谈小数概念课教学的有效性

李志 涂几会

[摘 要]小数概念课教学是数学概念教学的重要部分，理解小数的概念，为学习小数的大小比较、小数的性质、小数的加减法以及解决实际问题奠定知识基础。在教学小数概念时，教师要关注三个核心概念，渗透三种重要的数学思想方法，引导学生经历小数认知过程中的五个不同层次。通过“三三五教学策略”，提高小数概念课教学的有效性。

[关键词]小数概念课教学;有效性;核心;思想方法

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0047-03

小数的认识，是数学领域对于整数离散性到小数的稠密性的一次重要扩充。而小数的认识是数学概念教学的重要部分，对学生来说，学习小数是数域的一次扩充。关于小数概念的教学，人教版教材分两个阶段进行，第一阶段安排在三年级下册，第二阶段安排在四年级下册。三、四年级是学生数学学习、数学思维转换的关键时期，况且，小数的概念是小数知识体系的基础，所以提高小数概念课教学的有效性就尤为重要。在小数概念课教学中，教师要把握小数的核心概念，渗透重要的数学思想方法，提高学生的数学核心素养。

一、关注小数概念的三个核心，深入理解小数的含义

1.小数意义的理解。对于小数的概念，三年级教材是这样定义的——像3.45、0.85、2.60、36.6……这样的数叫作小数，采用描述性方式表达了什么是小数，通过举例的方式让学生初步感知什么是小数。三年级学生初步接触小数，主要在具体的情境中理解小数的意义，对小数的认识更多的是建立在生活中熟悉的具体量或者直观图形的基础之上的，是感性的。到了四年级，教材是这样描述小数的：分母是10、100、1000的分数可用小数来表示，采用描述的方式定义什么叫小数。尽管已经建立在具体量与直观或半直观模型之上的，但是四年级学生学习小数最终需要脱离具体的量与图形，抽象概括出小数的意义，认识小数的本质，理解小数就是在不断分的过程中产生的。因此，在设计每个阶段的学习活动时，教师一定要把握教材的教学尺度与要求，不拔高、不降低标准，科学合理地安排教学内容。

2.小数计数单位的认识。数的认识有两个维度，一是数的产生，二是数的组成。二者相辅相成，互相解释验证。任何一次数域的扩充都是来自于生产生活。小数的产生也不例外。三年级下册教材在“小数的认识”起始课就创设了大量的生活场景，商品的重量和价格、学生的体温、儿童的身高等大量的、学生熟悉的数学信息，让学生感知小数产生的必要性和用小数记录的便捷性。这是来自实物的计数，还需要向抽象出小数的本质属性过渡，图示便是最好的表达方式。有一位教师在“小数的认识”一课中设计了这样一个环节：出示一张被平均分成10份的长方形纸，将其中6份涂色，问学生用哪个数表示涂色的部分。学生想到0.6，因为里面有6个0.1;教师继续在第7份中涂了一点颜色，问“还能用0.6表示吗？”一步步引导学生把第7份平均分成10份，进而想到把这个长方形平均分成100份，得到0.61;如果再增加一份呢？……增加到0.66后接着分析两个6是否一样，引导学生认识第一个6表示6个0.1，第二个6表示6个0.01。这样，学生对小数计数的产生就有比较深刻的认识了。学生经历了小数的产生过程，很好地理解了小数的计数单位。如果学生不理解小数的计数单位，很难深入地理解小数的意义。一个小数十分位上的数字，它的计数单位是十分之一，表示几个十分之一;百分位上的數字，它的计数单位是百分之一，表示几个百分之一;千分位上的数字，它的计数单位是千分之一，表示几个千分之一……比如0.35，可以看成是由35个0.01组成，也可以看成由3个0.1与5个0.01组成。小数的计算单位是小数的一个核心概念，通过数计数单位产生新的计数单位，通过分一个计数单位，也会产生一个更小的新的计数单位，让学生感受相邻两个计数单位之间的进率是10。

3.十进制计数法。整数采用的十进制计数法，在表示小数的时候同样适用。小数是十进制分数的另一种表现形式，学生只有认识到这一点，才能够将小数、分数与整数三者联系起来，建立比较完整的数的体系。如何帮助学生理解小数十进制计数法呢？一位教师在教学了一位、两位、三位小数以后，出示一个动画课件：1个正方体，把正方体平均分成10份并将其中的1份涂色，把正方体平均分成100份取其中的1份，把正方体平均分成1000份取其中的1份。从图中发现，自然数“1”不断地叠加就得到了10、100、1000……把自然数1不断地平均分成10份、100份、1000份……就得到了0.1、0.01、0.001……反过来看，10个0.001就是0.01，10个0.01就是0.1，10个0.1就是1，10个1就是10……最后用一句话总结，就是每相邻两个计数单位之间的进率是10，巧妙地让学生理解了小数与整数一样，也可采用十进制计数法。

二、渗透三种思想方法，丰富小数的学习内涵

1.培养数感。 托拜厄斯·丹齐克（Tobias Danzig，1967）于1954年引入了“数感”这一术语，将之描述为：在个体没注意到的情况下，在一小堆物体中增加或者移除一个物体后，个体能够意识到这堆物体发生了变化的能力。小数的数感是什么呢？比如说看到1.7能马上想到量，想到1.7元，想到一个作业本的价钱，一支圆珠笔的价钱，等等;或者是能马上想到1.7的大小，1.7在哪两个整数之间。那么如何在小数概念课中培养学生的数感呢？

首先，要结合具体的量，比如用长度单位来认识小数的意义。例如认识0.35时，看到0.35马上联想到0.35米，知道0.35米是35厘米，可从米尺上找到0.35米的长度，也可用手大概比画出0.35米的长度，等等。其次，教师还可以在不断地猜数字的过程中培养学生的数感，如教师写下一个小数，提示“它比0.6大，比0.8小”，然后采用区间套逼近的方法让学生不断地去猜小数，用大得多、大一些、小得多、小一些等词语帮助学生猜，培养学生的数感。

2.建立模型思想。数学模型是指对于一个现实对象，为了达到某种特定的目的，根据其内在的规律，做出必要的简化假设，再用适当的数学工具将对象转化为一个数学结构。在小数概念课中教师应注重模型思想的渗透。例如，一个具体的小数0.3就是一个数字模型。首先，要在实际情境中提炼出0.3：把一张长方形纸平均分成10份，涂色3份，用0.3表示。其次，拓展模型的外延，给这个数字模型赋予更多的生活意义。如“表示你心中的0.3”，学生在动手操作的过程中，得出了不同的答案，有的加单位分米，得到0.3分米，在直尺上找到了0.3分米;有的加元，得到0.3元，用语言表述0.3元的意义;有的用正方形分一分表示0.3……在这里，把0.3这个抽象的数字看成一个模型，学生用生活中的情境讲述了0.3的意义，更重要的是初步渗透了数学建模思想，训练了学生抽象、概括、举一反三的学习能力。通过思维的发散与联想让学生对“0.3”这个模型进行扩张和推广，学生能够深入理解0.3这个小数的本质属性，进而利用迁移类推的方法来理解认识其他的小数。

3.渗透极限思想。极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。简单地说，极限是一种趋向性，无穷无尽。小数的产生就是一个不断进行平均分的过程。一位教师设计了这样一个环节：用0、2、3和一个小数点组成一个最小的小数（学生得到0.23），如果加上单位“米”就是0.23米，你能在软尺上找到0.23米吗？在软尺上找到0.023米，表示2厘米3毫米;找到0.0023米，表示2毫米3丝米;找到0.00023米，表示2丝米3忽米;找到0.000023米，表示2忽米3微米，虽然这个小数很小很小，可是科技工作者却非常在乎这样的小数，你知道为什么吗？

学生的学习热情高涨，在一次一次对未知长度单位的猜测中，在一次一次找寻长度的体验中，流淌着他们对长度及单位不断变化的真实感受。随着对小数的深入认识，他们清楚地看到都是用0、2、3来表示的数，长度却在逐步地缩小再缩小，小到已经很难用肉眼分辨，就在放大镜下继续分、再分、继续分。学生也知道了，有些小数是可以用眼睛看到的，但是有些小数看不到只能想象。此时，学生深深地领悟中间总是有空隙的，是很小很小的空隙。学生头脑中已经开始萌发数学的极限思想，学生也知道了小数的出现是为了更精确地认识数，同时还体会到了数学的严谨、科学与真实性。

三、经历五个认知层次，科学有效地掌握小数知识

德恩特蒙特认为，小数学习的认知过程包括五个不同的层次：具体物的层次、操作说明的层次、程序的层次、心智的层次和抽象的层次。

1.具体实物的层次。这是小数学习的第一个步骤，通俗地说，就是联系生活实际，引出学习的素材。例如，一位教师在教学“小数的意义”这节课时，拿出了一个运动会中用过的别针，问道：“这种别针多少钱一个？”有学生答道：“1角。”有的学生说：“0.1元。”教师继续提问：“难道1角=0.1元？0.1元表示什么意义？0.01元表示什么意义？本节课我们就一起来研究0.1、0.01、0.001等小数的意义。”在这里，探究的素材就是来源于学生熟悉的具体物件，它是实实在在的，不陌生的。

2.操作说明的层次。通过数形结合的方法，将物转化成直观的可操作的形，直观地解释某一个具体物中小数的含义。“一个别针0.1元”，这里的0.1元到底是什么意思？教师把量转化成图：“如果把1元看成一张正方形的纸，那么1角会占这一张纸的多大一块？”学生一开始的表达是不完整的，但互相补充以后就得到了1元=10角，“把1元看成一张正方形的纸，把这张纸平均分成10份，1角就占其中的一份，用分数表示是十分之一元，用小数表示是0.1元，其中的0表示0元，1表示1角”。在操作的过程中，学生通过实际情境与图形双重素材初步感知了0.1的含义。结合1元=100分，学生也会通过此种操作理解0.01元的意义。

3.程序操作的层次。会使用操作法则直观理解多个小数。学生初步理解了0.1元或者是0.01元的意义并不代表能够理解其他小数的意义，他们知道了把1元平均分成10份，取出其中的一份就是十分之一元，也就是0.1元，那么按照刚才的操作程序，取出2份、3份呢，他们会吗？为了让学生更深一步理解，教师需要引导学生按程序来进一步操作：“我们知道了1角、十分之一元与0.1元之间的关系，在图中你还看到了几角？它可用哪个分数和小数来表示呢？为什么？”按照这样的程序操作，能够进一步加深学生对一位小数的理解。对于两位小数的操作，就可放手让学生自己去创造：给每位学生一张正方形的纸，让学生按照操作程序创造出自己喜欢的小数，然后与同桌交流自己的创作方法。这样，学生通过具体的元、角、分之间的关系与直观图形的结合，进一步理解了一位小数与两位小数的意义。

4.心智模式的层次。大部分学生虽然在程序操作层次时的表现还算不错，但还无法达到最后一个层次，可见应该还有一个介于这两者之间的层次，即心智模式的层次。比如把一个正方形平均分成10份后，学生能找到0.1、0.8等小数，能结合具体的元、角、分情境说出这些小数的意义，但是这里的理解仅仅是就事论事、就物论物、就图论图，脱离了元、角、分以及图形的分一分，学生还能理解0.4的意义吗？例如教师拿出一根4分米的绳子，提问：“如果用米做单位，这是多少米呢？”这个时候，学生就会有一个心智快速活动的过程，物变了，不再是人民币了，图也变了，不再是正方形了，他们通过思考，可能会直接用语言表达，也有可能会通过画图的方式表达，不管怎样，这都是一个举一反三、独立思考的过程，是一个量变到质变的过程。教师也可为学生提供几个学具，例如让学生从米尺、数轴、温度计、健康秤中任意选出一种学具表示一个具体的小数，让学生创造小数，并学会用数学语言表达，清楚一位小数或两位小数的产生过程，理解小数的意义。

5.抽象概括的层次。此时学生对于小数的感知已经能够脱离具体的量与图而存在了，他们对于“0.3表示什么？0.7表示什么？”以及“为什么”都能给出合理的解释，学生只有达到这个层次，才算真正直达小数知识的核心——小数概念的理解。这个时候，教师再组织学生抽象概括一位小数、两位小数和三位小数的意义就比较容易了。

德恩特蒙特认为，在上述层次中，每一种层次都是被外面的层次逐层所包裹的，小数概念的建立是小数知识的起点，也是核心，学生为了要获得小数的概念性知识，必须层层剥离，从物到形，从物形结合又回到数，从数再回到生活，这样的一个过程，才是学生应该经历的一个小数概念的学习过程。

总之，在小數概念课的教学中，教师要“吃透”核心概念的内涵与外延;渗透重要的数学思想方法，提高学生的数学核心素养;遵循学生的认知规律和身心发展规律，关注小数概念课教学的三个核心，渗透三种思想方法，从而真正提高小数概念课教学的有效性。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导·小学数学[M]北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 托拜厄斯·丹齐克. 数：科学的语言：为有文化而非专攻数学的人写的评论性概述 [M].苏仲湘，译.上海：上海教育出版社，1985.

[3] 史宁中.数形结合与数学模型：高中数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2018.

[4] 王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.

[5] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

（责编 黄春香）