初中生数学归纳推理水平的划分标准

白杰

【摘要】数学的学习需要归纳推理，在数学核心素养要求下，培养学生的归纳推理能力是初中数学教学的重要任务，这就要求数学教师对学生的数学归纳推理水平有所区分，以便更好的培养学生的数学归纳推理能力。为此，本文结合归纳推理的相关知识以及SOLO分类理论，对初中生数学归纳推理水平的进行了划分。

【关键词】SOLO分类理论;归纳推理;数学归纳推理水平

一、归纳推理现状分析

《义务教育数学课程标准》（2011年版）在对数学核心素养中的“推理能力”阐述中指出：推理能力的发展应融入每个学生的学习过程中，数学的基本思维方式是推理，推理主要包括合情推理（归纳、类比）和演绎推理，其中合情推理（归纳、类比）可以用来探索思路发现结论，演绎推理可以用来证明结论的正确性。《义务教育数学课程标准》（2011年版）强调：数学教育的基本任务之一是培养学生的“创新意识”，应贯穿在数学教与学的过程中，学生通过归纳概括提出猜想和发现规律，并对提出的猜想和发现的规律进行验证，是创新的重要方法。新课程改革以来，学生数学归纳推理能力的发展受到越来越多的关注，但是如何对学生的数学归纳推理水平做出有效的评价，一直是广大教育工作者关心的问题。为了使对学生数学归纳推理水平的评价具有可操作性，本文依据数学归纳推理的特点和SOLO分类理论初步制定了数学归纳推理水平的划分标准。

二、研究归纳推理水平的意义

第一，数学自身的发展需要归纳推理。数学是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来更像一门实验性的归纳科学。我们可以发现“正是由于合情推理中的归纳推理是从个别事实中看到真理的端倪、受到启发，提出假说和猜想，因此合情推理中的归纳推理才成为一种重要的数学发现方法，成为合情推理中的重要方法”。我们也可以发现“许多数学史上的成就，都是由于数学家运用了自己的经验归纳，凭观察、猜测大胆的提出问题，并最终给出了巧妙地证明”。归纳推理在数学以外的自然科学或社会科学及日常生活中的运用是习以为常的事，但它在数学中的作用往往被忽视了，这对于数学的发展不仅不利，而且是极其危险的，并且也不可避免的波及到其他各个领域。从以上论述中，我们可以看出数学自身的发展需要归纳推理。

第二，培养学生的数学核心素养需要归纳推理。培养学生的核心素养是当前教育的重中之重，在课程改革的进程中，《義务教育数学课程标准》（2011年版）把“推理能力”与“创新意识”作为学生数学核心素养的重要构成部分;《普通高中数学课程标准（修订稿）》把“抽象能力”以及“数据分析与知识获取能力”作为学生数学核心素养的重要方面。由于学生数学归纳推理水平的提高有利于发展学生的“推理能力”，有利于增强学生的“创新意识”，有利于学生“抽象能力”以及“数据分析与知识获取能力”的提高。所以，培养学生的数学核心素养需要归纳推理。

第三，教师的高效教学需要归纳推理。“若能把归纳推理的基本思想有限度地、有选择地、分层次地向学生予以渗透，则可以提前发挥其在培养学生推理、判断、猜想、发现等方面的作用，借以培养学生的逻辑思维能力，这不仅可以促进对数学的学习，还可以促进对其他学科的学习。”倘若教师能够把归纳推理的思想方法向学生渗透，去引导学生的学习，对于提高教师的教学效果想必会有莫大的帮助，其带来的结果或许令我们惊喜。所以，教师的高效教学需要归纳推理。

三、相关概念的界定

1.归纳

杨世明在《数学发现的艺术》一书中提出：“归纳是由个别的事例向关于这一类事物的一般性的过渡，是一种对经验，对实验结果进行去粗取精，去伪存真的综合处理方法。”刘云章在《数学直觉与发现》一书中谈到：“从特殊认识一般的推理方法叫归纳。”笔者认为归纳主要指：人们把对事物个别属性的认识提高到对事物一般性的认识，并就其规律进行探索，其中伴随着对事物的观察、猜想、实验、概括、总结等的一种处理方法。

2.归纳推理

针对归纳推理概念的界定，国内学者做过很多研究，熊惠民从数学学科的角度指出：“归纳推理，又称归纳法，指的是以个别事实为前提，以一般性命题为结论的推理。”濮方平从心理学角度指出：“由感性认识上升为理性认识的过程就是归纳法。”金岳霖从逻辑学的角度指出：“由个别的事物或现象推出该类事物或现象的推理叫归纳推理。”

3.数学归纳推理

数学中的归纳推理它遵循如下的基本推理规则：

其中S1，S2，…… Sn，是类的对象或子类。

根据推理前提中是否考察了某类事物的全部对象，归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理，完全归纳推理可以作为严格证明的工具，而不完全归纳推理的前提和结论之间只有或然的联系。因此，合情推理意义下的归纳推理主要指的是不完全归纳推理。

4.SOLO分类理论

SOLO分类理论原意为“可观察的学习结果结构”，它是一种以等级描述为特征的“质性”评价方法。比格斯等人在20世纪80年代根据皮亚杰的认知发展阶段学说，以英语、数学、语言等学业评价资料作为依据，提出了SOLO分类理论。   SOLO分类理论认为学生对某个问题的反应水平从低到高分为5个层次：（1）前结构水平（Prestructural Level）：学生对问题基本没有理解;（2）单一结构水平（Unistructural Level）：学生对问题有了一点理解，只是对问题略知一二;（3）多元结构水平（Multistructural Level）：学生对问题有了更加全面的理解， 但仍不全面;（4）关联结构水平（Relational Level）：学生对问题有了整体的把握，并能独立解决问题;（5）拓展抽象结构水平（Extended Abstract Level）：学生对问题不仅从总体上能够解决，而且还能抽象概括出问题的一般规律，使之在新的情境中加以运用。

四、SOLO分类理论指导下的数学归纳推理水平的划分标准

运用SOLO分类理论，笔者对学生的数学归纳推理水平划分如下：P水平：学生基本无法理解给定的问题或情境，只能提供一些没有理论支撑的发现和结论。U水平：学生能够通过观察或简单的计算找出问题的答案，或者由给定的情境解决显而易见的问题。M水平：学生能够通过观察、比较、分析、联想等方法解决问题，能够从解决问题中发现问题的属性，但不能掌握问题的一般解决办法，不能把握问题的整体属性。R水平：学生能够通过观察、比较、分析、联想等方法解决问题，能够从解决问题中发现问题的属性，并且对问题也有统一的解决办法，能够理解给定的情境结构，对问题的整体属性有深刻的认识。E水平：学生能够通过观察、比较、分析、联想等方法概括或抽象出问题的一般规律，得到解决问题的一般化方法，提出合理的猜想，使给定情境的意义得到拓展，从中发现问题的本质。

P、U、M、R、E五个水平分别对应SOLO分类理论的五个结构水平（前结构水平、单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平、拓展抽象结构水平），根据学生对数学归纳推理层次递进式问题的解决情况，学生数学归纳推理水平的思维水平也会表现出不同的层次。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]王宪昌.数学思维方法[M].北京：人民教育出版社，2010：134.