分类列举：探索从“无序”走向“有序”

丁洪

[摘 要]分类列举是重要的数学方法，它能使探索从“无序”走向“有序”。在具体实践中，要注重分类的封闭，用列举验证猜想;要注重分类的生长，借列举有序探索;要注重分类的迁移，助列举内化模型;还要注重分类的联结，促列举感悟价值。最终，让学生体验探索的愉悦，获得学习的成功。

[关键词]分类列举;和与积的奇偶性;探索规律

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0009-02

分类一般有两个序列，即“等级分类”和“并列分类”。其中，前者表现为纵向排列，类似于套筒式地一级包含一级，描述了概念之间的从属关系;后者表现为横向排列，每个部分不重复、不遗漏、不交叉，描述的是概念之间的平行关系。列举一般也有两种情形，即“完全列举”和“部分列举”。其中，前者是将所有可能的结果全部呈现出来，过程演绎的是完全归纳，所得结论是必然的;后者是根据需要呈现相关特例，过程演绎的是不完全归纳，所得结论是或然的。应该说，在分类的基础上，列举将会变得更有序、有理和有效。

“和与积的奇偶性”是苏教版教材五年级下册编排的“探索规律”的专题活动，属于“数与代数”板块。从探索对象来看，与生活现象不同的是，本课直接研究数学现象;从知识溯源来看，原来是静态判断一个数的奇偶性，现在变为动态判断一个算式结果的奇偶性;从探索方法来看，因为和与积的运算过程复杂，所以需要分门别类列举探索。问题是，分类封闭后，列举的具体内容如何确定？分类生长时，列举的表征方式如何选择？分类迁移中，列举的无痕内化如何实现？分类联结处，列举的价值感悟如何达成？等等。透过现象看本质，不同阶段的探索目标不一样，但是探索的操作需求一致，即从“无序”走向“有序”。

一、分类封闭，列举验证

一般而言，分类封闭是“并列分类”的基本原则。遵循这个原则进行分类，就是将数学对象按照一定标准分成若干部分，做到部分与部分之间不重不漏。显然，这样“化整为零”的各个击破，可以增强探索的针对性和实效性。

首先，通过问题“你能说说奇数和偶数各有什么特点吗？”驱动学生调用原有的判断经验——只需要看这个数的个位，回顾具体的判断方法，即个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。当经验和方法融为一体时，“一个数的奇偶性”就变得一目了然。其次，通过问题“任意选两个不是0的自然数，求出它们的和，再看看和是奇数还是偶数。”驱动学生借助列举进行探索。这里不管是先分类、再列举，还是先列举、再分类，重点都是将思维引向分类探索：第一类是“偶数+偶数”，加数都是偶数，和是偶数;第二类是“奇数+奇数”，加数都是奇数，和也是偶数;第三类是“偶數+奇数”，加数中既有偶数，也有奇数，和却是奇数。需要指明的是，“和”是运算的结果，它的奇偶性与组成的每一个加数的奇偶性都有关。在这里，情况复杂了，反而彰显了分类列举的价值。最后，通过“你能再举一些例子，验证自己的发现吗？”的拓展，一方面引导学生继续感知“两个数的奇偶性相同时，和一定是偶数”的数学事实;另一方面通过两个层次的思考，一是“数学课本左、右两边页码的和都是奇数”，二是“任意两个相邻自然数的和都是奇数”，驱动学生的思维从零散碎片逐渐走向系统整体。

应该说，封闭、自洽的分类是列举的前提和基础。列举时还需要适当侧重，一方面要把主要精力放在重点类别上，给予探索第三类的时间和空间;另一方面要尽可能进行完全列举，不具备完全列举条件的，也要在特例的基础上加以概括和推理，帮助学生跳出单个静态的例子，形成连续动态的思维。

二、分类生长，列举探索

两个非0自然数和的奇偶性分成三类来探索，过程清晰，结论明确。迁移到多个非0自然数和的奇偶性，也可以分成三类来探索，即第一类全是偶数，第二类全是奇数，第三类奇偶混合，然后分别有序列举，化复杂问题为简单操作。

具体而言，探索第一类时，引领学生经历偶数的个数从2个变为3个、4个……的过程，使学生初步体验到：偶数的个数虽然增加了，但是它们和的奇偶性并没有发生变化。显然，多个非0偶数的和是偶数，结果是唯一确定的，并且具有稳定性和连续性的特征。探索第二类时，同样先引领学生经历奇数的个数从2个变为3个、4个……的过程，通过各种形式的举例验证，初步体验到：奇数的个数增加了，它们和的奇偶性也随之发生变化（如图1）。接着，引导学生观察，使得学生发现：当奇数的个数是1、3、5、7……时，它们的和是奇数;当奇数的个数是2、4、6、8……时，它们的和是偶数。显然，多个非0奇数的和可能是奇数，也可能是偶数，虽然二者必居其一，但是结果并不唯一确定，起决定作用的是奇数的个数。探索第三类时，首先有序增加偶数的个数，学生发现无论增加多少个偶数，结果的奇偶性都没有发生改变，体验到“在奇偶混合加法中，偶数的影响力可以‘忽略不计”;然后引导学生有序增加奇数的个数，发现奇数增加到偶数个时，结果就是偶数，增加到奇数个时，结果又变成了奇数，这种规律与第二类的规律是一致的。

应该说，随着列举数量的逐步增多，探索过程有序推进，规律发现能够高效达成。需要注意的是，学生列举的探索形式可以多样，利用具体数据、数形结合、逻辑推理都是可以的，但教师仍然需要引导学生将这些生动的表征形式引向深刻的模型建构，这符合学科知识的建构需要，也符合学生思维的发展需求。

三、分类迁移，列举内化

在学生探索和的奇偶性的过程中，教师可以适当介入和帮扶。积的奇偶性延续了原有的探索方法和路径，可以放手让学生自主分类和自动列举，并在小组内分享过程和修正思考之后，自然建构相关数学模型。

首先，通过“几个数的乘积，什么情况下是奇数？什么情况下是偶数？”的设问，驱动学生自主架构研究的类别，从而体验到问题的情境发生了变化，但是问题解构成的类别相同，即“全是偶数”“全是奇数”和“奇偶混合”。其次，学生根据相应类别有序列举，在第一类中，依次增加偶数的个数，发现积还是偶数;在第二类中，依次增加奇数的个数，发现积还是奇数;在第三类中，无论是依次增加偶数的个数，还是依次增加奇数的个数，发现积依然是偶数。最后，引导学生从有无偶数的标准出发，观察、对比和概括出规律特征，即“有偶则偶”和“无偶则奇”。这样的总结朗朗上口，方便辨识和应用。

应该说，学生的探索从“扶着走”顺利过渡到“放手做”，探索空间变大，自主意识增强，建构能力提升。因此，如果有可能，“积的奇偶性”的分类列举尽量当堂完成，这样才能完美演绎探索的及时性、对比性和延续性。

四、分类联结，列举感悟

是用就事论事的眼光看待问题，还是用寻求联系的视角思考问题，这不仅表现为外在的自主选择，更触及内在的思维习惯。而教学的意蕴在于用“有意向地示范”驱动“有目的地内化”，以实现从“学会”到“会学”的自然过渡。

首先，是知识之间的联系。比如，“偶数+偶数+偶数+……”可以抽象概括成“偶数×个数”，然后联系“有偶则偶”的乘法规律，使学生体会到所得结论与个数无关;“奇数+奇数+奇数+……”可以抽象概括成“奇数×个数”，然后联系“有偶则偶”“无偶则奇”的乘法规律，引导学生发现决定和的奇偶性的因素是奇数的个数。显然，这样的巧妙转化，有效构建了不同数学模型之间的有机联系。其次，是方法层面的联系。通过“回顾探索和发现规律的过程，说说自己的体会”引导学生从方法层面进行反思，学生感悟到“多写一些算式，并进行比较，才能发现规律。”“要注意从不同的算式中发现共同的特点。”“举例和验证是发现规律的好方法。”显然，这样的总结提炼，让学生的学习从特殊走向一般。最后，是思想层面的联系。这一层次的联系并不独立存在，它散落于单个的探索以及知识层面和方法层面中，应该说，抽象、建模和推理一直在发生，而且三者联系紧密，从未缺席探索活动的全过程。显然，用数学思想驱动数学学习，这样的教学视域更广阔。

综上，探索教学的本意不在知识本身，但是没有知识的生长、方法的联系和思想的沉淀，探索活动一定是“空中楼阁”，华而不实。因此，探索教学应该基于具体知识，又不拘泥于具体知识，要想办法超越具体知识，使得探索教学在体现本身价值意蕴的同时，携手课程知识和谐共建，并让学生在此过程中体验探索的愉悦，获得学习的成功。

[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究”阶段性成果（课题批准文号：C-b/2020/02/26）。]

（责编 金 铃）