例谈小学生数学守恒观念的培养

汪东兴

摘   要：守恒是皮亚杰儿童认知发展阶段论中的核心概念之一，是获得数和量概念的重要条件。发展和培养学生守恒观念，强化学生对数学知识本质的理解，达成知识的融会贯通，在现阶段教师应重视提高学生的数学素养。教师可从培养学生的数量守恒、长度守恒、面积守恒、体积守恒观念四个方面开展教学实践，培养数学守恒观念。

关键词：小学数学;数量守恒;长度守恒;面积守恒;体积守恒

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2021）01-0048-05

守恒是皮亚杰儿童认知发展阶段论中的核心概念之一。皮亚杰认为：守恒是一种认知格式，是指物体的形式（主要是外部特征）起了变化，但是个体认识到物体的量（或内部性质）并未改变，获得守恒观念是儿童认知水平发展的一个重要标志。相关研究表明：儿童是通过可逆推理、两维互补和恒等性推理等思维形式获得守恒概念的;儿童获得不同守恒形式的年龄是不一样的，一般表现为数目守恒（6～7岁）→物质和长度守恒（7～8岁）→面积和重量守恒（9～10岁）→体积守恒（11～12岁）。小学数学教学理论认为，守恒是获得数和量概念的重要条件，儿童没有守恒观念就不能从真正意义上认识和理解数和量，把握数学知识的本质内涵。具有守观概念就表明儿童能够抓住事物的本质，对客观事物的认识已经不为物理性质的变化所迷惑。通观现行小学数学教材，不难发现：不论从教材例题的编排上还是课后习题的设计，都体现着对发展和培养学生守恒观念的重视。然而，审视我们的教学实践，教师因对发展和培养小学生守恒观念的重要性及其教学价值认识不足，导致自觉或不自觉地忽视了对小学生数学守恒观念的培养，在一定程度上影响或阻滞了小学生数学思维的发展，数学素养的提升。笔者就小学生数学守恒观念的培养谈个人拙见。

一、借助转化与推理，培养数量守恒观念

数量守恒，是指物体的数目不因物体外部特征（颜色、形状、大小等）和排列方式的改变而变化。掌握数量守恒，要求思维具有一定抽象成分，要排除外部因素的干扰，只考虑数目的多少。在皮亚杰的研究中，儿童到8岁左右才达到数量守恒。教学中，尤其是低年级教学中，教师要针对学生的思维发展特点，相机培养儿童的数量守恒观念。笔者以为，数量守恒观念可从下面三个方面进行培养：

例1：比多少。（第1册P6）

教学时，先观察小兔。问学生：“图中有几只小兔？”再问：“每只小兔搬几块砖？”1只小兔搬1块砖，4只小兔搬4块砖。然后在小兔和砖之间用小圆点连起来，正好都对上，没有多余的。由此发现小兔的只数和砖的块数同样多。然后教师将上述图形中每两块砖间的间距拉大（见上图），同样让学生观察、交流，发现小兔的只数和砖的块数同样多。

设计意图：本教学环节的安排依据就是皮亚杰所作数目守恒实验，意在通过改变砖的摆放形式制造认知冲突，刚进入一年级学习的儿童往往专注于一个维度（长度），并且使用的是知觉线索而非逻辑原则，所以他们有可能得出“兔子的只数比砖的块数少”的错误判断。此时，通过在小兔和砖之间用小圆点连起来，在两者之间建立一一对应关系，明确：虽然砖之间的距离有改变，仍是4块。兔子和砖的数目都是4，它们的数目相等。这样的教学，有助于对学生进行数量守恒的启蒙教育。

例2：乘法运算定律。（第8册P29第6题节选）

用乘法分配律计算下面各题：

103×12         24×205

指导学生解题可分如下步骤：

①引导学生观察算式中的数据，思考：题中哪些数据可写成两个数相加的和的形式？

②独立解题，汇报交流：

103×12                 103×12

=（103+3）×12          =103×（10+2）

=100×12+3×12         =103×10+103×2

=1200+36               =1030+206

=1236                   =1236

24×205                  24×205

=（20+4）×205          =24×（200+5）

=20×205+4×205       =24×200+24×5

=4100+820             =4800+120

=4920                   =4920

③對比分析，优化算法。明确：运用乘法分配律计算的目的在于使较复杂的计算转化为简单的口算，上述解法中的第1、4种方法是较为优化的算法。

设计意图：本题是应用乘法分配律使计算简便的练习。教师的指导过程，符合学生初步学习乘法分配律的学情，既可以让学生习得和积累解题经验，体验算法的优化，也可从中感受“运算形式变化，运算结果不变”的数量守恒观念。

例3：小数乘小数。（第9册P10第14题节选）

根据65×39=2535，在下面的括号里填上合适的数。你能想出几种填法？

25.35=（    ）×（    ）=（    ）×（    ）

指导学生解题可分如下步骤：

①引导学生审题，明确解题关键：根据因数与积的变化规律以及因数与积小数位数之间的关系;②启发思考：根据乘积是25.35如何确定两个因数的小数位数？③分类讨论，解决问题：

两个因数都是一位小数：算式是6.5×3.9=25.35;

一个因数是两位小数：算式是65×0.39=25.35或0.65×39=25.35;

一个因数是三位小数：算式是650×0.039=25.35或0.065×390=25.35;

……

④交流解题体会，感受“变”与“不变”。

设计意图：本题是一道要求应用因数与积的变化规律填空的开放题，通过四个环节的指导，使学生进一步体会因数与积小数位数之间的关系，培养其灵活运用小数乘法计算方法的能力。同时，感受“因数的变”与“积的不变”的关系，发展学生的数量守恒观念。

二、借助观察与操作，培养长度守恒观念

长度守恒，是指儿童对长度达到内化的可逆性认识能力，具体来说，包括当两条（或多条）相等的线段的呈现形式、位置等外在形式发生改变时，也能准确判定线段之间的相等关系。小学数学中，培养长度守恒观念常有下面三种形式：

例4：看看哪条线段长，再量一量。（第3册P9第7题）

本题中，学生一眼看上去，会产生“竖线①比横线②长些”的错误感觉。为指导学生准确做出判断，教师可设计4个环节：

①让学生观察两条线段，说一说，觉得哪条线段长？（线段①长些）;②把书转一个方向，观察两条线段，说一说，哪条线段长？（线段②长些）;③用尺子量一量，看看两条线段的长度？（两条线段都是2厘米，一样长）;④教师引导学生交流活动心得，真切感受：两条一样长的线段虽然摆放的形式发生了改变，但其长短仍然相等。

设计意图：这是一道利用人的视觉误差原理设计的趣味性题目。视觉误差，是人对外界事物的不正确的感觉或知觉之一，是最常见的是视觉错觉。一般认为，人的两眼之间有一定的距离，当人观景物时，在一定的距离下，左眼的视线向右，右眼向左，视线交叉而产生误差。案例中，通过变化学生的观察视角，得到自相矛盾的结论，以此创设疑问情境，再运用测量手段得到准确的结论，调动学生多种感官参与，能有效避免先入为主的错觉，初步养成科学严谨的良好习惯，也可相机渗透“线段长度不因摆放位置的改变而改变”的守恒观念。

例5：下面的图形分成两个部分，哪一部分的周长长？（第5册P88第9题）

由于初学长方形的周长，学生不可避免存在概念模糊，概括水平低，容易产生错误的认识：左下部分的周长比右上部分的周长长一些。教学时，教师可利用多媒体将图形一分为二。

引导学生观察发现：长方形的对边相等，长方形分成的两部分都有一条长、一条宽和一条公共边，周长都是长、宽、公共边的长度之和，所以两部分的周长相等。

设计意图：这道题同样是利用人的视觉误差原理设计的易错题。本例教学，针对学生周长概念模糊的疑点，多媒体教学手段动态直观呈现分成的两个图形，通过观察每个图形的边界，根据周长的意义求得每个图形的周长，既可以又能强化对周长概念的理解，促进概念的精确分化，也有助于通过 “形变”而“周长不变”的具体实例，感受长度守恒的观念。

例6：圆的周长计算公式的推导。（第11册P62～63）

教师的教学过程略述如下：

1.创设情境，揭示概念。以教材“要在圆桌和菜板的边缘箍上一圈铁皮，求铁皮的长度”的生活情境导入，帮助学生理解圆的周长的概念：圆一周的长度叫圆的周长。

2.激活经验，解决问题。借助学生根据生活经验或预习，尝试用圆形物体在直尺上滚一圈再量出长度或者用线在圆形物体上绕一圈，量出线的长度等方法以解决问题。

3.优化方法，提升思维。引导学生通过实验探究发现圆的周长与直径之间的关系（圆的周长总是直径的3倍多一点），进而介绍圆周率的知识，推导得出圆的周长=圆周率×直径。

设计意图：圆是曲线图形，它与以前学习的图形有本质的区别。教师借助学生已有的测量经验用“先滚后量”或“先绕后量”的方法解决情境中的实际问题，初步感受“化曲为直”的妙处，然后通过实验再次运用“化曲为直”探究周长与直径之间的关系。这样做，既可以适时提炼思想方法，提升学生思维层次，也可让学生感悟将一个未曾学过的曲线图形的长度转化为可以直接测量的直线段的长度，即线段的长度不因表现形式而发生改变的守恒观念。

三、借助运算与变换，培养面积守恒观念

面积守恒，一般可理解为图形的面积不会因为图形所在的位置或摆放形状的改变而改变。小学数学教材中，这样的例子有许多。如：

例7：面积和面积单位的认识。（第6册P65第8题）

下图中每個□代表1平方厘米，说出每个图形的面积各是多少。

教学时，可设计如下环节：

①引导学生观察两个图形，发现左图中除了4个1平方厘米的正方形，还有2个面积不够1平方厘米的三角形，右图中除了2个1平方厘米的正方形，还有2个面积不够1平方厘米的三角形;②启发思考：怎样确定2个三角形的面积？③讨论交流，明确：通过割补的方法将2个三角形拼成面积1平方厘米的正方形;④确定每个图形的面积：左图面积是5平方厘米，右图面积是4平方厘米。

设计意图：题中给出的图形有所变化，两个图中的三角形面积不够1个面积单位，教师引导学生将2个三角形拼成面积1平方厘米的正方形，再计数确定图形的面积。其意图有二：一是借助变式练习，提高学生用面积单位测量图形面积的能力;二是让学生认识到为了准确、方便数出图形的面积，可以将图形形状进行改变。但割补后的图形面积与原图形的面积不会发生改变，从而发现面积守恒观念。

例8：长方形、正方形面积的计算。（第6册P69第10题节选）

把一张边长是10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米、宽4厘米的长方形。小明想到了三种方法（如下图）。剩下部分的面积是多少？

教学时，可设计如下环节：

①不出示数据，学生观察，猜测哪个图形剩下部分的面积大？②给出数据，分别计算每个图形剩下部分的面积;③改变剪去的长方形的位置或方向，分别计算剩下部分的面积（如下图）;④比较各种情况下所剩部分的面积，并交流后发现：不管怎样剪，原来的图形和剪去的图形总是一样的，所以都可列出相同的算式10×10-6×4=76（平方厘米）来计算，剩下部分的面积都相等。

设计意图：本题是从一个图形中剪去一部分，求所剩图形的面积的问题，其理论依据就是皮亚杰所做的关于面积守恒的实验。由于所剪图形的位置与方向不同，视觉上会影响学生对所剩图形面积的大小做出判断。教师对问题的处理，可以使学生获得两方面的认识：一是面积是可以相加减的;二是从同样大小的图形中，去掉同样大小的部分，所剩图形的面积相等，而与图形的摆放形状或所在位置无关，进一步发展面积守恒观念。

四、借助实验与变式，培养体积守恒观念

体积守恒，是指物体体积的大小不会因形态、方向、位置的变化而发生改变。体积守恒和长度守恒、面积守恒同属于皮亚杰守恒观的空间结构发展，即一维守恒、二维守恒、三维守恒。教材中这样的例子也屡见不鲜，如：

例9：求不规则物体的体积。（第10册P39例6）

设法求出下面两种物体的体积：

教师的教学过程略述如下：

1.研究橡皮泥的体积求法。①分组探究测量橡皮泥的体积;②汇报交流：

第一组：把橡皮泥捏成了长方体，量出长、宽、高，再利用长方体的体积公式算出橡皮泥的体积。

第二组：把橡皮泥捏成了正方体，量出它的棱长，再利用正方体的体积公式求出橡皮泥的体积。

教师适时点拨：这种测量物体体积的方法，叫做等积变形。在捏橡皮泥的过程中不要随意把橡皮泥去掉任何一小块，去掉的话体积就变了;捏成的长方体、正方体要尽量标准，这样测量才标准，体积计算才准确。

③启发思考：在把橡皮泥捏成长方体或正方体的过程中，橡皮泥什么有变化？什么没有变化？（形状改变了，体积没变化）

2.研究土豆的体积求法。①启发思考：土豆能变形吗？怎么办？②分组探究测量土豆的体积。各组学生拿出准备好的有刻度的量筒和土豆，讨论交流并做好记录;③汇报交流：

把土豆放入水中来测量它的体积，先记录好量筒内原来水的体积是200毫升。放入土豆后，水面上升了，这时水和土豆的总体积是350毫升，土豆的体积就是350-200=150（毫升）。

教师适时点拨：这种测量物体体积的方法，叫做排水法。用排水法测量物体体积时，要注意水不能溢出来，否则测量结果会不准确。

设计意图：用等积变形、排水法测量不规则物体的体积是转化思想的具体应用。通过学生分组实验，亲身经历把先前所学的知识、方法运用于解决新的、不熟悉情境中的数学问题的解决过程，既让学生感受解决问题策略的多样化，又激活探究热情，体会 “做中学”的乐趣，同时在“形状变”而“体积不变”的比较分析中，真切感受体积守恒的妙用。

例10：圆柱与圆锥整理和复习。（第12册P38第1题）

把一块长方体钢坯铸造成一根直径为4dm的圆柱形钢筋，求钢筋的长度。

指导学生解题时，可设计如下环节：

①引导学生观察两个图形，思考：长方体钢坯铸造成圆柱形钢筋，什么发生变化？什么没变？（物体的形状发生改变，但体积没有变化）②尝试解答，汇报结果;③交流解题感受：利用立体图形“变形”前后體积不变的原理是解决此类问题的关键。

设计意图：本题属于“等积变形”问题，涉及到不同立体图形的体积计算方法，学生解题难度不大。案例中，教师引导学生仔细观察、读题审题，理解题意，找到关键信息，把生活问题转化为数学问题，自行解决，有助于不断提高分析和解决问题的综合能力。“交流解题感受”的安排，既是对解题过程的回顾与反思，也有助于发展学生的体积守恒观念。

总之，在小学数学教学中，教师要善于以教育哲学的视野审视数学知识的纵横联系，把握变与不变的辩证关系，将学生数学守恒观念的培养落实于教学全程，强化学生对数学知识本质的理解，达成知识的融会贯通，提高学生的数学素养。