一类四阶微分方程边值问题解的存在唯一性

赵娇,马如云

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)

1 引言

弹性梁在平衡状态下的形变是由四阶常微分方程边值问题来描述的,近年来,关于非线性四阶常微分方程两点边值问题解的存在性,参见文献[1-8].

比如,文献[1]基于压缩映射定理研究四阶两点边值问题

得到如下结果:

(ii)|f(t,u2,v2)−f(t,u1,v1)|≤a|u2−u1|+b|v2−v1|,(t,ui,vi)∈DM,i=1,2;

则问题(1)存在唯一解.

文献[1]中问题(1)为一端固定支撑,一端自由滑动的梁方程,其非线性项f为连续函数,工作空间是C[0,1]空间,通过运用压缩映射定理得到定理1.1.这里注意到:文献[1]所用工具比较简单,由于所用工具的局限性,仅得到解的唯一性.一个自然的问题是:对于两端固定支撑的梁方程,非线性项f为更一般的Carathéodory函数时,该用什么方法考虑解的存在性及唯一性?能否在更复杂的空间,如连续可微实值函数空间及Sobolev空间研究解的存在唯一性.基于上述考虑,本文运用Leray-Schauder延拓定理考察四阶两点边值问题

解的存在唯一性.

设Ck[0,1]为k次连续可微实值函数构成的空间,其在范数

下构成Banach空间,其中

下构成Banach空间.

本文总假定:

定理 1.2 若条件(H1)-(H3)成立,则问题(2)在C1[0,1]空间至少存在一个解.

定理 1.3 若条件(H1)-(H3)成立,则问题(2)在W1,2[0,1]空间至少存在一个解.

定理 1.4 若条件(H2)-(H3)成立,则问题(2)在C1[0,1]空间和W1,2[0,1]空间都有唯一解.

注 1.1 文献[1]在非线性项f为连续函数且有界的情形下,得到了问题(1)解的唯一性.本文在非线性项 f满足 Carathéodory条件的情形下,在 C1[0,1]空间和W1,2[0,1]空间中讨论了问题(2)解的存在性和唯一性,因此推广了文献[1]的结果.

2 预备知识

(b)对几乎所有的 t∈[0,1],函数 f(t,·)连续;

引理 2.2 若h∈L1[0,1],则线性边值问题

有唯一的解

其中

证明 因为方程u(4)(t)=0的基本解组为1,t,t2,t3,故其通解为

现通过常数变易法,可以设问题(3)的解

将 u(0)=u′(0)=u(1)=u′(1)=0,带入 (4)式及上式可得

因此

将上式带入(4)式,进一步整理可得

引理 2.3[10](Wirtinger不等式) 设u∈W2,2[0,1],若u(0)=u(1)=0,则

进一步,若u(0)=0或u(1)=0,则

引理 2.4 若 u∈W2,2[0,1]且满足边界条件 u(0)=u′(0)=u(1)=u′(1)=0,则

证明 第一步证明(7)式.由u(0)=0,结合(6)式可得

故

因此 ‖u‖∞≤‖u′‖∞≤‖u′‖2.

3 主要结果的证明

易见对任意的u∈D(L),有KLu=u及对任意的h∈L1[0,1],有LKh=h.

定义非线性映射 N:C1[0,1]→L1[0,1]为 (Nu)(t)=f(t,u(t),u′(t)),t∈[0,1].因为 f为 Carathéodory函数,故根据Arzela-Ascoli定理可知,KN 将C1[0,1]中的有界集映为C3[0,1]⊂C1[0,1]中相对紧集.因此,KN:C1[0,1]→C1[0,1]是一个紧映射.

现在,u是问题 (2)的解当且仅当 u是算子方程 Lu=Nu的解.而算子方程Lu=Nu又等价于不动点问题u=KNu.下面将运用Leray-Schauder延拓定理证明u=KNu存在不动点,从而证明了问题(2)的解存在.

为证u=KNu存在不动点,只需证明同伦族问题

的所有可能的解有一个不依赖于λ∈[0,1]的先验界.

设u是同伦族问题(9)的一个解,在问题(9)的方程两端同时乘以u然后0到1上积分,进一步结合引理2.4,条件(H1)以及H´older不等式,可得

因此,

由(8)式,条件(H3)可知,存在一个不依赖λ∈[0,1]的正常数C使得 ‖u‖C1[0,1]≤C,因此,问题(2)在C1[0,1]中至少存在一个解.

定理 1.3的证明 类似于定理1.2的证明,只需证明同伦族问题(9)的所有可能的解有一个不依赖于λ∈[0,1]的先验界.根据(7)-(8)式可得

由条件(H3)可知,存在一个不依赖于λ∈[0,1]的正常数C0使得

因此,问题(2)在W1,2[0,1]中至少存在一个解.

定理 1.4的证明 令u1=u,v1=v,u2=v2=0,则根据条件(H2)可得

故条件 (H1)成立.又因为条件 (H3)成立,因此,根据定理 1.2,定理 1.3可知,问题(2)至少存在一个解.

因此,

4 应用

例4.1 对边值问题

满足条件(H2),根据定理1.4,问题(15)在C1[0,1]与W1,2(0,1)内均存在唯一解.

根据引理2.2,所得唯一解

例4.2 对边值问题

满足条件 (H2),这里 p(t)=α,q(t)=0,显然条件 (H3)满足.根据定理 1.4及引理2.2可得

即得到问题(16)的唯一解.