指向数学抽象素养培养的课堂教学研究

蒋智东

[摘  要] 发展学生的数学抽象素养是数学知识教学的关键，以数学知识的教学为着力点，重视数学抽象的培养，设计符合学生认知水平的数学情境和问题，让学生经历完整的数学抽象过程，熟悉和理解数学抽象的基本过程，获得数学抽象的基本活动体验. 通过“问题链”，引导学生从特殊到一般、从猜想到论证逐级抽象概括，提升了学生的数学抽象水平. 通过自主尝试、猜想、归纳、体验、验证，充分发展数学抽象素养.

[关键词] 数学抽象;核心素养;课堂教学;案例

“我们要从立德树人的高度来认识和理解数学教学的意义，在数学教学中，通过培养学生的数学学科素养，使核心素养得到进一步的提升，从而更好地落实立德树人的根本任务”[1]. 因此，理解数学核心素养的内涵，以数学知识的教学为着力点，在数学学科核心素养视角下设计数学教学活动来发展学生的数学核心素养，已经成为数学教育改革实践的重要内容.

■发展学生的数学抽象素养是数学知识教学的关键

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征[2]. 数学抽象素养位于六大数学核心素养之首，是学生学习数学知识的前提和基础.

学生数学抽象素养的培养应建立在数学知识的学习理解之上，要落实到具体的教学实践活动中.数学知识的学习过程，体现了数学抽象素养的思维活动过程.教师要结合数学知识产生、发展、应用的逻辑线索，结合学生的认知特点，个性化地设计教学活动，围绕知识形成和数学思维两条主线，通过数学探究引导学生经历获得知识、理解知识、应用知识的过程. 在这过程之中既可以体现数学抽象的认知活动，也可以体现数学抽象素养的发展，使得学生真正学会“用数学的眼光观察世界”.

■基于数学抽象素养培养的课堂教学案例呈现

《普通高中数学课程标准（2017年）》中指出，“获得数学概念和规则”是数学抽象的主要表现之一. “两角差的余弦公式”是高中数学教材中公式推导及应用的经典案例，是数学抽象素养培养的绝佳载体. 2019年度江苏省教育科学规划精品课题推进会——精品课题进课堂活动，笔者就上述课题进行了一次教学尝试.

1. 教学情境设计

回顾两个诱导公式：cos（π-α）= -cosα ①，cos■-α=sinα ②.

问题1：分析、思考化简后①式中π和②式中■的三角函数值的变化，并尝试把它们找回来.

把诱导公式中两角差的余弦形式作为任意两角差的余弦展开式的特殊情形，并试图通过找回特殊角的三角函数值的方式，还原得到展开式的原型.学生以①式右边的负号为切入点，分析想象到的三角函数值在化简过程中被算出来了，于是有cos（π-α）=cosπcosα ③，类比得到cos■-α=sin■sinα ④.

问题2：对上述两个式子左边的结构特征进行观察、分析，然后对右边的展开式结构进行想象、归纳，作出初步判断.

教师对上面两个式子的结构特征进行引导，左边都是一个特殊角与角α的差的余弦，结构相同;右边一个是两个角的余弦之积，一个是两个角的正弦之积，要求学生对右边是否有相同形式的展开式从直观上作出判断.教师可以通过“sinπ=0”“cos■=0”进行提示，在相互交流的基础上让学生得到：cos（π-α）=cosπcosα+sinπsinα，cos■-α=cos■·cosα+sin■sinα.

2. 语言概括，符号表达

问题3：用语言概括描述上面两式的结构.

利用特殊到一般的方法得到：这两个角的差的余弦等于它们余弦之积与正弦之积的和. 在此基础上让学生进一步体验：cosα-■π=____，cos■-■=____.

问题4：对上面的结论进行概括推广.

文字描述：任意两个角的差的余弦等于这两个角的余弦之积与这两个角的正弦之积的和.

问题5：对结论进行数学化表示，构建模型.

用符号表示：设α，β是任意角，则有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

3. 公式证明

从结构上看，这个式子具有对称性，比较和谐，可信度较大，但这仍仅仅是猜想，最终还需要进行严谨的证明.

问题6：公式证明方法的获取.

从公式的原型，即诱导公式的证明方法——“单位圆法”入手，引导学生探究公式的证明. 以②式为例进行方法回顾：如图1，设角α，■-α的终边与单位圆的交点分别为P1，P2，则P1（cosα，sinα），P2cos■-α，sin■-α. 由Rt△OP■Q■≌Rt△P■OQ■，得到点P1，P2坐标之间的关系，如cos■-α=sinα，这样就得到了角α与■-α的三角函数之间的关系.

问题7：用“单位圆法”证明公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

学生思考、尝试、交流：如图2，设P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），这样等式右边就是向量■和向量■的数量积■·■. 教师此时在图2中标出向量■和向量■以及角α和β，引导学生继续观察图3：等式左边是向量■和向量■夹角的余弦.

根据两个向量的夹角余弦公式cosθ=■（其中θ是向量■和向量■的夹角），有cos（α-β）=■，而■=■=1，所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

也有學生是这样考虑的：由于■=■=1，所以cos（α-β）=■■·cos（α-β）=■·■=cosαcosβ+sinαsinβ.

教师充分肯定学生的认识，概括一下第二种方法：左边是从图形角度运用数量积定义来计算，右边是从数量的角度运用坐标来计算，对同一对象从不同角度计算两次，体现出了向量的工具作用.

问题8：公式证明的完备性.

引导学生对上面的认识从相关概念的角度进行核查，发现由于α，β都是任意角，而两个向量的夹角在区间[0，π]内，因此α-β有可能不是向量■和向量■的夹角.

问题9：α-β∈[0，π]，探究cos（α-β）的含义.

教师不能急于抛出自己的解决方案，一定要让学生进行“痛苦”地思考. 当α-β∈[0，π]，由前面证明的cosθ=■和cos（α-β）=■，实际上只需说明cos（α-β）=cosθ就可以了. 引导学生不要在α-β是不是向量■和向量■的夹角的层面上纠结，而应跳出来从函数的角度思考：α-β∈[0，π]时，cos（α-β）=cosθ！

问题10：设α和β都是任意角，证明cos（α-β）=cosθ.

由于α和β都是任意角，问题非常抽象，学生百思不得其解. 教师加以引导：α和β都是任意角，不容易把握，我们可以分两步使角的范围从“大”到“小”.

第一步，设α=2k■π+α■，β=2k■π+β■，其中，k■，k■是整数，0≤α0，β0<2π，则cos（α-β）=cos[2（k■-k■）π+（α■-β■）]=cos（α■-β■）. 下面只需证明：cos（α■-β■）=cosθ.

第二步，不妨先设0≤β0≤■，如图4.

①当0≤α0≤β0时，θ=β0-α0，cosθ=cos（β0-α0）=cos（α-β）.

②当β0<α0≤π+β0时，θ=α0-β0，cosθ=cos（α0-β0）=cos（α-β）.

③当π+β0<α0<2π时，θ=2π-（α0-β0），cosθ=cos[2π-（α0-β0）]=cos（α0-β0）=cos（α-β）.

综上，当0≤β0≤■时，都有cos（α-β）=cosθ.

对于β0的终边在其他位置的情形，仍可以引导学生用类似的分析方法得到cos（α-β）=cosθ. 至此，对于任意角α和β，都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

结合余弦函数的周期性，运用化归与转化的方法，将cos（α-β）变为cos（α0-β0），进一步，将β0的终边固定在区间0，■内，让α0转起来，结合图形，将α0-β0与θ终边的关系可视化.

4. 理解应用

例1：利用两角差的余弦公式，求cos15°的值.

意图：cos15°=cos（45°-30°），让学生体会从一般到特殊、用已知表示未知的化归与转化的思想和方法，明确公式的本质：用单角的三角函数值表示差角的三角函数值.

例2：化简：（1）cos95°cos35°+sin95°·sin35°;（2）■sin15°+cos15°.

意图：通过逆向思考，培养学生化归与转化以及运用公式的模型化思想.

上述教学设计的核心，是将公式形成过程设计为若干个能够揭示问题本质、具有一定逻辑关联的探究问题.如问题2是在知识形成的“关键点”上设置问题;问题6是在形成解决问题策略的“关节点”上设置问题;问题7到问题9是在数学知识之间联系的“联结点”上设置问题，等等. 通过合理、恰适的问题，使学生始终保持一定水平的思维活动，驱动学生思考，引领学生主动学习.

■基于数学抽象素养培养的课堂教学案例分析

在数学公式的教学中，重视数学抽象的培养，最切实的是抓住其形成过程的教学，设计符合学生认知水平的数学情境和问题，让学生经历完整的数学抽象过程，熟悉和理解数学抽象的基本过程，获得数学抽象的基本活动体验，在公式的教学中学会逐级抽象，发展数学抽象素养[3].

从前面所述的数学抽象的内涵中，我们认识到数学抽象呈现出层次性.根据抽象程度的不同，史宁中教授将数学抽象过程分为了三个阶段：一是简约阶段，把握事物本质，把复杂问题简单化并条理清晰地表达;二是符号阶段，去掉事物的具体内容，利用符号和关系术语等表达已简约化的事物;三是普适阶段，通过假设和推理，建立法则或者模型，能在一般意义上描述具体事物的特征或规律[4].？摇

因此，我们提出数学公式教学中逐级抽象的基本过程框架：辨别（刺激模式）→分化（各种特征）→类化（共同特征）→抽象（本质特征）→概括（形成公式）→形式（符号表达）→系统（完善公式）→运用（理解体会）. 其中，从“辨别”到“抽象”为简约阶段，抽离事物本质;从“概括”到“形式”为符号阶段，完成符号表达;从“系统”到“运用”为普适阶段，形成模型并运用到具体情境.

以下将基于上述教学中数学探究活动的设置，分析教学是如何与数学抽象过程的基本过程框架相对应，从而让学生经历两角差余弦公式完整的抽象过程.

1. 結构直观，抽离本质

问题1达到了数学抽象过程中的“辨别（刺激模式）”和“分化（各种特征）”两个步骤. 观察①②两式，从学生已有的认知出发，通过对“π和■的三角函数值”这些具体数学对象的分析考察，得到③④两式，这是从同一角度分别对两式形式的一次抽象. 由此通过“复原”诱导公式原型引出课题，达到外部刺激引入情境的效果. 同时，π和■的三角函数值回归方式有很多，但③④两式是学生能够从不同猜测中比较容易分化出来且被广泛认可的形式.

问题2达到了数学抽象过程中的“类化（共同特征）”和“抽象（本质特征）”两个步骤. 对cos（π-α）与cos■-α的形式进行考察，发现它们有相同的结构，引导学生进行猜想和归纳，抽离出它们应该有相同的展开形式这种共同特征，这是对数学结构特征的一次概括抽象.

数学抽象性在逐级抽象、逐次提高的过程中，总是伴随着概括[4]. 在引导学生类化出①②两式右边应该有相同的展开式这种共同特征后，让学生进一步感受③④两式——右边一个有余弦之积，一个有正弦之积，又感觉应该有相同的形式，那么，这个相同的形式就应该是都有余弦之积和正弦之积！得到cos（π-α）=cosπcosα+sinπsinα，cos■-α=cos■cosα+sin■sinα，这是从③④两式的考察中寻找到的共同特征，是在①②两式抽象基础上的概括，是抽象的发展，揭示出①②两式的本质特征.

2. 抽象概括，符号表达

问题3和问题4达到了数学抽象过程中的“概括（形成公式）”这一步骤.问题3中，让学生用语言描述两个式子相同的形式，实际上是对两个式子结构特征的一次抽象概括. 学生的体验是在诱导公式结构基础上的迁移，是公式外延的抽象拓展. 经过由特殊到一般的逐级抽象概括，至问题4，学生已经能用自然语言描述出两角差的余弦展开式的结构特征：任意两个角的差角的余弦等于这两个角的余弦之积与这两个角的正弦之积的和. 问题5达到了数学抽象过程中的“形式（符号表达）”这一步骤，学生用代表数量意义的符号来准确表述公式，建立对公式的认识，明确公式的本质.

3. 形成公式，理解应用

问题7至问题10达到了数学抽象过程中的“系统（完善公式）”这一步骤. 问题7中，①②两式作为公式的特殊情形，它的证明利用了“单位圆法”，那么，是否可以借鉴这种方法用来证明公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ呢？事实上，这是我们在处理陌生或复杂问题时常用的一种策略. 从方法上来看，是在培养学生抽象的思维方式.数学方法的运用，往往是发展学生抽象素养的起点，在回顾cos■-α=sinα的证明后，对“单位圆法”的抽象概括是将方法模式化的一种表现. 它理清了点的坐标与角的三角函数值之间的关系，明确了步骤间的逻辑关系，为学生顺利迁移到公式的证明中奠定了良好的基础.

问题8对公式的证明过程，对“cosαcosβ+sinαsinβ=■·■”“■·■cos（α-β）=■·■”的认识，这些都体现出了数学抽象的构造性，是联想、迁移的过程，是结构化抽象思维的结果. 而α-β对“就是向量■和向量■的夹角”的认识是数形结合、直观感知的结果.

问题10中对“cos（α-β）=cosθ”的证明，通过化归与转化分为cos（α-β）=cos（α0-β0）以及“固定β0”、让“α0动起来”这样两步，使问题从无限化为有限，这又是抽象的思维方式的一种表现. 通过分类与整合，最后得到cos（α-β）=cosθ，公式得到了完善，形成了一个模式化的系统.

两个例题的设置达到了数学抽象过程中的“运用（理解体会）”这一步骤.两个例题不是公式在复杂情境的综合应用，而是针对公式的直接应用，使公式与直观经验的原型更加紧密地整合起来，形成完整的公式模型，从而建立起对公式完整的认识和理解.

上述教学过程，在内容设计上通过“问题链”，引导学生从特殊到一般、从猜想到论证逐级抽象概括出两角差的余弦公式. 培养了学生的数学抽象意识，提升了学生的数学抽象水平. 教师要把握好教学节奏，给学生较为充裕的思考时间和交流机会，调动学生的积极性，促使学生主动参与探究活动，使学生通过自主尝试、猜想、归纳、体验、验证，充分发展数学抽象素养.

■结束语

笔者在对苏教版教材中两角和与差余弦公式的呈现方式充分学习和理解的基础上，结合学生的认知水平和能力，采用了通过两角差诱导公式回溯的方式，获得了两角差的余弦公式. 一方面，揭示并领悟了两角差余弦公式的本质，即两角差的余弦值可以用这两个单角的三角函数值来表示，为后面其他复角的三角函数值研究提供了方向，也奠定了本节课知识在章节知识体系中的地位和作用. 另一方面，在公式的抽象形成過程中，通过引导学生进行归纳概括、类比推理、数形结合分析等，形成用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯，形成数学抽象的思维方式和思维能力，培育理性精神，达到数学育人的目标.

参考文献：

[1]  祁平，任子朝，赵轩. 指明改革方向 绘就培养蓝图——高考评价体系育人视角的解读与应用[J].数学通报，2020，59（04）.

[2]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]  邓翰香，吴立宝，沈婕. 指向数学抽象素养的教材分析框架与案例剖析——以人教A版“函数单调性”为例[J]. 数学通报，2019，58（10）.

[4]  史宁中. 数学思想概论（第1辑）：数量与数量关系的抽象[M]. 长春：东北师范大学出版社，2008.