一种局部无网格配点法在功能梯度材料板上的应用

李煜冬 傅卓佳 汤卓超

摘要： 针对基于1阶剪切变形理论和Hamilton原理的功能梯度材料（functionally graded material， FGM）板微分控制方程，验证将广义有限差分法（generalized finite difference method， GFDM）用于FGM板弯曲行为数值计算的有效性，利用GFDM对物理域进行离散布点、无须网格划分的优点，对离散域生成稀疏插值矩阵。以Ansys软件分析结果作为参考解，选择3个基准算例进行对比，结果表明GFDM可以有效求解FGM中厚板弯曲问题，并且避免处理传统无网格配点法中常见的病态稠密矩阵，精度满足工程要求。

关键词： 无网格配点法;1阶剪切变形;功能梯度材料;数值模拟;线性系统

Abstract： As to the differential governing equations for functionally graded material（FGM） plates based on the firstorder shear deformation theory and Hamilton principle， the generalized finite difference method（GFDM） is applied to analyze the bending behavior of FGM plates numerically， and then the effectiveness is verified. GFDM is employed to generate sparse interpolation matrix in discrete domain using its advantage that the physical domain is distributed discretely， and no mesh generation is needed. Taking the analysis results of Ansys as the reference solutions， three standard examples are selected for comparison， and the results show that GFDM can effectively solve the bending problem of medium FGM plate. The method can avoid dealing with illconditioned dense matrix which is common in traditional meshless point collocation method， and its accuracy meets the engineering requirements.

Key words： meshless point collocation method;firstorder shear deformation;functionally graded material;numerical simulation;linear system

0 引 言

功能梯度材料（functionally graded material， FGM）[12]是一种非均匀的复合材料，其物理力学与结构力学性能不同，被廣泛应用于航空航天、机械、建筑、化学、生物医学和电子信息等诸多领域。具有复合材料性质的弹性板结构受到学术界和工程界的广泛关注，如弹性地基下的钢筋混凝土板、国际空间站的太阳能电池帆板和高速铁路的轨道板等。弹性板结构的弯曲问题是板壳结构分析中最基本的问题之一，目前针对FGM板弯曲的数值分析主要采用有限差分法[3]、有限元法[4]和边界元法[5]等传统网格方法。

一些学者致力于将无须网格划分的无网格方法[6]用于板结构的弯曲分析。KRYSL等[7]将无网格伽辽金法（elementfree Galerkin method， EFGM）用于弹性薄板和薄壳静定问题的研究;LIU等[8]进一步将EFGM应用于层合板的计算;GILHOOLEY等[9]基于剪切变形理论，运用含径向基函数的彼得洛夫伽辽金无网格方法分析FGM厚板的弯曲问题;SAHRAEE等[10]采用4阶剪切变形理论分析功能梯度厚圆板的轴对称弯曲问题;FU等[1112]采用边界粒子法对Kirchhoff板和Winkler板弯曲问题进行求解。

广义有限差分法（generalized finite difference method， GFDM）[13]是一种无网格区域配点方法，以求解区域中的任意一点（中心点）为研究对象，在中心点附近按照最短距离准则形成该点的局部支撑域，基于多元函数的泰勒展开式和加权最小二乘法，将中心点处函数值的各阶导数表示成其支撑域节点上函数值的加权线性叠加。该方法不仅无须网格划分，而且可以避免无网格配点法常见的病态稠密矩阵问题，因此被广泛应用于求解各种科学和工程问题。UREA等[14]提出高阶偏微分方程的GFDM;FAN等[15]将GFDM用于求解稳定二维柯西反算问题、双调和方程反算问题等;GU等[16]将GFDM应用于求解工程反热源问题;李艾伦等[17]和汤卓超等[18]分别将GFDM用于求解肿瘤传热分析和Winkler板弯曲问题。

本文将GFDM用于求解FGM板的弯曲问题，研究基于1阶剪切变形理论（firstorder shear deformation theory， FSDT）的FGM板弯曲方程的GFDM。在给出FDST的FGM板弯曲数值离散模型的基础上，以Ansys软件仿真结果为参考，通过求解不同边界和形状的基准算例验证本文方法的有效性与收敛性。在此基础上，数值研究不同梯度分布的FGM对板弯曲挠度分布的影响。

1 數学模型

1.1 控制方程

FGM为非均匀材料，其组分和结构随空间坐标变化，通常沿某一方向呈连续梯度变化。假设材料性质Q（包括弹性模量E、泊松比μ、密度ρ等）只沿板的厚度方向变化，且服从幂函数规律矩形板物理模型见图1。板长为a，板宽为b，厚度为t，板上表面的均布载荷为q，板材料性质服从式（1）的幂函数规律。

通过式（7）～（13）推导求解，可以得到各阶偏导项的差分表达式。研究功能梯度板问题，需要先求得（u0，v0，w0，x，y）的各阶偏导项，随后将每一个离散点的偏导值用差分表达式替代，再代入微分控制方程和边界条件，形成线性代数方程组，从而求得数值解。

3 数值结果

将本文方法与文献中的经典算例解析解和Ansys仿真结果进行数值比较，验证本文方法在FGM板弯曲分析中的有效性，并在此基础上讨论不同参数对计算结果的影响。为定量表征计算结果的精确程度，误差定义为

3.1 算例1

选择一个1 m×1 m的方形板，该板为由5层均质材料紧密黏合而成的离散型组合材料板，5层材料依次为Al、Zn、Cu、Fe2O3、ZrO2，每层厚度为0.02 m，材料参数见表1。假设泊松比为定常数0.3，对边固支的层板结构受到80 MPa均布载荷，部分节点的无量纲化变形计算结果见表2。将Ansys分析结果作为参考解，GFDM的误差为R=0.001 4和G=0.009 4，说明GFDM与Ansys分析结果的近似度很高，满足工程精度要求。

当板厚变化时，基于FSDT的GFDM、基于简单薄板理论（kirchhofflove theory， KT）的GFDM和Ansys仿真分析得到的板中心变形数值计算结果对比见图4。由此可知，当板的厚度增大时，KT已经不适用，而考虑剪切变形的FSDT能够很好地模拟中厚板弯曲问题，与Ansys软件的仿真结果也吻合较好。

取宽厚比为10，不同梯度指数n时板中心挠度ω与横向均布荷载q的关系见图5，其中：

q=QEbt4，板材料为AlAl2O3，材料分布服从式（1）的幂函数规律，板边界条件为四边简支。由此可知，GFDM能精确地计算基于FSDT的FGM板弯曲问题。

横向均布载荷的关系

为便于与文献[20]结果进行比较，选择边长L为1 m、宽厚比为5、材料为Al/ZrO2、材料分布服从式（1）的方形板，在q=Ebt4均布载荷下板的无量纲中心变形为;

该板结构在梯度指数n=1时的弯曲挠度（无量纲化）分布见图6。以Ansys分析结果为参考解，由式（14）和（15）可得GFDM误差为R=0.003 7和G=0.012 8。考虑有限元软件网格类型和分布具有差异性，该结果可以说明FGM板结构的GFDM计算具有工程应用价值，能够为相关问题研究提供可靠的数值参考。

在2种边界条件下，该圆形FGM板中心变形随梯度指数的变化见图7。当n=0.1时，在2种不同边界条件下板结构的弯曲效应差别很大;当n≥3.0时，因为2种条件下的结构刚度很大，所以不同边界条件对结构弯曲效应的影响非常小。

3.3 算例3

4 结 论

本文采用GFDM求解基于1阶剪切变形的FGM板的弯曲问题。GFDM是一种新型的强式区域型无网格离散方法，具有数学原理简单、无需网格划分，以及可数值积分的优点。由本文基准算例可知，GFDM可以有效地求解FGM的中厚板弯曲问题，并且避免处理传统无网格配点法中常见的病态稠密矩阵。通过对比可知，本文方法的数值结果能够很好地与Ansys软件仿真结果吻合。综上所述，无网格GFDM在FGM板弯曲问题中的应用已得到初步验证，但是否可将该方法应用于更加复杂的结构分析还有待进一步的研究。

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（编辑 章梦）