美国早期代数教科书中的集合概念

闫 欣 汪晓勤 (华东师范大学教师教育学院 200062)

1 引言

集合作为现代数学的基本语言，可以简洁、准确地概括、表达数学内容．在19世纪之前，虽然set作为一个名词经常出现在人们的生活中，但其含义类似于collection，概念模糊，并无确切的定义．19世纪70年代，德国数学家康托尔(Cantor，1845—1918)创立了集合论．他在解决涉及无限量的数学问题时，跳出传统的数集研究，提出了一般性的集合概念．无穷概念抽象而准确的表达、无穷集合与其真子集的一一对应、由罗素悖论引发的第三次数学危机，促使集合论一步一步走向公理化，同时也促进其他数学领域如微积分、实变函数论、代数拓扑等的发展[1]．经过半个世纪的演变，集合论在20世纪20年代的数学理论体系中已经拥有无可比拟的重要地位，现代数学各个分支几乎所有成果都离不开严格的集合论支撑．

人教版数学教科书将集合定义为研究对象组成的总体，并设置了判断某些元素的全体是否组成集合的课后习题．作为高中数学的第一节课，集合不仅衔接了初中数学与高中数学，也体现了高中数学更加抽象、严谨的思维要求．有学生不免会问：学习集合有什么用？为什么要在高中第一节课学习集合？数学里的“集合”与我们日常生活中熟知的“集合”有什么区别？教师也会思考：在课堂教学中，如何更好地刻画集合的概念、理清集合的关系、把握集合的运算？

为了解决以上问题，我们需要了解集合概念的历史．集合概念在数学教科书中的演变过程反映了人们在认识上逐渐完善的过程．同时，参考早期教科书，也是站在前人肩膀上，可以帮助我们从更高的视角来更好地讲授集合概念．

基于此，本文考察了1954—1963年间出版的14种美国代数教科书中与集合相关的内容，试图解答以下问题：美国早期教科书呈现了有关集合的哪些内容？又是如何呈现的？与当前的教科书有何不同？对当前的教学有何启示？

2 教科书的选取

本文从相关数据库中选取了14种美国早期代数教科书为研究对象，其中出版于1958,1959和1961年的各1种，出版于1954和1963年的各2种，出版于1960年的有3种，出版于1962年的有4种．

考察14种美国早期代数教科书中集合的相关内容，其中8种分布在介绍集合及其相关内容的章节中，如集合和数轴、命题、变量、函数；其余6种分布在将集合视为预备知识的章节中，如自然数、数学语言、概率、等价关系、函数．14种教科书中，11种含有独立介绍集合的小节；3种没有独立介绍集合的章节，集合的相关概念出现在其他章节里，如数学符号与运算、概率事件、等价关系等．14种教科书中，集合的相关内容主要可分为以下四个板块：集合的定义、集合的表示、集合的关系、集合的运算．

3 集合的概念

3.1 集合概念的引入

作为通常的生活用语，set一词于英国数学家弗伦德(Frend,1757—1841)的《代数学原理》中已出现，之后，它常常被数学教科书所采用．现代数学意义上的“集合”(德文menge，法文 ensemble)一词源于集合论创立者康托尔．在英文中，作为数学专有名词的set一词直到20世纪初才出现．

到了20世纪中叶，集合概念进入数学教科书．一些教科书在引入集合概念时，往往会交代学习该概念的缘由，主要包括集合的地位、意义、用途等，见表1．

表1 集合概念的引入

多数教科书都论及集合论在数学上的重要地位．Koo，Burchenal，Blyth还解释了用set而不用collection来表达数学上的“集合”的缘由：人们默认collection是由相似的物品组成，比如玩具、邮票、硬币，有“收集”之意；而set可以由完全没有任何相似之处的物品组成，因而更符合数学上的涵义[12]．

3.2 集合的定义

多数教科书引入集合概念后，对其进行了定义．表2给出了教科书中若干典型的定义．

由2表可见，Rosenbaum强调了集合元素的“确定性”，即：对于任何一个集合，都有相关标准来判断一个元素是否属于该集合，并称之为“完备的集合定义”[13]．14种教科书中，有6种体现了集合元素的“确定性”．

表2 集合的定义

但除了“确定性”，早期教科书很少涉及集合元素的其他性质，只有2种教科书间接体现了“无序性”，2种教科书间接体现了“互异性”．Kelley举例论述了三种性质[4]．

3.3 集合的表示

在14种教科书中，11种使用大写字母A，B，C，…来表示集合，8种用小写字母a，b，c，…来表示元素，6种采用了“属于”和“不属于”的符号(a∈A，a∉A)．

集合的表示方法有“自然语言”“列举法”和“描述法”三类.其中，“自然语言”即为通过日常语句概括、描述、表示集合的共同特征；“列举法”即为一一枚举集合中的元素，并用花括号将其括起来，如果元素过多且符合某项特征规律，可使用省略号；“描述法”即为仅使用抽象的数学符号来概括、描述、表示集合的共同特征．

在14种教科书中，7种使用了自然语言，10种使用了列举法，2种使用了描述法．由于自然语言能帮助学生准确概括集合的共同特征，列举法能帮助学生清晰准确地逐个给出集合中的元素，因此多种教科书同时使用了自然语言和列举法．但由于描述法的抽象程度较高，鲜有教科书采用．Artin同时采用了三种表示方法，并以Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，C表示复数集[14]．

3.4 集合的分类

少数教科书从集合论的视角给出了有限集和无限集的定义．Levi将有限集定义为“可以与标准集{1，2，3，…，n}建立一一对应关系的集合”，将无限集定义为“可以与自己的真子集建立一一对应关系的集合”[2]．SMSG将有限集定义为“可以从头至尾一一数出其中的元素的集合”，将无限集定义为“不能从头至尾一一数出其中的元素的集合”[11]．Haag则将有限集定义为“不能与自己的真子集建立一一对应关系的集合”[5]．Levi还给出了基数的概念：“与标准集{1，2，3，…，n}建立一一对应关系的集合的基数为n．”[2]

4 集合的关系与运算

4.1 集合之间的关系

13种教科书给出了子集的定义：若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．

关于真子集，Levi给出定义：“若集合A是集合B的子集，且B中存在某个元素x不是A的元素，则称集合A是集合B的真子集．”[2]Haag给出定义：“集合A是集合B的子集，且A和B不相等，则集合A是集合B的真子集．”[5]

6种教科书采用了包含关系的符号，即：若集合A是集合B的子集，则B包含A，即A⊂B,B⊃A．Rosenbaum则用A⊆B表示“A是B的子集”，A⊂B表示“A是B的真子集”[13]．

关于集合的相等，Levi给出的定义为“若构成两个集合的元素相同，则称两个集合相等”[2]；Artin的定义为“集合A包含集合B，集合B包含集合A，则集合A和集合B相等”[14]．

关于空集，Levi的定义为“不含任何元素的集合”[2]，而Artin的定义为“集合A相对于集合A的补集”[14]．SMSG特别指出：集合{0}不是空集，它包含了元素0[11][15]；Kelley指出：空集不代表无，就像“一个空盒子不同于完全没有盒子”一样；同时，空集也不等于以空集为元素的集合[4]．Koo，Burchenal，Blyth Delia交代了空集符号∅及其读法[12]．

一些教科书给出了有关子集和空集的性质：

·空集是任何集合的一个子集[15]；

·任何一个集合都是其自身的一个子集[15]；

·一个集合的最大子集是它本身，最小的子集是空集[4]；

·空集的子集只有空集[4]；

·若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集[4]；

·若集合A的真子集是空集，则A只有一个元素[2]．

此外，3种教科书还给出了集合之间的一一对应关系：对于集合A中的每个元素，都有集合B中的某个元素与之对应，反之亦然，且一个集合中的不同元素不会有另一个集合中的同一个元素与之对应．

4.2 集合的运算

表3～5分别给出了早期教科书中的并集、交集和补集的不同定义．Levi给出了任意数量的集合的并集、交集定义[2]；Miller，Green在概率论样本空间的基础之上，类比数字的加法、乘法给出集合的并集、交集定义，并以数字0类比空集，数字1类比样本空间[10]．

表3 并集的定义

表4 交集的定义

表5 补集的定义

在定义并集和交集概念的教科书中，有8种采用了符号A∪B和A∩B．Kelley用A～B来表示集合A相对于集合B的补集[4]；Hall和Kattsoff用U-C来表示集合C相对于全集U的补集[7]．Artin讨论了任意多个集合的并集、交集和积集[14]．

Kelley使用了韦恩图来表示交集、并集运算法则和德摩根律[4]，如图1所示．

图1 Kelley使用的韦恩图

Miller,Green强调韦恩图的作用：韦恩图可以使集合运算可视化、直观展示集合之间的关系，并采用了各类韦恩图，类比实数运算法则，推导出一些交集、并集的运算法则[10]，如图2所示．

图2 Miller和Simon采用的韦恩图

Brumfiel利用矩形韦恩图来表示集合的并集和交集[9]，如图3所示．

图3 Brumfiel采用的韦恩图

除去以上类型的集合运算，4种教科书给出了笛卡儿积集的概念，即：集合A中元素a和集合B中元素b组成的有序数对(a，b)组成的集合，符号表示为A×B．Brumfiel还指出，如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么集合A×B中有mn个元素，这也是为何称之为积集并使用乘法符号的原因[9]．

5 集合的应用

表6 集合的应用

早在初中学习初等函数和不等式时，学生就已知道解集的含义．早期教科书中，SMSG[11]，Haag[5]，Kelley[4]将解集定义为：所有使得开命题变为真命题的元素组成的集合．Hall,Kattsoff通过利用两个方程的解集的交集求得其公共解[7]．

值得一提的是，部分教科书，如SMSG[11]，Haag[5]，Brumfiel[9]，Hall和Kattsoff[7]等给出了数集图象(the graph of a set)的定义：与集合中的数字相对应的实数轴上的点组成的集合即为集合的图象．其中，元素是点的坐标表示，点是元素的图象表示．Kelley在平面直角坐标系上画出满足y=x+1的有序数对(x，y)的集合的图象[4]；Hall,Kattsoff将横轴与纵轴的积集称为笛卡儿平面，并利用横实数轴上、下的点组成的集合与纵实数轴左、右的点组成的集合的交集表示出第一、第二、第三、第四象限的定义[7]．

6 教学启示

以上我们看到，关于集合概念，美国早期教科书呈现了引入、定义、性质、运算、应用等丰富的内容，为今日课堂教学提供了许多启示．

其一，关于为什么要学习集合，而且为什么要在高中第一节课学习集合的问题，早期教科书指出，集合是常见的数学语言，可以对数学研究对象进行分类归纳，是各个数学分支(映射函数、逻辑推理、概率统计)的基础，在现代数学中影响深远．

其二，从早期教科书表示集合的方法可以看出，对于刚刚接触集合概念的学生来说，列举法能够帮助他们清晰、直观地表示集合，加深集合定义的刻画；自然语言能够帮助他们准确、简洁地表示集合，培养概括数学对象的能力．描述法在早期教科书中出现较少，这说明描述法对于学生来说可能存在归纳提取、抽象表述元素共同特征等方面的学习障碍．

其三，部分早期教科书通过现实情境来帮助学生理解集合的相关概念和集合之间的关系，如：空集并不代表没有集合，就像“空盒子不同于没有盒子”一样．在集合的教学中，教师可以充分利用现实情境.例如，教师可以这样打比方：以空集为元素的集合并不等于空集，就像“含有空盒子的抽屉不同于空抽屉”一样；集合{0}并不等于空集，就像“含有一张标有0的卡片的盒子不是空盒子”一样．

其四，关于学习集合有什么用的问题，早期教科书给出了不同维度的解答．对学生来说，从短期来看，学习集合可以帮助他们更加清晰地刻画函数定义、更加准确地表示方程和不等式的解集、更加严谨地推导三段论；从长期来看，学习集合可以通过进一步建立等价关系从而得到划分下的商集，进一步论述“无穷”的内涵[16]，解答“0和1之间的有理数多还是无理数多”等抽象数学问题．

其五，多数教科书只强调集合元素的确定性，而忽略其无序性和互异性，这提示我们，今天的学生也可能会出现同样的错误．教师在课堂上可以通过集合相等的概念让学生发现，即使元素顺序不同，集合也保持不变；而集合本身的含义就要求其元素两两不同．教师也可以设计反例让学生加以辨析．