多维并举理解算理，让数学计算有理可讲

沈永青

[摘 要]算理探究是培养学生计算能力，发展学生数学思维的重要途径，学生只有深刻理解算理，才能更灵活地运算。让学生在操作、生活情境、几何直观中理解算理，能促进学生理解数学，发展数学思维。

[关键词]算理;计算;小学数学

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0090-02

课标指出，计算教学要引导学生理解算理、掌握算法，通过必要的练习逐步达到教学要求。算理是对算法的解释，理解算理是构建算法的基础。如果说算法是解决“怎么算”的问题，那么，算理就是在解决“为什么这么算”的问题。在计算教学中，教师不仅要让学生学会算法、掌握运算技能，而且要引导学生对算理进行深度剖析，使学生在充分理解算理的基础上运用算法进行数学运算。学生只有深刻理解算理，才能更加灵活地运用算法进行运算。算理探究是促进学生理解数学、发展学生数学思维的重要途径。那么，在教学实践中，如何使学生更好地理解算理呢？笔者结合自身教学实践，论述在数学课堂中促进学生理解算理的方法，期望能够起到抛砖引玉的作用。

一、在操作中理解算理

心理學家皮亚杰曾言：“活动是认识的基础，智慧从动手开始。”算理指向的是计算过程中的道理，具有一定的抽象性。小学生以形象思维为主，抽象思维薄弱，这就意味着让学生理解算理并非易事。如何在算理的抽象性和思维的形象性之间搭建桥梁？动手操作无疑是一种有效手段。数学操作具有很强的直观性，可以使内隐的算理以可感可视的方式呈现出来，从而促进学生对算理的理解，为构建算法提供原型支撑。

【例1】“有余数的除法”教学节选

师：请同学们观察下列式子，说一说你的发现。

9÷2=4……1     8÷3=2……2

10÷4=2……2  11÷5=2……1

生1：这几个除法算式都有余数。

师：余数和除数之间有什么关系呢？

生2：余数比除数小。

师：所有的余数都比除数小吗？

（学生讨论）

师：现在我们通过摆正方形的方式来验证自己的猜想。请同学们拿出小棒，以小组为单位分别用8根、9根、10根、11根小棒摆正方形，并用算式表示摆小棒的过程，摆完后说一说你的发现。

生3：我们小组用8根小棒摆了2个正方形，小棒没有剩余，用算式可以表示为8÷4=2;用9根小棒摆了2个正方形，剩余1根小棒，可以用算式表示为9÷4=2……1;用10根小棒摆了2个正方形，剩余2根小棒，可以用算式表示为10÷4=2……2;用11根小棒摆了2个正方形，剩余3根小棒，可以用算式表示为11÷4=2……3。

生4：除数是4时，如果有余数，那么余数是1、2、3中的一个。

生5：看来余数的确小于除数。

师：请同学们结合刚才摆小棒的过程想一想，余数有可能是4、5、6、7吗？

生6：余数不可能是4、5、6、7。因为余数如果是4，就可以再摆出1个正方形;余数如果是5，就可以再摆出1个正方形还余下1根小棒;余数如果是6，就可以再摆出1个正方形还余下2根小棒;余数如果是7，就可以再摆出1个正方形还余下3根小棒。因此，余数一定比4小。

师：对。如果余数等于或者大于除数，我们就可以继续摆出正方形，直到剩余的小棒不够再摆出1个正方形。因此，余数一定比除数小。

数学操作是学生认识、理解算理的重要途径。教学中，教师引导学生通过摆正方形理解了“余数小于除数”，同时，在动手操作的基础上，教师引导学生进一步思考：如果余数大于除数会怎样？正是通过这种逆向思维，使得学生深刻理解了“余数小于除数”的算理。

二、在生活情境中理解算理

波利亚曾言：“抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们看得见、摸得着。”数学源于生活，无论数学知识如何复杂，都与实际生活有着某种内在联系。虽然算理是抽象的，但是当把算理与生活中的事例进行关联时，就能够揭开算理那层“神秘的面纱”，使学生产生一种似曾相识的亲切感，进而通过解决实际问题更好地理解算理，为进一步构建算法打下坚实的基础。

【例2】教学“a÷（b×c）=a÷b÷c”

师：1个人2周可产生约28千克垃圾，那么1个人平均每天可产生多少千克垃圾？

生1：我的计算思路是先算出2周一共有多少天，然后再算1个人平均每天可产生多少千克垃圾。列的算式为28÷（2×7）=2（千克）。

生2：我的计算思路是先算出1个人每周可产生多少千克垃圾，然后再算出1个人每天可产生多少千克垃圾。列的算式为28÷2÷7=2（千克）。

生3：他们的计算思路不同，结果却相同。

师：我们用字母表示上面的式子就是a÷（b×c）=a÷b÷c。

算理融入生活情境中，算理就变得鲜活起来。教学中，教师并未让学生举大量实例，而是引导学生通过解决实际问题来理解“a÷（b×c）=a÷b÷c”的道理，这就减缓了学生认知算理的坡度，增进了学生对知识的认知深度。

【例3】教学“a+b-c=a-c+b”

师：请同学们计算158+26-58。

（大部分学生都选择了158-58+26这样的简便算法）

师：请同学们说一说，你们是怎样想到这种算法的？

生1：我先算了184-58=126，然后算158-58+26=126，这两种算法结果一样，所以上面的简便算法是正确的。

生2：我用几个简单的式子试了试，在验证这种算法正确以后，才利用这种简便算法进行运算。比如12+5-2=12-2+5=15，28+6-8=28-8+6=26，这两个算式都证明先加再减与先减再加结果是一样的。

生3：我想象了一个场景，假设一列火车上原来 有158名乘客，当火车到达一个站点后，上来26人，下去58人，现在火车上有多少名乘客？我考虑到不管是先上来26人再下去58人，还是先下去58人再上来26人，最后火车上乘客的数量是一样的。由此，我确定了158+26-58=158-58+26。

师：用字母表示上面的式子就是“a+b-c=a-c+b”。

当数学和生活密切关联时，数学才是活的，才是富有生命力和吸引力的。教学中，3名学生对于数学算理的认知呈现出明显的递进性。生1对“a+b-c=a-c+b”的认知处在比较浅显的层次，知其然不知其所以然;生2能够运用多个式子来验证“a+b-c=a-c+b”，可见其思维具有一定的严密性;生3把生活实例与抽象的数学算理相结合，使得对算理的理解变得更加容易，也更加深入。

三、在几何直观中理解算理

课标指出，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。数学图形以其直观性成为破解数学知识抽象性的重要手段，为我们解决数学问题提供了强有力的帮助。在教学中，教師合理利用几何直观的策略，能够使抽象的算理变得直观，从而促进学生对算理的认识和理解，提升学生的运算能力。

【例4】 “小数乘小数”教学节选

师：请同学们看下图，并试着计算街心广场、花坛和地砖的面积。

生1：由长方形的面积公式可以得知，街心广场的面积是20×30=600（平方米），花坛的面积是3×2=6（平方米），地砖的面积是0.3×0.2，具体得数我不清楚。

生2：小数乘小数应该怎么算呢？

生3：0.3米=3分米，0.2米=2分米，3×2=6（平方分米）=0.06（平方米）。因此，0.3×0.2=0.06。

生4：这种转化比较麻烦，而且也不好理解。

师：现在请同学们看下面的图形，你能说一说图形表达的意思吗？

生5：根据图形可以得知，把面积为1平方米的大正方形平均分割成100个小正方形，每个小正方形的边长是0.1米，面积是0.01平方米。3×2的长方形的长是0.3米，宽是0.2米，面积等于6个小正方形的面积，即0.01×6=0.06（平方米）。因此，0.3×0.2=0.06。

生6：有了这个图形，问题变得更加简单了。

直观图形在促进学生理解算理的过程中具有重要作用。教学中，学生通过自主探索，采用转化单位的方式计算出0.3×0.2=0.06，但是由于缺乏直观图形的支撑，学生对算理的理解还处在比较朦胧的状态。教师引导学生通过观察、分析“百格图”，使抽象的数学算理变得清晰可见，学生对0.3×0.2=0.06的理解更加深刻。

理解数学算理是构建数学算法、形成计算能力的重要环节。“授人以鱼，不如授人以渔”，在计算教学中，教师应引导学生把计算建立在对算理的深刻理解之上，使学生掌握的数学算法更加扎实稳固。学生只有深刻地理解了算法背后的算理，才能在计算中灵活运用算法，从而稳步提升运算能力。

（责编 杨偲培）