反证法在初中数学解题中的应用

雍玉华

【摘 要】在教育不断发展的背景下，以往的教学方式已难以满足现阶段中学教学的需求。中学教师需要不断提高自身的专业技能，在解题教学中引入反证法，开拓学生的思维，使学生养成良好的解题习惯，形成正确的解题思路，本文主要围绕反证法在初中数学解题中的应用展开讨论。

【关键词】反证法;初中数学;解题应用

数学是初中学科的重要组成部分，对学生思维能力的培养起着关键作用。在此背景下，中学教师需要转变传统的教学理念，在解题教学中引入反证法，以此创新学生的思维模式，使学生形成良好的解题思路。

1   反证法的定义及理论依据

1.1  反证法的定义

反证法即在将原命题否定后，找出题目中问题的立足点，再反过来证实原命题。具体求证一个命题时，可以先假设两个相对的命题，如果已经有条件证明两个命题是有矛盾的，或者得出的结果矛盾，那么就可以证实假设不成立，也就是说原命题成立[1]。这种证明命题的方式就叫做反证法。

1.2  反证法的理论依据

反证法的理论依据主要由排中律和矛盾律这两大内容组成，两者在定义上有所差异。矛盾律主要指的是：证明命题时，如果有两个完全对立的结论，那么其中有一个结论是不成立的。排中律指的是：针对一个命题，其要么是真命题，要么是假命题，不会有第三种可能出现。排中律要求解题者在思维上必须是清晰和明确的，解题者要能最大限度地将排中律和矛盾律贯彻到数学应用中。此外，排中律还有一个独特的特征，解题者在命题的证明过程中，不仅要有独立的思维，还要确定自己的立场，以此更好地证实命题。

矛盾律和排中律既有联系又存在一定差异。联系：解题者在证明命题时，一定不能出现逻辑上的矛盾，如果与排中律背道而驰的话，那么矛盾律也无法应用在解题中。差异：矛盾律表示，若两个结论处于对立状态，那么其中一个不成立;排中律表示，若两个结论处于对立状态，那么其中有一个结论是成立的。

2   反证法的解题步骤

将反证法引入命题解题，主要由反设、归谬以及结论三部分组成，它们在解题过程中是一个整体，且互相联系、缺一不可。首先，反设。采用反证法进行解题时，反设是最基础的内容，也是最关键的一个环节。反设的正确性直接影响解题过程和结果。在此过程中，解题者一定要充分了解题目给出的已知条件，借用所有条件对问题进行假设，最后再设出与求证内容相反的假设，以此进行下一步的求证。其次，归谬。归谬是运用反证法解题最关键的内容及重点所在。归谬主要指引入反设中的问题，使反设内容有一个明确的推理方向。最后，结论。结论主要是将反证法引入，通过这种方式得到最终结果。将反谬推理出的结果与反设假设的内容对比，若其产生矛盾，那么假设内容就会被推翻，这样来证明原来命题的结论，此时在得出结论后，整个命题已完成求证[2]。

在命题证实的过程中，矛盾是推动整个试题发展的重要因素之一。通常情况下，矛盾可以分为自相矛盾、公理矛盾等。在解答试题的过程中，利用反证法能够跳过多种障碍，将正确答案证实出来，这是反证法的优势所在。

3   利用反证法解题时需要注意的问题

3.1  正确否定结论

正确否定结论主要以反证法为根本出发点。如“一个三角形的3个内角中，最多有1个钝角。”“最多有1个”表示“可能1个都没有”或者“只有1个”。在此背景下，反设可以设成“2个内角为钝角”“3个内角都为钝角”。

基于以上提出的例子，解题者在证题时需要抓住题型结构，巧妙地将反证法引入，通过否定假设内容来证实原有命题成立，有了对立命题也就能更好地得出结论，高效解题。反证法可以锻炼学生的思维能力，丰富其数学知识，提高教师的教学质量。

3.2  明确推理特点

否定结论和推出结论是反证法的重要组成部分。由于无法预测到会发生何种矛盾、何时会出现这一矛盾，矛盾的发生具有不确定因素。一般情况下，解题者可以对矛盾进行猜想，将矛盾与命题联系进行思考（如在解答几何问题时，解题者会联想到相关定理或结论），这也是反证法的重要组成部分之一。通常很难将矛盾定义或猜测，这是解题时可有可无的部分。解题者只需要全面掌握假设内容，将解题步骤更好地推理出来，自然而然地就能找出其中的矛盾所在，使结论得到更有力的证实。

3.3  了解矛盾种类

在使用反证法论证命题时，不一定只能解出假设内容的结论。矛盾存在的结果具有多样性特点，其可能与题设产生对立关系，抑或是与命题产生冲突。因此，推理出两种对立的结果也是有可能的。

4   反证法在初中数学解题中的应用

4.1  反证法在否定性命题中的应用

当求证试题中出现“没有……”“不是……”“不能……”等类似词语时，用直接证法很难快速、正确地将试题解答出来，引入反证法则能够高效地将命题证实出来[3]。

4.2  反证法在限定式命题中的应用

当求证试题中出现“至多……”“至少……”“不多……”等类似词语时，仅仅凭借直接证法很难将试题解答出来，在此背景下，引入反证法解题，不但可以高效地解出试题，而且还能增强学生的逻辑性思维，提高其辩证能力。

4.3  反证法在无穷性命题中的应用

将反证法运用在无穷性命题的解题中，能快速高效地解出正确答案。

例4：求证是无理数。

分析：基于题目给出的已知条件过少，此时，利用直接证法很难将试题解答出來。又因为无理数属于无限不循环的数值，无限和不循环在数学应用中很难用数字直观表示出来。对于这一命题，不妨假设为有理数，这样就增加了一项解题条件，那就是用分数将表示出来。

证明：假设是有理数，那么就有 a、b 属于自然数，a 和 b 互质，b≠0 ，使=a2=2b2 ，a 为偶数，表示为 a=2c ，所以 a2=4c2 ，2c2=b2 ，那么可以判断 b 为偶数。那么与 a、b 互质矛盾，所以为无理数。

5   反证法在初中数学中的作用

5.1  反证法在初中数学中的魅力

逆向思维在反证法中起着关键作用，这一思维模式下解题者可以先从命题中引入，找出其中矛盾所在，随后再确定它的真实性。反证法的思维较为特殊，要求灵活思考，初学者极易对逆向思维不习惯，进而无法掌握其中要点，很少运用这一解题方法[4]。事实上，反证法在解题中占有重要位置，解题者可在此过程中发掘出更多的解题途径。在面对不易直接求证的数学试题时，解题者就需要考虑引入反证法。这一方法不仅可在解题中使用，还可以应用在现实生活中，生活中有时也需要将问题倒过来看，以更好地解决问题。初中数学解题中，有很多问题可以利用反证法来证实，这一解题方法既方便又灵活，解出的答案准确性较高。

5.2  结合实际生活，灵活运用数学思维

思维能力的培养对学生数学学习起着关键作用，学生可以对自己做过的题进行思考，找到解题思路，增强数学学习的热情。反证法在数学解题中有着重要作用，能够锻炼学生的思维能力，使他们从实际问题出发，更好地解决问题。在此过程中，教师需要转变以往的教学模式，引导学生进行探究，充分调动其学习积极性。教师需要在教学中渗入数学思维，帮助学生喜欢上数学这门学科。

【参考文献】

[1]陈正强.初中数学解题中反证法的应用策略探析[J].考试周刊，2020（82）.

[2]黄丽红.反证法在初中数学解题中的应用[J].数学大世界（上旬），2020（5）.

[3]马多贵.反证法在初中数学解题中的应用探讨[J].学周刊，2020（12）.

[4]张本陆.反证法在初中数学解题中的应用[J].文理导航（中旬），2018（11）.