严格对角占优M-矩阵的逆矩阵的无穷大范数的上界估计

赵仁庆, 甘小艇, 张 坤

(楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000)

1 引言

M-矩阵在矩阵论、计算数学、生物学、物理学、经济数学等诸多领域有着重要的应用价值，由于M-矩阵为这些问题的研究和解决提供了数学基础而被许多学者关注和研究[1-12]，在这些研究中严格对角占优M-矩阵A的逆矩阵的无穷大范数//A−1//∞上界估计是其热点之一.本文继续这些问题的研究，给出了//A−1//∞上界的新估计式，这些估计式推广了前人的研究结果.

2 预备知识

为叙述方便，先给出本文需要用到的一些记号.

用Rm×n表示m×n阶实矩阵的集合，记N={1,2,··· ,n}，设A= (aij)∈Rn×n且aii ̸=0，

定义1[1]设A= (aij)∈Rn×n，如果对任意的i,j ∈N, i ̸=j，都有aij ≤0，则称A为Z矩阵，记为A ∈Zn×n.

定义2[1]设A= (aij)∈Rn×n，如果对任意的i,j ∈N, i ̸=j，都有aij ≥0，则称A为非负矩阵，记为A ≥0.

定义3[1]设A为Z矩阵，A可逆且A−1≥0，则称A为非奇异M-矩阵.

定义4[1]设A=(aij)∈Rn×n，如果满足下列条件：

1)|aii|≥∑j̸=i|aij|, i ∈N；

2)J(A)̸=∅；

3) 对于任意i ∈N, i/∈J(A)，存在非零元素序列aii1ai1i2···airk，其中i ̸=i1,i1̸=i2,··· ,ir ̸=k, k ∈J(A)，则称A为弱链对角占优矩阵.

定义5[2]设A=(aij)∈Rn×n，若J(A)=N，则称A为行严格对角占优矩阵.

注1 由定义4 和定义5 可知，如果A为行严格对角占优矩阵，则A为弱链对角占优矩阵.

引理1[2]设A= (aij)∈Rn×n是弱链对角占优M-矩阵，则A(k,n)(k= 1,··· ,n −1)也是弱链对角占优的M-矩阵.这里A(n1,n2)表示由A= (aij)∈Rn×n的n1至n2行和n1至n2列的元素组成的子矩阵.

引理2[2]A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优M-矩阵，B=A(2,n), A−1=(αij)ni,j=1,B−1=(βij)ni,j=2，对任意i,j ∈N，有

其中

引理3[3]设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵，则

3 //A−1//∞的上界估计

本节讨论严格对角占优M-矩阵A的//A−1//∞的上界估计，为此先给出如下引理.

引理4[5]设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵，则A−1=(αij)满足

引理5设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵，则A−1=(αij)满足

当i=1 时，有

令

由引理4 得

即

得

令上式中ε →0，得

引理6设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵，则A−1=(αij)满足

证明 由引理5 得

故

证明 设

则

由引理2、(1)式和(5)式，可得

当2≤i ≤n时，由引理2 和(4)式，得

故当2≤i ≤n，由引理2、(4)式和(7)式，可知

若r1≤l1r1+MB，则

若r1>l1r1+MB，则

综上有

对定理1 利用迭代法可得如下结论.

定理2设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵，则

知

故定理2 改进了文献[4]的定理3.2，进而优于文献[2]中定理3.3 和文献[3]中定理3.4.

推论1设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵，则A的最小特征值满足

4 数值算例

例1 设显然A是严格对角占优M-矩阵，用Matlab 计算得//A−1//∞=10.应用文献[2–4]中的估计式分别计算得

应用本文定理2 得//A−1//∞≤83.2786.

5 结论

文中给出了严格对角占优M矩阵的逆矩阵的无穷大范数上界的新估计式，改进了文献[2–4]中的相关结果.数值算例也表明新估计式比文献[2–4]中的结果更精确.