浅析“圆”之数学美

张媛

【摘要】在中职数学教学中，如何依据教材对学生进行数学美学教育，使学生在学习过程中发现数学的美，欣赏数学的美，探索数学的美，是当前教师正在研究的一个课题.本文结合教学实践，对“圆”中所蕴含的数学美学展开探讨.

【关键词】圆;数学美

依据新课标，落实立德树人根本任务，凝练学科核心素养，夯实中职学生文化基础，彰显职业教育特色，要求中等职业数学教师在教学过程中改进教学方法，注重实践应用，提高学标、用标、贯标意识，引导学生发现数学的美，爱上大美数学.

早在古希腊时，毕达哥拉斯学派就发现和谐之美，称一切立体图形最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.圆真的最美吗？按照波利亚的合情推理，在圆所在的平面，通过圆心竖一根轴，按此轴旋转至任何角度，都与原图重合，就像没有转过一样，则含对称轴的任何平面都是镜像对称面.可见，圆是平面中完美的对称图形.

那么圆中都蕴含了哪些数学美呢？现从以下几个方面进行分析.

一、简洁美

圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.定点称为圆心，定长称为半径.

短短的一句话，却包含着极其丰富的内涵，充分体现了数学概念的简洁美：①圆离不开两个基本元素：定点（圆心），定长（半径），这为作图奠定了基础;②圆有别于以往学习的直线型图形，它统一于另一类图形——曲线图形，是进一步学习的基础.

二、数学美

通过观察圆心在原点的圆的标准方程x2+y2=r2，我们发现其公式的对称美、和谐美，没有其他多余的量，是多么简单、整洁.它的周长和半径之间有着异常简洁的关系：C=2πr，一个传奇的数π把圆的周长C和半径r紧紧相连，反映了两者之间有着异常和谐的关系，这是数学家的智慧与大自然灵气撞击而再生的哲理美，难怪人们用“圆满”比喻十全十美.

三、外在美

圆是大家非常熟悉的一个图形，它完美绝伦，深受人们的喜爱.钱钟书曾说，“窃尝谓形之浑简完备，无过于圆”.其浑圆，完美，自然天成;其圆熟，速成，出神入化;其圆活，流转，生机灵动，可见其完美.

围绕新课标的实施，教师可以在教学过程中合理使用Geogebra软件，画出圆心在原点、半径为r的圆的图像（如下图），通过观察图像可发现圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转任意角度都能与原来图形重合.圆的外在美使人感到舒适、圆润与和谐.

四、数学思想美

1.运动、变化思想

圆中体现运动、变化思想的素材十分丰富，如上图，通过创建滑动条r这個变量，通过拖动使r的大小进行变动，从而圆的大小也在变动，这可以增强学生的视感，也可以加深学生对同心圆的理解，激发其学习兴趣.

同时，由圆的定义看圆的形成过程，运动、变化都十分自然;从x2+y2=r2这个方程看，在-r≤x≤r的范围内，x变化，y也相应变化;同样，在-r≤y≤r的范围内，y变化，x也相应变化;从数量关系看，数值大小在变化，而从图形的特征来分析，点的位置也在变化.

2.数形结合思想

华罗庚曾说过，“数缺形时少直觉，形少数时难入微”.在某些问题中，可以通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决，使抽象的数学问题直观化，使复杂的问题简单化.

例1 已知集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=9-x2}，若M∩N≠，求b的取值范围.

分析 由于本题所给圆不是整圆，而仅是圆的一部分，所以应用数形结合思想处理.

3.转化思想

在研究和解决有关圆的数学问题时，可通过观察、分析、判断将问题化归为圆的方程问题，利用方程的性质，实现互相转化，达到解决问题的目的.一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解决的问题通过变换转化为容易解决的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

例2 求圆（x-2）2+（y+3）2=4上的点到直线x-y+2=0的最小、最大距离.

分析 由于圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最小（大）距离为圆心到直线的距离减去（加上）半径.涉及与圆有关的距离问题，大部分可转化为圆心到直线的距离问题.

五、文化内涵美

《说文解字》说：圆，全也.《吕览审时》说：圆乃丰满也.《康熙字典》说：圆即圆满、周全、完备等之意.天圆地方是中国的传统思想，古人有“圆而神，方以智”之说，可见圆之于古人，不但成为图腾崇拜的象征，也赋予方圆思辨的哲学意象.方的极限是圆，当圆的内接正多边形边数趋向于无穷大时，正多边形的周长就逼近于圆的周长.祖冲之就是按此思想计算圆周率的.

六、圆周率π之爱国情操美

南北朝的时候，祖冲之为了计算圆周率，他在自己书房的地面画了一个直径1丈的大圆，从这个圆的内接正六边形一直作到24576边形，然后一个一个算出这些多边形的周长.那时候的数学计算，不是用现在的阿拉伯数字，而是用竹片作的筹码计算.他夜以继日，成年累月，终于算出了圆的内接正24576边形的周长等于3丈1尺4寸1分5厘9毫2丝6忽，还有余.因而得出圆周率π的值就在3.1415926与3.1415927之间，准确到小数点后7位，创造了当时世界上的最高水平.据《隋书》记载：密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五.祖冲之“更开密法”求出的圆周率近似值的精确度，过了一千多年才被西方数学家超越.

七、应用广泛美

可以由圆引申到圆与直线的位置关系，圆与圆的位置关系，以及圆的一般方程中各个系数之间的代数关系.学好圆，对于学习平面几何是至关重要的.利用圆中的数学美，可促进学生知识结构的优化.通过数学规律的整理，可以体现教材的内在联系，从而更好地体会知识结构，并优化之.

如借圆的对称美，引导学生总结与对称有关的定理和图形，从而引发学生对学过的平面几何定理和图形的再认识;利用图中的“不变量”，引发对解题规律的总结，优化解题思路.如，相对于圆中的弦，直徑是一个不变量;相对于圆外一点，向圆所做的切割线，切线是不变量等.

总而言之，圆是美的，数学是美的.而中职数学教师要通过各种方法引导学生体会到数学之美，因为“数学教师的数学观念、数学知识结构、对数学思想方法的理解、对数学人文精神的领会都会在数学课堂上体现出来，影响学生对数学的认识和把数学应用到他们的生活实际当中.”

因此，在教学过程中，教师应加强与现代化信息技术的有机整合，强化工具的使用，促进课程的优化，体现职教特色，使数学服务于专业课，让学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，全面落实“立德树人”，为国家培育具有社会主义核心价值观的优秀建设者和接班人.

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