例谈解析几何中的数形结合思想

【摘要】解析几何是数学发展史上一个跨时代的发现，其出现在数学史上具有至关重要的意义，并蕴含丰富的数学思想.本文主要从了解解析几何的历史背景开始，探索解析几何的数形结合思想，主要探讨数形结合思想中几何问题代数化的思想、几何图形方程化的思想以及代数方程图形化的思想.剖析解析几何的数学思想有助于提升教师在解析几何教学方面的素养，提高解析几何的教学效果.

【关键词】解析几何;数形结合;数学思想

【基金项目】重庆市教委科学技术研究项目（KJQN201901312）;重庆文理学院2019年度校级教学改革一般项目（190214）

一、引言

解析几何是数学专业的一门必修基础课程，该课程通过建立标架，研究图形与方程间的关系，是对中学平面解析几何及立体几何课程的进一步扩展与延伸，同时，它也是微分几何等后续几何课程的基础.该课程与代数学、分析学息息相关，注重培养学生利用代数工具解决几何问题的能力，通过代数方程作出几何图形的能力，提升学生数形结合的思想.

数形结合思想是解析几何中的主要数学思想，其主要利用笛卡尔标架，建立数与形之间的内在联系.本文将对解析几何的数形结合思想做一些探索，主要从几何学的历史背景与解析几何的数形转换思想（几何问题代数化思想、几何图形方程化思想与代数方程图形化思想）出发做一些探索，旨在提升教师的数学素养，提高教师的教学水平，同时激发学生对几何的学习兴趣、研究兴趣，启发学生自主探索学习.

二、主要内容

（一）解析几何历史简介及历史意义

我国科学家傅鹰曾说：“一种科学的历史是那门科学最宝贵的一部分.科学只给我们知识，而历史给我们智慧.”几何学拥有漫长的历史，内容更是丰富多彩.在课程学习前向学生介绍几何学的历史，可以帮助学生形成完整的知识体系，激发学生的学习兴趣.

在大约公元前300年，欧几里得编写了《几何原本》，这便意味着几何学的第一本著作诞生了.《几何原本》里的几何被称为欧氏几何，其包含了现今中小学的大部分几何知识，如三角形内角和为180°、勾股定理等.在《几何原本》出现后，接近2000年的时间，几何学基本没有大的变动，直到17世纪笛卡尔建立了坐标系，开创了解析几何，建立了几何对象与代数对象的一一对应关系，从而促使了几何问题与代数问题的相互转换.解析几何的出现是具有划时代意义的，在其出现之前，几何与代数是分开的，几何的问题只能通过几何的方法解决，如作辅助线等，方法十分有限，那时一个难度一般的几何问题，很有可能难住一位几何学家，而解析几何的出现，给了我们代数的方法，这让很多几何难题迎刃而解，可见解析几何的出现对整个数学的发展具有里程碑式的意义.此外，解析几何诞生不久，在解析几何的推动下，微积分于17世纪下半叶产生了.举微积分中两个经典的例子，曲线在某点处的切线问题及曲边梯形面积问题，都是在笛卡尔标架建立之后，利用微積分的方法解决的，由此可见解析几何在数学发展中的重要地位.

（二）几何问题代数化思想

利用代数方法解决几何问题是解析几何的一个重点内容，它需要学生将几何问题转化为代数问题，也就是利用几何问题代数化思想，这往往是学生遇到的一个难点问题.学生在中学的几何学习过程中，已经接触过平面的解析几何及立体几何，但是所遇到的几何问题都已经给出了直角坐标系，没有几何问题代数化的经验.而解析几何作为数学专业大一的专业基础课程，在这个课程中，往往需要学生自主建立坐标系，进而将几何问题转换为代数问题.在教学过程中，教师应仔细剖析转换过程，让学生多做相关练习，积累经验.具体的，在解析几何的学习中，我们往往会遇到以下方式提出的几何问题.

例1证明：三角形每一个顶点与对边中点所连的线段共点，且该点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.

分析首先，作出示意图，如图1所示.设△ABC顶点A与对边BC的中点D的连线为AD，取点G1，使得AG1=2DG1.同理，找出其余两点G2，G3，那么我们只需要去证明G1，G2，G3三点重合即可.换言之，若已知A，B，C坐标，则只需要说明G1，G2，G3三点坐标相同.因此，我们可以选取平面上适当的笛卡尔标架{A; AB，AC}，如图2所示，则点A，B，C的坐标分别为A=（0，0），B=（1，0），C=（0，1），由此可计算出G1=G2=G3=1/3，1/3，从而得知G1，G2，G3三点重合.

从上例中我们可以发现，该几何问题以文字描述的方式提出，题干并未建立任何坐标系，这与中学时提出几何问题的方式不同.在解答过程中，首先需要学生改变其描述的方式，如上例，我们将“线段共点”的描述转换为“G1，G2，G3三点重合”，再建立适当的笛卡尔坐标系，将几何问题代数化，进一步解决问题.

（三）几何图形方程化思想

在解析几何中，我们将具体的几何图形看作具有特征性质的点构成的集合.所谓特征性质，本质上就是点在该几何图形上的充要条件，而几何图形方程化的关键就是要抓住特征性质.例如，平面上以原点为圆心的单位圆的特征性质就是平面上点到原点的距离为1.对于建立几何图形的方程，往往需要抓住图形的特征性质，再建立笛卡尔坐标系，从而得到图形对应的方程，这种构建思想贯穿了整个解析几何课程，直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面等图形的方程都是按照此思维过程进行建立的.教师在讲授的时候应注意剖析图形的特征性质，逐步引导学生找到图形的特征性质，着重强调图形到方程的建立过程.下面，我们以直线和柱面方程的建立过程为例进行分析.

例2求过点M0且与向量v 平行的直线方程.

分析根据之前的思想，想要建立该直线方程，首先需要找到该直线的特征性质，也就是找到点在该直线上的充要条件.注意到若空间中任意一点M在该直线上，那么向量MM0与向量 v 平行，反之，如果点M不在该直线上，那么向量MM0与向量 v 不平行.这说明了该直线的特征性质为：对于空间中任意一点M，有MM0平行于 v.建立笛卡尔坐标系，设M=（x，y，z），M0=（x0，y0，z0），v=（X，Y，Z），由直线的特征性质，有 MM0 平行于 v，即可得到该直线的标准方程为：

例3设柱面的准线方程为 Γ：F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0，母线方向为v=（X，Y，Z），求该柱面的方程.

分析对于曲面方程的建立，首先我们需要找到该柱面的特征性质.根据分析，若空间中任意一点M在该柱面上，那么过M点作平行于方向（X，Y，Z）的直线必定与准线 Γ 相交于点M1，如图3所示.反之，若点M1∈Γ，则过点M1作平行于方向（X，Y，Z）的直线，该直线上的点必定在柱面上.因此，柱面的特征性质可描述为：设点M1（x1，y1，z1）∈Γ，且MM1平行于向量（X，Y，Z）.從而该柱面的特征性质等价于以下方程描述：

注意到所建立的方程为4个方程，因此可消去参数x1，y1，z1，从而得到关于x，y，z的方程： F（x，y，z）=0，即为柱面方程.

通过上面直线与柱面的例子可以发现，在解析几何的学习过程中，能否抓住图形的特征性质是几何问题代数化的关键.因此，在解析几何建立图形方程的教学中，除了注重提高学生利用代数方法解决几何问题的能力外，还应加强训练学生认识图形、理解图形的特征性质，提升学生对图形特征性质的推导能力.

（四）代数方程几何化思想

在解析几何中，通过笛卡尔标架可建立几何图形与代数方程间的对应关系.上面我们讨论了几何图形方程化的过程，反之，我们将讨论根据给定方程画出几何图形的一些探索，如画出椭球面、双曲面、抛物面的图形.关于代数方程几何化，这里我们采用二维到三维的推广形式来进行探讨.

例4画抛物线 y=x2 的函数图形.

分析在中学函数的教学中，我们通过描点的方式画出了函数的图形.对于抛物线函数 y=x2，分别取x=-3，-2，-1，0，1，2，3，得到对应的y值，再通过连线画出函数大致图形.

例5画出方程x2a2+y2b2+z2c2=1所代表的图形.

分析由例4出发，从几何角度来看，当取x=-3，-2，-1，0，1，2，3时，它所代表的几何图形是平面上与y轴平行的直线.换言之，例4的操作过程可以看作用平行于 y 轴的直线截取函数 y=x2 的图形得到的交点，再连接交点，从而画出图形.推广这种方法到三维空间曲面的方程中，采用平行于坐标面的平面去截取例5中方程所代表的空间图形，如取x=x0（-a≤x0≤a），即平行于坐标面yOz的平面，可以得到：

y2b2+z2c2=1-x20a2，

这是一组椭圆，从而可画出例5中的方程所表示的图形——椭球面.当然，还可以取平行于xOy，xOz 的坐标面去截取图形，这样不仅可以画出图形，还可以加深学生对图形及方程的认识.这里采用了二维到三维推广的形式，由浅入深地讲解，有助于加深学生对图形的印象，并有利于提高学生对几何的研究兴趣.

三、后记

综上所述，解析几何蕴含丰富的数学思想，与代数学关系密切，除此以外，解析几何也可以与微积分的内容联系起来.

例6考察平面直线的参数方程r1（t）=（t，t） 与方程r2（t）=（t3，t3），t∈R.

分析从整体图形的角度来看，在笛卡尔直角坐标系下，这两个方程所表示的直线是同一条平面直线 y=x，但两个参数方程却不相同.若换个角度看参数方程，比如将此直线看作是动点运动的轨迹，参数t为时间参数，那么当t=1时，有r1（1）=（1，1），r2（1）=（1，1），当t=2时，有r1（2）=（2，2），r2（2）=（8，8）.这说明在t=1到t=2这个时间段内，第二个参数方程所表示的点运动的平均速度更快.由于瞬时速度是平均速度的极限值，可以计算两方程的微分，得到动点在某时刻的瞬时速度.此时，解析几何便与微积分等相关内容联系起来.

解析几何内涵丰富，不仅蕴含着数形结合的思想，也推动着分析学的产生与发展，它与代数学、分析学联系紧密.教师在教学过程中应将这些思想融入具体教学中，体现数学知识间的密切联系，展现数学的统一性.与此同时，再融入相关历史背景，提高学生的数学文化修养，提升学生的学习及研究兴趣.

【参考文献】

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