi和C 是已知的具有适当维数的常值矩阵。d(t)为有界时变时滞，满足如下条件:

对应于切换信号σ(t)的切换序列为：

式中，x(t0)为初始状态；t0为初始时间；tk为切换时刻；N 为非负整数集。当t ∈[tk,tk+1)，第ik个子系统处于激活状态。

假设参考信号为yr(t)，则输出跟踪误差为：选取含有状态反馈和跟踪误差积分信息的控制器为：

式中，Kσ(t)、Lσ(t)为待确定的控制器增益。

结合式（1）、式（4）和式（5）可以得到如下增广系统：

本文旨在设计一个切换信号和包含跟踪误差积分信息的控制器（5），使系统（6）是指数稳定的且具有H∞输出跟踪性能，为此给出如下定义和引理。

定出义跟1踪[16性]能对，于为切此换给信出号如下σ(定t)义和和任引意理时。刻T、t,T ≥t ≥0,令Nσi(T,t)表示在时间区间[t,T]上的第i 子系统被激活的次数,i ∈M。Ti(T,t)表示第i 子系统在[t,T]上总的运行时间。如果存在N0i>0,τai>0，使不等式对任意T ≥t ≥0 成立，那么称切换信号σ(t)具有模型依赖的平均驻留时间τai，其中，N0i表示模型依赖的振动界。

2 主要结果

3 控制器设计

定理1 给出了输出跟踪控制问题可解的充分条件，但定理1 给出的结论不便于求解，下面将定理中的矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的形式。

定理2 对任意给定的常数γ>0，λi>0，μi≥1，如果存在矩阵Pˉi>0、Qˉi>0、Zˉi>0、Yi，∀i ∈M，使得如下不等式

使用式(27)，并在式(25)左右两侧同时乘以矩阵diag{Pi,Zi,I,I,I}，有：

由Schur 补引理，可以推出式（7）成立，证毕。

4 仿真实例

考虑具有两个子系统的连续切换系统，具有如下参数：

两种切换策略下的系统参数和计算结果如表1 所示。

表1 两种切换策略下的系统参数和计算结果

从表1 可以看出，本文定理2 中求得的H∞性能γ 小于文献[9]定理3 中求得的H∞性能γ。因此，相比于平均驻留时间策略，模型依赖的平均驻留时间有更好的H∞输出跟踪性能。选取初始状态x(t0)=[-2 1]T，切换信号如图1 所示。系统（6）的H∞输出跟踪性能如图2 所示。当ϖ(t) =yr(t) =0 时，开环、闭环系统状态轨迹如图3 所示。

图1 切换信号

图2 系统（6）的H∞输出跟踪性能（γ=0.54）

图3 当ϖ(t) = yr(t) = 0 时，开环、闭环系统状态轨迹

从图3 可以看出，u(t) =0 时的开环系统是不稳定的，但是通过使用本文定理2 所设计的状态反馈和积分误差相结合的控制器可以使闭环系统实现稳定。系统的跟踪误差曲线如图4 所示。

图4 系统的跟踪误差曲线

5 结 论

研究了具有模型依赖平均驻留时间的切换时滞系统的输出跟踪控制问题。使用模型依赖平均驻留时间方法和多Lyapunov 函数理论，设计状态反馈和跟踪误差积分信息相结合的控制器，得到了系统在模型依赖平均驻留时间切换信号下有效地跟踪参考信号的充分条件。相比于平均驻留时间策略，模型依赖的平均驻留时间有更好的H∞输出跟踪性能。