发展数学思维 培养空间观念

常秀萍

[摘 要]培养学生空间思维和空间观念是小学数学的重要教学任务之一。以 “圆柱的表面积”教学为例，论述在数学课堂如何激活学生的空间观念，发展学生的空间观念，强化学生的空间观念。

[关键词]圆柱;表面积;空间观念

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）11-0072-02

培养学生的空间思维和空间观念是小学数学的重要教学任务之一。在教学中，教师应合理利用各种教学手段，从学生的认知水平出发，把抽象的几何图形与现实生活中的事物联系起来，从而有效化解几何图像的抽象性，助力学生更快、更好地建构空间观念。下面以 “圆柱的表面积”教学为例，论述培养学生空间观念的策略。

一、把握知识联系，激活空间观念

学生在学习新知之前已经具备了一定的认知经验和知识基础。教师要注重把握新旧知识的联系，在讲授新知之前复习旧知，唤醒学生已有的空间观念：一是要从学生已有的旧知中寻找切入点，这样不但能温故知新，还能激活学生已有的空间观念;二是借助生活中的感性材料，使学生初步建立图形表象，激活学生的空间观念。

【教学片段1】

师：我们已经学过了长方体的表面积。请拿出长方体学具，说说长方体的表面积指的是什么？

生1：长方体有6个面，它的表面积指的是把这6个面的面积加起来。

师：长方体的6个面有什么特点？

生2：长方体的6个面都是平平的，而且都是长方形。

生3：也有可能有两个正方形。

师：拿出圆柱学具，说说圆柱的表面积指的是什么。

生4：圆柱的表面积指的是两个底面的面积加上侧面的面积。

师：圆柱的表面有什么特点？

生5：上下两个底面都是平平的圆形，但侧面不是一个平面图形，而是一个曲面。

师：如果要制作一个圆柱形纸盒，接口处不计，至少需要多大面积的纸板呢？

生6：这就是求圆柱的表面积。

生7：它的底面是个圆形，面积很容易就能求出来，可是它的侧面怎么求呢？

生8：求圆的面积时，是把圆转化成长方形。现在或许也可以把圆柱的侧面转化成我们学过的图形。

师：那让我们一起来探究圆柱的表面积公式吧！

教师首先引导学生复习长方体表面积的相关知识，激活了学生已有的空间观念，为进一步探究圆柱的表面积奠定了知识基础;接着通过看一看、摸一摸、说一说的数学活动，使学生更好地理解了圆柱的表面积的含义，初步建立起圆柱的空间表象;最后，创设情境，激发学生的认知冲突。在“制作圆柱”的情境中，学生利用“旧知”无法解决新的问题，学生达到了“ 心求通而未达 ，口欲言而未能”的“ 愤悱”状态 ，从而产生了探求新知的强烈欲望。

二、引导数学操作，发展空间观念

在数学教学中，教师应该指导学生进行实践操作，促使学生建构几何概念，发展空间观念，具体可从以下三个方面入手，一是在操作中观察;二是在操作中思考;三是在操作中想象。

【教学片段2】

师：我们通过讨论得知，圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加上底面积的2倍。

生1：圆柱的底面积很好计算，问题是圆柱的侧面是个曲面，不容易计算。

师：是不是可以尝试把圆柱的侧面转化成我们学过的图形呢？

生2：对，我们以前经常用转化的方法解决问题。

师：请拿出一张长方形的纸，把它卷起来，你有什么发现？

生3：可以卷成一个圆柱。

师：如果沿着它的侧面剪开呢？

师：请拿出圆柱学具，以小组为单位进行操作，看看会有什么发现。

（学生操作，教师指导）

师：圆柱的侧面转化成了什么图形？是如何转化的？

生4：剪开后展开，得到一个长方形。

师：长方形与圆柱的侧面有什么关系呢？

生5：它们的面积是相等的。因为只是形状发生了变化，并没有增大或者减小。长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高。

师：那如何求出圆柱的侧面积呢？

生6：圆柱的侧面积=长方形面积=长×宽=Ch=2πrh。圆柱的表面积=侧面积+底面积×2=2πrh+2πr2。（如图1）

师：对，圆柱的侧面是个曲面，我们把它转化成长方形，就可以直接求出它的面积了。

生7：我们组有新的发现。我们不小心剪“偏”了，却意外地发现，圆柱的侧面变成了一个平行四边形。（如图2）

师：平行四边形与圆柱的侧面之间有什么关系呢？

生8：圆柱的侧面积=平行四边形面积=底×高=Ch=2πrh。圓柱的表面积=侧面积+底面积×2=2πrh+2πr2。

生9：我们剪开后得到了一个正方形（如图3）。正方形的一条边长等于圆柱的底面周长，另一条边长等于圆柱的高。因此，圆柱的侧面积=正方形面积=边长×边长=Ch=2πrh。圆柱的表面积=侧面积+底面积×2=2πrh+2πr2。

师：想一想，什么情况下圆柱的侧面展开才是一个正方形呢？

生10：圆柱的底面周长等于圆柱的高时，圆柱侧面展开图是一个正方形。

师：条条大道通罗马。无论圆柱的侧面展开是长方形、平行四边形，还是正方形，都能得出圆柱的表面积=侧面积+底面积×2=2πrh+2πr2。

通过数学操作，学生逐步发展了空间观念：一是在图形转化中发展空间观念。求圆柱的表面积的关键点在于求圆柱的侧面积，学生在操作中虽然将圆柱的侧面分别转化成了长方形、平行四边形和正方形，但是殊途同归般地得出了相同的结论。教师引导学生分析新图形与原图形之间的关系，使学生体验到了图形转化的奥妙以及“化曲为直”的魅力;二是“做”与“思”相结合。在操作的过程中，教师始终以问题 “转化成什么？”“如何转化？”“新图形与原图形之间有什么关系？” 引领学生，赋予数学操作更深刻的思维意蕴，从而在发展学生数学思维的基础上，发展了学生的空间观念。

三、实现思维创新，强化空间观念

“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”发展学生的创新思维，既是数学教学的重要任务，也是学生未来发展的需求。在数学教学中，学生通过质疑、探究、操作等方式，可充分发挥想象力，创造性地把立体图形转化成平面图形，在解决问题的过程中实现思维创新，强化空间观念。

【教学片段3】

生1：尽管我们得出了圆柱的表面积公式，但是这样的公式看起来并不简单，计算起来也很麻烦。

师：有更好的办法让计算公式变得简单吗？

生2：可以借鉴圆形转化成长方形的经验，把圆柱的两个底面也转化成长方形，合并在圆柱的侧面转化成的长方形中，从而得到一个大长方形，只要求出这个大长方形的面积，就可以求出圆柱的表面积了。如图4，大长方形的长就是圆柱的底面周长C，高就是（h+r），圆柱的表面积S=C（h+r）。

生3：把整个圆柱的表面变成了一个长方形，这个办法真奇妙呀。

利用常规的图形转化得出圆柱的表面积计算公式后，不少教师就会认为教学目标已经完成。实际上，引导学生进一步探索，把圆的面积推导经验迁移至圆柱当中，就会有意想不到的收获。学生通过把圆柱的表面转化成长方形，实现了立体图形与平面图形的“无缝对接”，还进一步强化了空间观念。

培养学生的空间观念并非朝夕之功，而需要滴水穿石的韧劲和坚持。在教学中，教师要深入挖掘教材资源，密切联系现实生活，为学生空间观念的发展提供大量丰富感性的素材，使学生在动手操作中发展数学思维，在图形转化中发展空间观念，实现“数学思维”与“空间观念”的“双丰收”。

（责编 童 夏）