乘法概念的二重性及其教学启示

孙姝佳 李明兰

[摘 要]乘法概念在小学数学学习的不同阶段多次出现，然而学生对乘法概念的掌握并不理想。从概念二重性理论对乘法概念进行分析，得出对乘法的理解应具有过程性和对象性，而且过程性意义先于对象性意义，过程性意义也是掌握概念的必要条件，而对象性意义是在操作阶段逐步反省后形成的。

[关键词]乘法;概念二重性;过程性;对象性;教学启示

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0052-02

一、问题的提出

小学数学中对于乘法的学习是从整数乘法开始的，后经过小数乘法再到分数乘法，可以说乘法的学习贯穿于小学的各个阶段。如果学生对乘法概念没有一个很好的理解，那么他们对于乘法的学习将会变为机械的记忆。

比如，在学习整数乘法时，学生普遍将乘法理解为连加。如“3×5”表示3个5相加，即“5+5+5”。然而在以后的学习中，遇到小数乘法，如“1.34×2.7”时，学生便不知该如何理解这个式子。

是什么原因导致这种现象出现呢？ 这涉及乘法概念的特征及对乘法概念的理解问题。本文将尝试从一个全新的角度来探讨这一问题。

二、 问题的研究——乘法概念的二重性

本文对于乘法概念的研究借助的是A.Sfard在20世纪90年代提出的数学概念二重性理论。该理论认为许多概念既表现为一种过程操作，又表现为对象结构，概念往往兼有这样的二重性。比如三角函数sinα，既可以看作直角三角形中锐角的对边与斜边之比 x/r ， 此时三角函数概念被理解为一种数学运算，体现过程性特点;也可以将其当成计算的一个结果，此时概念具备对象性特点。

我们也可以将乘法理解为具有这样二重性的概念。乘法的学习是从整数乘法开始的，学生对乘法的理解局限在“连加”的意义上，而这种理解体现了一种过程性，学生仍把乘法看作几个几相加，并没有把乘法概念与加法概念做本质的区分。学生只有将乘法作为一种新的运算来理解时，乘法概念才成为一种具有结构性的对象。

巩子坤曾将对乘法概念的理解分为两部分：乘法意义的理解和乘法运算的理解（乘法运算的理解又包括对运算算理和运算法则的理解）。事实上，意义的理解体现了乘法概念过程性的一面，运算的理解则体现了乘法概念对象性的一面。

对于乘法意义的理解表现为实现乘法各个表征之间的转化。比如对于用符号表达的式子“15×4”，学生可将其理解为一种现实情境的表征：小鹏有15个玻璃球，小红的玻璃球的个数是小鹏的4倍，小红有多少个玻璃球;也可以用语言表征来叙述式子的意义：4个15相加是多少;当然也可以用连续型或离散型图像来表示式子的意义;又或是用实物操作来解释式子的含义。这些都是学生对乘法意义的理解，我们不难看出，这些表征都体现了一种操作性，是动态的、有步骤的。

而对于乘法运算的理解则是在对乘法运算算理理解的基础上，掌握乘法运算法则，从而达到对乘法概念的整体性理解，并将乘法概念看作一种不同于加法的新运算，从而将乘法概念看作一种结构化的对象。这种结构化的对象作为一种运算，不仅形成具有运算性质、运算定律等层次性和关系性的内部组织，而且能打破本身的局限性，伸展出一些“触角”，比如与其他概念（如幂运算）的纵横联系，编织成网络。

因此，对于文章开头的现象，也许我们可以归因于学生未真正理解乘法的概念，但更深层次的原因在于乘法概念具有二重性的特征，而学生只停留在乘法过程性的理解，没有将其作为一个结构化的对象。

三、进一步研究——过程性意义先于对象性意义

学习一种运算，首先要让学生理解运算的意义，因为只有理解了运算的意义，才能知道何时使用这种运算，也才能从意义出发推导运算的法则。加之上述对乘法概念特征的分析不难看出，乘法概念过程性意义的学习确实应先于对象性意义的学习。

闫云梅等人曾在论文中分析乘法的现实模型，提出了实现乘法概念建构的教学建议。笔者整理分析得出如图1所示的教学示意图。可以看出，对于乘法概念的学习需经历两次建构，第一次建构从乘法的现实模型中逐步实现;第二次建构通过数系的扩展来实现。

对于第一次建构，是经历多种现实模型后逐步实现的，刚开始对乘法概念的理解依靠于现实情境，这具有操作性特点;经过“同数连加”，到“加法结构转变为乘法结构”，再到慢慢理解算理，直到最后总结出乘法运算律，乘法概念才开始成为一个较完整的对象。这个转变不经一定数量的操作是得不出本质规律的，更无法将概念发展成为对象，因此过程性意义要先于对象性意义去掌握且很有必要。

第一次乘法概念的建构为小数乘法、分数乘法的学习奠定基础，随后通过数系的拓展，又将乘法概念的系统做了第二次完善。如果在整数乘法的学习中没有理解到概念的对象层面，那么学生将无法理解小数、分数乘法的意义，对运算法则的学习也将变为机械记忆。对于“1.34×2.7”这个式子，只有经过对象化过程后，不再将乘法看作“连加”的过程，而是依照乘法运算规律，将乘法看作一种新的独立的运算，才可以从乘法分配率来抽象理解这个式子，或者从乘法的“因数的变化引起积的变化规律”来形式化理解这个式子。

可见，乘法概念具有过程性和对象性，对这两个层面的理解并不矛盾。过程性意义先于对象性意义，过程性意义是掌握概念的必要条件，而对象性意义是在操作阶段逐步反省后形成的。

四、教学启示

1.重視乘法概念的教学

过程与对象同属于乘法概念的两个侧面。概念学习中， 过程与对象的作用同等重要， 二者不可偏废。对乘法概念的教学若不重视从过程性过渡到对象性，学生很难利用乘法的性质来解决问题。根据巩子坤的研究，事实上也确实如此。尽管课堂上有对学生从过程到对象的引导，但学生在独立解决问题时仍倾向于直接进行运算，或直观给出解释，而非用乘法运算规律进行理解。这说明当前我们对于乘法概念的教学不够重视，学生仍局限于对运算法则的机械记忆，还未从根本上将乘法概念作为一个对象。因此，教师应进一步重视乘法概念的教学。

2.注重从“过程”到“对象”的螺旋上升

乘法概念在小学数学学习的不同阶段多次出现，我们要注意乘法知识的螺旋上升，逐步深化学生对概念的理解。在低年级，乘法从几个相同的数相加开始学习，后来随着学习的数越来越大，直到引入乘法的竖式计算，这时教师会对学生解释竖式计算的算理，使学生初步了解乘法运算的规律并总结出乘法运算律，对乘法的理解也逐渐从过程上升到对象。进入高年级，在学习了小数、分数后，学生又进一步理解数系扩展后的乘法意义，将整数乘法运算规律类比到小数、分数乘法的学习中，同时补充“乘法也表示一个数的几分之几”的过程性意义。从微观看，对于同一个概念可能会得到不止一个“过程—对象”的区分方式。

3.使学生形成良好的概念体系

对概念的理解形成体系，不仅有利于形成具有层次性、关系性的内部知识，且易发现概念与外部知识的关系，从而形成更大的知识网络体系。事实上，作为对象的概念，在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：它既操作别的对象，又被高层次的运算来操作，也就是说，对于成为对象的概念更容易形成概念系统，从而更利于整体把握知识。因此，教师应注重让学生形成良好的概念体系。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 李士锜.熟能生巧吗[J].数学教育学报，1996，5（3）.

[2] 巩子坤.有理数运算的理解水平及其教与学的策略研究[D].重庆：西南大学，2006.

[3] 李士锜. 熟能生笨吗？：再谈“熟能生巧”问题[J].数学教育学报，1999，8（3）.

[4] 人民教育出版社小学数学室.小学数学教材教法（第二册）[M].北京：人民教育出版社，2001.

[5] 闫云梅，刘琳娜，刘加霞.小学阶段乘法的不同现实模型分析与教学建议[J].课程·教材·教法，2014，34（3）.

[6] 佘文娟，王光明.也谈A.Sfard数学概念的二重性理论[J].数学通报，2013，52（8）.

（责编 罗 艳）