以数学基本活动经验促进数学核心素养培养

张紫薇 丁嘉欣 曾友良

[摘 要]从“四基”到“数学核心素养”是数学课程改革连续与递进的过程，“四基”是“核心素养”的基础，而“四基”中的“基本活动经验”对培养学生的数学核心素养具有其独特的促进作用。以数学基本活动经验来培养数学核心素养，需要教师把握好两者的关系，引导学生通过操作、探究、思考等活动积累经验，形成数学核心素养。

[关键词]数学基本活动经验;数学核心素养; 数学课程改革

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0041-04

一、问题提出的背景

主持《义务教育数学课程标准》修订工作的东北师范大学校长史宁中教授于2007年4月14日，在宁波数学教育高级研修班上提出“希望能够继续保持促进学生理解数学的基本知识，训练学生掌握数学的基本技能之外，还要启发学生领会数学的基本思想，积累数学活动的基本经验”。从“基本知识、基本技能”发展到“基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想”（简称“四基”），体现了素质教育研究的新进展、新趋势。但直到今天，无论是在理论研究领域还是在中小学数学教学一线，许多教师对“数学基本活动经验”的理解仍有诸多困惑，尤其是对如何在实际教学中帮助学生有效积累数学基本活动经验缺乏正确的认识与措施。随着课程改革的不断深入，2016年9月，教育部颁布了《中国学生发展核心素养》，这标志着数学课程改革的核心任务是提升学生的数学核心素养。数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力及情感、态度与价值观的综合体现，主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。从“四基”到“数学核心素养”是数学课程改革连续与递进的过程，“四基”是“核心素养”的基础。而“四基”中的“基本活动经验”又对培养学生的数学核心素养具有独特的促进作用，因此可从“数学基本活动经验”和“数学核心素养”的内涵与形成机制来展开探讨。

二、数学基本活动经验与数学核心素养的关系

（一）数学基本活动经验的形成机制与定义

1989年，曹才翰与蔡金法教授在《数学教育学概论》中首次提到“数学基本活动经验”并指出它是在数学知识的发生、发展和应用等过程中产生的。2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》提出：取得与今后社会相适应的，在不断发展过程中不可或缺的数学知识（包括数学事实和数学活动经验）、数学思维模式及必要的数学应用技能。2007年，史宁中教授针对我国学生创新能力不足的情况提出应将“数学基本活动经验”从“数学知识”中单独分离出来。《义务教育数学课程标准（2011年版）》正式把 “基本活动经验”纳入课程标准，“双基”发展为“四基”。

目前关于“数学基本活动经验”的定义并没有一个统一的界定，本文采用孔哲凡教授提出的数学基本活动经验的定义：数学基本活动经验（对于学生而言）是基于特定的数学教学目标，学生经历与教学内容紧密相关的数学活动后，获得的与数学活动有关的感受、体验和感悟。此定义通俗易懂，以学生为主体，结合教学目标与教学内容，能很好地与数学课程标准的要求相融合。孔哲凡教授还认为学生自身在接受、反思等能力上存在差异性会对获得的基本活动经验的优劣、多寡产生影响。

本文主要围绕小学生数学基本活动经验的积累来讨论。具体来说，小学数学基本活动经验就是基于特定的课程教学目标，小学生作为活动的主体，通过观察、操作、思考、探究等方式开展教学活动，所留下的个性化的直接或间接的感受、体验和感悟。这些感受、体验和感悟并不是以一个“原封不动”的状态存在学生的认知结构里，而是以灵活的、随时接纳新经验，从而建构新的个性化经验的一种“周而复始”的形式存在着。

（二）数学核心素养的形成机制与定义

“核心素养”概念的提出并不是一蹴而就的，而是经历了理论的思考和实践的考量。1992年出台的《初级中学数学教学大纲》中首次提及数学素养。但当时的教育界对核心素养的关注度不高，之后2001年版、2011年版的《义务教育数学课程标准》修订中陆续提及数学素养，其中《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提及的十个核心概念可以说是六大核心素养形成的基础之一。为了贯彻落实十八大精神，2014年6月教育部提出：研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准……，并将核心素养明确为：学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。这一概念的提出既是当今义务教育课程改革的创新点，也是突破点，为课程改革的进一步深化指明了方向。

数学核心素养是核心素养在数学学习领域的具体化，关于这一名词的解读也是仁者见仁、智者见智。马云鹏教授指出，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心词，实际上就是数学学科的核心素养。这十个核心词的提出也为核心素养的提炼奠定了基础。2016年9月发布的《中国学生发展核心素养》中提出了六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。与十个核心词相比，六大核心素养的提出不但是内容上的精简，而且是内涵上的提升。

（三）数学基本活动经验与数学核心素养的关系

丰富的数学基本活动经验有助于数学思维和数学能力的提升，同时经验的不断再现、再创造也正是数学核心素养逐步完善的过程。

1.基本活动经验与核心素养具有内在的一致性

首先，它们都是不断发展着的概念。基本活动经验是建立在学生已有经验的基础上，通过对场景的重构，学生亲历经验的再认、再生、概括这样一个周而复始的过程。核心素养是对学生多方面要求的综合体现，是每个学生获得成功生活、适应个人终身发展和社会发展都需要的、不可或缺的共同素养。从这个角度看，这两种概念的发展都是没有终点的，是一个持续完善的过程。

其次，它们的落脚点是一致的。基本活动经验是学生个体沟通数学问题与基础知识、基本技能、基本思想之间的桥梁，在数学活动中培养学生的创新意识，提高学生的创新能力，最终使学生终身受益。核心素养是与特定情境有关的、通过后天學习所得的体现于人的行为的，它关乎人与社会、人与自身、人与工具三个方面， 最终要落实在人即受教育者身上。在“以人为本”的视角下，基本活动经验与核心素养是一致的。

2.基本活动经验的研究与核心素养有许多相互呼应的板块

小学数学基本活动经验的研究可从小学数学的“四大板块”着手，对数学素养的研究也可分板块由浅入深地开展研究。对比发现，小学数学基本活动经验与六大核心素养有许多内容相互呼应。如与“数与代数”板块相对应的基本活动经验，就有利于“数学运算”“数学建模”核心素养的落实;积累了“几何与图形”对应的基本活动经验，就有利于“直观想象”核心素养的培养;“综合与实践”是获得数学基本活动经验的重要载体，综合实践活动注重实践，以问题、学习者的原有经验、社会需要为载体整合课程资源，在操作、探究等活动中，获得发现、提出、分析、解决问题的直接经验，从而发展多方面的核心素养。

3.积累基本活动经验是培养数学核心素养的重要途径

（1）经验的积累与运用促进数学核心素养的发展

学生学习数学可以看作是在教师的指导下，积极运用自身的经验来建构数学现象的过程，这说明经验的积累促进数学的学习。对于“直观想象”，史宁中教授在《数学的基本思想》中指出，直观不是“教”出来的，而是自己“悟”出来的，这需要经验的不断积累。如在教学“圆的面积公式推导”时，将圆分成的若干个相等的小扇形能够近似地拼成一个长方形。学生经历平均分、割、拼的过程，通过对比、推理得出圆的面积公式并将知识内化，形成相应的数学活动经验。这一活动经验又为学生“悟”出圆柱的体积公式打下基础，把圆柱两个底面同时分成若干相等的小扇形，再切割圆柱后就可以近似地拼成一个长方体，将求圆柱的体积转化成长方体的体积。原有的活动经验被激活，在头脑中再重现或再创造，学生的思维能力、学习能力在提升，尤其是直观想象方面的几何素养得到发展。

（2）基本活动经验是数学核心素养形成的“培养皿”

为了形成基本活动经验，教师设计与学生原经验相似的情境，激发学生的经验，然后适当改变活动情境，让学生经历经验再现，最后再转变成相对陌生的情境，为学生的经验再创造提供环境。以“逻辑推理”“数学建模”的培养为例，在教学“解方程”时，教师首先创设情境：爷爷的年龄加上17，然后用4除，减15，再用10乘，恰巧是100岁，爷爷的年龄多大？解决这个问题后，学生的经验得到扩充，用逆推法解题的经验得到内化;接着教师让学生在心里想一个任意的数，再将这个数扩大3倍后加上2，学生说出计算结果，教师猜出那个数并让学生思考是如何猜出的，这时学生很容易说出用逆推的方法;最后出示含有未知数的方程，学生在已有经验的基础上，会把未知数看作之前心里想的那个数，完成经验的再创造，自主解题。在层层递进的活动场景中，学生的数学活动经验得以升华，一系列由浅入深的问题能够点燃学生思维的火花，在丰富数学基本活动经验的同时，更加关键的是大脑和思维也在重新分析、组织、积累，这是逻辑推理伴生的过程，更是建立数学模型的手段。这种过程会使学生在课堂上的收获真正内化于心，因此基本活动经验就像是促使数学核心素养趋向成熟的“培养皿”。

三、利用数学基本活动经验促进数学核心素养的培养

下面就以“几何与图形”板块中“长方形、正方形面积的计算”一课为例，通过操作、探究、思考等活动帮助学生积累数学基本活动经验，进而培养学生的数学核心素养。具体内容如下：

1.直观想象与数学运算

师：现有一个长为6厘米，宽为3厘米的长方形，用什么办法能求出它的面积？

生1：可用面积为1平方厘米的正方形作为面积单位摆一摆，看这个长方形里有几个1平方厘米。

师：很好，那就请大家现在开始分组摆一摆吧。

（学生分组操作后得出结论）

生2：我刚好摆了18个面积为1平方厘米的正方形，所以这个长方形的面积是18平方厘米。（如圖1）

师：还有没有其他的摆法呢？

生3：我每行摆了6个，可以摆3行，所以长方形的面积是6×3=18（平方厘米）。（如图2）

【分析】本节课中学生围绕“如何求出已知长方形的面积”这一问题展开了一系列行为操作和计算活动。学生在动手摆一摆后发现了两种求解长方形面积的方法，其中第二种方法还进行了运算，这也就运用到了操作的经验和探究的经验，学生的直观想象和数学运算两大核心素养得到了一定的培养。

2.数据分析和逻辑推理

师：刚刚两个同学用了两种不同的摆法，但是他们得出来的结果都是18平方厘米。第二个同学用的6乘3得到了长方形的面积，是不是所有的长方形的面积都可以用这个方法来计算呢？下面我们就来做一个实验，请大家进行小组活动：任选若干个面积为1平方厘米的小正方形来拼长方形，边操作边填表（如表1），观察一下，长方形的面积与它的长和宽有什么联系。

师：我们一起看第一个长方形，它的长是2厘米，宽是1厘米，它的面积是2平方厘米;第二个长方形，它的长是3厘米，宽是1厘米，它的面积刚好是3平方厘米;再看第三个长方形，它的长变成了4厘米，宽变成了2厘米。按照刚才的计算方法得出它的面积应该是4×2=8（平方厘米），那么它里面的小正方形是不是8个呢？

生4：是8个！

师：用小正方形得出这个长方形的面积也刚好是8平方厘米！接下来请大家再看看后面两个长方形的面积是不是也适用这种计算方法呢？

生5：长是5厘米，宽是2厘米的长方形，面积是5×2=10（平方厘米），再数一数，刚好是10个小正方形。

师：没错，如果继续做下去，你会从这一组组的数据中发现什么呢？能得到长方形面积的计算方法吗？

生6：长方形的面积就等于长乘以宽。

【分析】上述教学片段采取“数形结合”方法将长方形的长、宽、面积通过列表的方式与操作图形一一对应，为了让学生能有第一手的直观感受，教师组织学生以小组的形式自己摆一摆，进行实际操作，学生在得到数据后带着“长方形的面积与它的长和宽有什么联系？”这个疑问进行数据分析与证明归纳。整个过程运用到操作的经验、探究的经验和思考的经验，学生要自己从各组数据中探究规律并推理分析之后得到长方形的面积计算公式，学生的数据分析和逻辑推理的素养便得到了一定的培养。

3.数学抽象与数学建模

师：刚刚大家已经得出了长方形的面积计算公式，那么，请大家用相关公式计算下面两个图形（如图4，小正方形的边长为1厘米）的面积。

生7：长方形的面积是6×4=24（平方厘米）;正方形的面积是4×4=16（平方厘米）。

师：正方形的面积也可用这种方法计算吗？

生8：正方形可看成是长和宽相等的长方形，所以也可用长方形的面积计算公式算出来。

师：真棒！正方形是特殊的长方形，我们是否可将正方形的面积计算公式归结为“正方形的面积=边长×边长”呢？大家可以通过摆一摆小正方形来验证这个结论。

【分析】在推理正方形的面积计算公式时，学生提出的“正方形就是长和宽相等的特殊的长方形”这一概念中为长方形的概念增添一个“长和宽相等”的限制条件后变成正方形的概念的过程就是一种强化结构式抽象过程，并且两个计算公式的确立涉及了数学建模。学生通过类比长方形的面积计算公式而推导出正方形的面积计算公式这一过程就运用了思考的经验，而在此过程中学生数学抽象和数学建模的素养也得到了一定的培养。

综上所述，通过数学基本活动经验来培养数学核心素养是相当容易的，只是数学核心素养的培养是一个“长征”过程，不是一两节数学课，更不是一朝一夕就能达到一个很高的水平的，这需要我们每位教师的不懈努力，通过各种数学基本活动让学生真正成为课堂的主人，时刻牢记培养学生数学核心素养这一任务，打造出更多既受学生喜爱又高效的课堂。

[ 參 考 文 献 ]

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[4] 史宁中.学科核心素养的培养与教学：以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（1）.

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（责编 黄春香）