初中几何动点问题解题策略

徐晓丹

【摘要】几何动点问题是初中数学学习的难点，这一类问题通常需要学生画出运动过程中某一时刻或某段时间上的图形，比较抽象，是学生难以把握的问题之一.这类问题的解决策略是将动态问题转化为静态问题，寻找问题中的不变量，把抽象问题具体化，教师需引导学生探索变化后的图形特征.解决几何动点问题的关键在于确定动点运动过程中的图形，用运动的观点看问题，定格到静止状态解决问题，动静结合.

【关键词】几何动点;数学思想方法;界点;转化

“几何动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，通过点带动图形的运动，从而探究图形的有关性质和图形之间的数量关系、位置关系等.这类问题把观察、操作、探究、计算融合在一起，蕴含着函数、方程、分类、转化、数形结合等数学思想方法.中考中对这类问题的考查，可以很好地锻炼学生的探究能力，增强学生的创新意识.

一、几何动点问题常见的考查方式及解决方法

1.求动点运动过程中随时间变化的线段长.解决这类问题常利用勾股定理、面积桥、三角函数或相似.

2.当动点落在某条边上或两点重合时，求动点运动时间.此时可以利用新构成的特殊几何图形，如：直角三角形、等腰三角形、平行四边形等，找到特殊几何图形各边之间的联系，从而求解.

3.求多边形面积或重叠部分面积或周长的函数关系式.解决的关键在于找到界点正确分类，直接利用图形面积公式或图形间作差、作和表示函数关系式.

4.求动点在特殊位置上的运动时间，如某个动点落在三角形的角平分线上，三角形一边的垂直平分线上，三角形的一条中线上，等等.或者是线段把某多边形面积分成特定比时的运动时间.这类问题的解决通常要利用三角函数或构造相似.学生解决这类问题时觉得很困难，这就要用到转化的思想方法，把特殊位置时的线段关系找到，转化成线段的比来列方程求解.

5.求点的运动轨迹长度或线段运动过程中扫过的图形面积.解决的方法是找到运动开始和终止时的图形，再结合中间的运动趋势来判断轨迹或扫过图形的形状，最后计算.常见的轨迹有以下几种：（1）动点到定直线距离保持不变，轨迹是一条直线;（2）动点到定点的距离保持不变，轨迹是圆弧;（3）动点到定点铅直距离与水平距离的比保持不变，轨迹是一条直线.

下面以2020年长春市中考数学试题第23题为例来说明如何解决几何动点轨迹问题，此题分值为10分.

例 （2020年长春市中考数学试题第23题）如图1，在△ABC中，∠ABC =90°，AB=4，BC=3.点P从点A出发，沿折线AB-BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动.点P到达点C时，点P，D同时停止运动.当点P不与点A，C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ，交AC于点E，连接DP，DQ.设点P运动的时间为t秒.

（1）当点P与点B重合时，求t的值.

（2）用含t的代数式表示线段CE的长.

（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围.

（4）如图2，取PD的中点M，连接QM，当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值.

试题整体分析 这道几何动点问题的图形背景是边长为3，4，5的直角三角形，属于双动点问题，点P的运动路径是折线段AB-BC，点D的运动路径是AC上的部分线段.由“两点同时出发，当点P到达点C时，点P，D同时停止运动”可知运动终止时间为75秒.由“当点P不与点A，C重合时”可知运动时间不能取0和75.试题前面两问比较基础，但第（2）问由于点P改变路径产生了分类讨论的需要.试题最后两问引入了图形变换——轴对称，增加了思维含量.第（3）问要将“锐角三角形”转化成“直角三角形”寻找界点.第（4）问“当直线QM与△ABC的一条直角边平行时”，由平行可构造相似，利用相似三角形的对应边成比例转化成线段的比求解.

下面是本题的正确解答过程：

解 （1）当点P与点B重合时，AP=AB，5t=4，解得t=45.

（分析：两点重合问题，可以转化成两条线段相等的问题解决.）

（2）当0

当45

（分析：用含变量t的式子表示线段长，需要用到分类的数学思想.当动点的运动路径发生变化或者点与点、点与线之间的相对位置发生变化时，都需要分类讨论.表示线段长时通常用三角函数.）

（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，PE=DE，

当P在线段AB上时，3t=5-6t，∴t=59.（如图4）

当P在线段BC上时，285-4t=5t-215，∴t=4945.（如图5）

∵△PDQ是锐角三角形，

∴t的取值范围为0

（分析：考查锐角三角形、钝角三角形的问题都可以转化为直角三角形的问题，这是因为直角是锐角和鈍角的临界状态.又根据轴对称可知△PDQ是等腰三角形，所以能判断出△PDQ是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，转化成两条线段相等的问题.）

（3）t的值为518或65.

思路 当QM与AB平行时（如图6），AD=4AE，∴5-2t=4×4t，

∴t=518;

当QM与BC平行时（如图7），CD=4CE，∴2t=4×35（7-5t），∴t=65.

（分析：由平行的条件容易得到全等和相似的结论，从而得到线段的比例关系，列方程时通常要选择运动路径上的线段关系，这里选择的都是线段AC上的线段的比.）

二、解决几何动点问题时，学生存在的问题

1.不重视画图.

2.找不到界点，不能正确分类.

3.忽视对界点是否包含的判断.

4.求解析式过程中计算不准确.

5.不知道转化或转化不彻底.

6.易列出恒等式.

三、针对学生存在的问题，教师在平时教学中可采用以下策略

（一）教会学生画图.明确背景图形和运动图形，在操作时建议：

①背景图形用中性笔画，运动图形用铅笔画，便于修正;

②不同时刻的图形有干扰时，一种情况画一个图形;

③分清主动点和从动点，并判断它们运动的趋势，必要时要知道从动点轨迹;

④按照图形的位置关系和数量关系准确画图，落在某些特殊位置时，可逆序画图.

（二）准确找到界点分类.

①两点之间的相对位置有变化时，两点重合为界点.

②动点运动路径有转折时，路径的交点为界点.

③点穿过图形边界时，落在边界上的点为界点.

④线段穿过图形边界时，线段重叠时为界点.

（三）重视对界点是否包含的判断，每次遇到界点，都要单独拿出来判断并确认.

①重新审题，看题干中是否有条件限制，如点P不与A，C重合或S>0等条件.

②界点处图形是否变化.

③明确关键词含义，如内部（不包含边界）.

（五）转化的应用.

①所有面积的比都可以转化成线段的比.

②特殊位置上的点产生相等线段.

③构造相似得成比例线段，一般优先選择运动路径上的线段.

（六）避免列恒等式.

列方程时需要把握一个原则：同一个等量关系不能既用来表示线段长，又用来列方程.

四、结束语

总之，教师在引导学生解决动点问题时，要引导学生主动观察、分析、概括、推理，准确画图，从中找出隐含的不变量和变量关系，把握运动中的某些界点位置和特殊位置，进而发现问题的本质，并将其转化为熟悉的数学问题，使问题有效解决.

【参考文献】

[1] 蒋亨强，初中数学动点路径长的问题解决策略[J].福建基础教育研究，2017（05）：50-51.

[2] 吴晓峰 ，对初中数学教学中动点问题的思考，数学学习与研究，2017（08）：141.