复合DC优化问题的稳定全对偶*

杨 婷，谢菲菲，方东辉

(吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首 416000)

(1)

的对偶问题进行了深入研究,得到了一系列有意义的结论.值得注意的是,这些结论均是在目标函数具有凸性或者某种连续性的假设下得到的,而这些假设极大地限制了无约束优化问题在某些领域的应用.为此,有学者[6-11]研究了DC规划,该规划是一类非凸非连续优化问题,其目标函数为2个凸函数的差.特别地,方东辉等[6]采用经典的凸化技巧,定义了无约束复合DC优化问题

(2)

笔者拟在函数不具有连续性的情况下,采用与文献[6]不同的方法定义问题(2)的对偶问题,然后引入2个新的约束规范条件,给出问题(2)与其对偶问题之间的全对偶和稳定全对偶成立的充分或必要条件.

1 预备知识

设X*和Y*分别是X和Y的共轭空间,分别赋予弱*拓扑ω*(Y*,Y)和ω*(X*,X).x*,x表示泛函x*∈X*在x∈X上的值,即x*,x=x*(x).设Z是X中的非空子集,记Z的闭包为clZ.若Z是X*的子集,则用clZ表示Z的弱*闭集.非空集合Z的对偶锥和示性函数分别定义为

Z⊕∶={x*∈X*:x*,x≥0,∀x∈Z},

f的有效定义域、上图和共轭函数分别定义为

domf∶={x∈X:f(x)<+∞},

epif∶={(x,r)∈X×R:f(x)≤r},

f*(x*)∶=sup{x*,x-f(x):x∈X} ∀x*∈X*.

显然,epif*是弱*闭凸集.设f的下半连续包为clf,则有epi(clf)=cl(epif).由文献[12]中的定理2.3.1可知,f*=(clf)*.由文献[12]中的定理2.3.4可知,若clf是真凸函数,则有f**=clf.f在x∈X处的次微分定义为

∂f(x)∶={x*∈X*:f(x)+x*,y-x≤f(y),∀y∈X}.

由文献[12]中的定理2.3.1(ⅱ)和定理2.4.2(ⅲ)可知,Young-Fenchel不等式和Young等式成立,即

f(x)+f*(x*)≥x,x*∀(x,x*)∈X×X*,

(3)

x*∈∂f(x)⟺f(x)+f*(x*)=x*,x.

(4)

g≤h⟹g*≥h*⟺epig*⊆epih*,

epig*+epih*⊆epi (g+h)*.

特别地,对于∀p∈X*,a∈R,如下等式成立：

(h+p+a)*(x*)=h*(x*-p)-a∀x*∈X*,

epi (h+p+a)*=epih*+(p,-a).

2 全对偶和稳定全对偶

则g1∘h,g2∘h为真凸函数.对于∀μ∈Y*,定义

于是,带线性扰动的复合DC优化问题

(5)

的对偶问题为

(6)

特别地,当p=0时,问题(5)就是问题(2),问题(6)则转化为

(7)

令v(i)(i为问题对应的序号)表示问题的最优值,S(i)(i为问题对应的序号)表示问题的最优解集.由次微分的定义可知

x0∈S(5)⟺p∈∂(f1-f2+g1∘h-g2∘h)(x0).

(8)

设x∈X,记

∂H(x)∶=∂f2(x)×∂g2(h(x)),

Ω0∶=dom(∂H)={x∈X:∂H(x)≠Ø}.

(9)

定义1[7](ⅰ)若v(7)≤v(2),则称问题(2)与(7)之间的弱对偶成立.

(ⅱ)若v(2)=v(7)且问题(7)有最优解,则称问题(2)与(7)之间的强对偶成立.

(ⅲ)若对于∀p∈X*,问题(5)与(6)之间的弱对偶(或强对偶)成立,则称问题(2)与(7)之间的稳定弱对偶(或稳定强对偶)成立.

定义2[7]设X0是X的子集.

(ⅰ)若S(2)∩X0≠Ø,问题(2)与(7)之间的强对偶成立,则称问题(2)与(7)之间的X0-全对偶成立.

(ⅱ)对于∀p∈X*,若S(5)∩X0≠Ø,问题(5)与(6)之间的X0-全对偶成立,则称问题(2)与(7)之间的稳定X0-全对偶成立.

(ⅲ)当X0=X时,问题(2)与(7)之间的X0-全对偶(或稳定X0-全对偶)成立,则称问题(2)与(7)之间的全对偶(或稳定全对偶)成立.

为了方便起见,记

(10)

显然,

Λ1(x)⊆Λ2(x) ∀x∈X.

(11)

为了建立问题(2)与(7)之间的全对偶与稳定全对偶,引进以下约束规范条件:

定义3[7]令x0∈X.

(ⅰ)若

∂(f1-f2+g1∘h-g2∘h)(x0)⊆Λ1(x0),

(12)

则称系统{f1,f2,g1,g2;h}在x0点满足MRF(Moreau-Rockafellar Formula)条件.

(ⅱ)若

∂(f1-f2+g1∘h-g2∘h)(x0)⊆Λ2(x0),

则称系统{f1,f2,g1,g2;h}在x0点满足弱MRF条件.

(ⅲ)若系统{f1,f2,g1,g2;h}在X中的任意点均满足MRF(或弱MRF)条件,则称系统 {f1,f2,g1,g2;h}满足MRF(或弱MRF)条件.

注1(ⅰ)由(11)式可知,若系统{f1,f2,g1,g2;h}满足MRF条件,则该系统满足弱MRF条件.

(ⅱ)当f2=g2=0时,弱MRF条件和MRF条件一致且均转化为文献[5]中的注3.1,即

下面给出问题(2)与(7)之间的稳定弱对偶成立的一个充分条件:

定理1设p∈X*,若S(5)∩Ω0≠Ø,则问题(2)与(7)之间的稳定弱对偶成立.

证明设x0∈S(5)∩Ω0,则

v(5)=f1(x0)-f2(x0)+g1(h(x0))-g2(h(x0))-p,x0.

定义问题

(13)

的最优解为v(13).由于x0∈Ω0,因此f2和g2分别在x0和h(x0)点下半连续(参看文献[12]中的定理2.4.1),即

f2(x0)=(clf2)(x0),g2(h(x0))=(clg2)(h(x0)).

于是对于∀x∈X,

v(13)≤f1(x0)-(clf2)(x0)+g1(h(x0))-(clg2)(h(x0))-p,x0=

f1(x0)-f2(x0)+g1(h(x0))-g2(h(x0))-p,x0=v(5).

又由文献[6]中的注3.2可知v(6)≤v(13),因此v(6)≤v(5),即问题(2)与(7)之间的稳定弱对偶成立.证毕.

推论1设p∈X*,x0∈S(5).若p∈Λ1(x0),则v(6)≥v(5),且存在y*∈Y*,使得对于∀(u*,v*)∈H*,Fp(u*,v*,y*)≥v(5).

(14)

(15)

另一方面,由Young-Fenchel不等式(3)可得

(16)

(17)

综合(14)～(17)式及x0∈S(5)可得

又由v(6)的定义可知

于是v(6)≥v(5).证毕.

下面给出问题(2)与(7)之间的稳定Ω0-全对偶成立的一个充分条件：

定理2假设系统{f1,f2,g1,g2;h}满足MRF条件,则问题(2)与(7)之间的稳定Ω0-全对偶成立.

证明任取p∈X*使得S(5)∩Ω0≠Ø.由定理1可知v(6)≤v(5).要证明问题(2)与(7)之间的稳定Ω0-全对偶成立,只需证明v(6)≥v(5)且问题(6)有最优解即可.任取x0∈S(5)∩Ω0,则p∈∂(f1-f2+g1∘h-g2∘h)(x0).因系统{f1,f2,g1,g2;h}满足MRF条件,故p∈Λ1(x0).从而由推论1可知v(6)≥v(5),且存在y*∈Y*,对于∀(u*,v*)∈H*,Fp(u*,v*,y*)≥v(5).因此,问题(2)与(7)之间的稳定Ω0-全对偶成立.证毕.

接下来给出稳定Ω0-全对偶成立的一个必要条件：

定理3假设问题(2)与(7)之间的稳定Ω0-全对偶成立,则系统{f1,f2,g1,g2;h}满足弱MRF条件.

证明假设问题(2)与(7)之间的稳定Ω0-全对偶成立.任取p∈X*满足x0∈S(5)∩Ω0,即x0∈Ω0,p∈∂(f1-f2+g1∘h-g2∘h)(x0).由(9)式可知∂H(x0)≠Ø.由次微分的定义可知

v(5)=f1(x0)-f2(x0)+g1(h(x0))-g2(h(x0))-p,x0.

(18)

令(u*,v*)∈∂H(x0),则(18)式成立.于是,

即

g2(h(x0))-v*,h(x0)).

(19)

由Young-Fenchel不等式(3)可得

(20)

(21)

因为(u*,v*)∈∂H(x0),所以由Young等式(4)可得

(22)

将(20)～(22)式代入(19)式,得到

和

从而p∈Λ2(x0).证毕.

接下来给出问题(2)与(7)之间的全对偶成立的一个充分条件：

定理4假设问题(2)与(7)之间的弱对偶成立,若系统{f1,f2,g1,g2;h}满足MRF条件,则问题(2)与(7)之间的全对偶成立.

证明假设系统{f1,f2,g1,g2;h}满足MRF条件,则(12)式成立.由于问题(2)与(7)之间的弱对偶成立,因此v(7)≤v(2).要证明问题(2)与(7)之间的全对偶成立,只需证明v(7)≥v(2)且问题(7)有最优解即可.为此,任取x0∈S(2),由(8)式等价得到0∈∂(f1-f2+g1∘h-g2∘h)(x0).结合(12)式可知0∈Λ1(x0).于是由推论1可知v(7)≥v(2),且存在y*∈Y*,对于∀(u*,v*)∈H*,F(u*,v*,y*)≥v(2),从而问题(2)与(7)之间的全对偶成立.证毕.

由定理4可得如下结论:

定理5假设问题(2)与(7)之间的稳定弱对偶成立,若系统{f1,f2,g1,g2;h}满足MRF条件,则问题(2)与(7)之间的稳定全对偶成立.