“构造”巧架桥天堑变通途

张志刚

【摘要】在高中数学阶段，学生灵活使用构造法解题，简捷明快，富有成效，可以优化学生的知识结构，培养学生的创新精神，提高学生分析问题、解决问题的能力.在课堂教学中，教师要渗透构造法，要引导学生强基固本、厚积薄发，还要为学生提供更多的训练素材、更宽裕的时间条件.

【关键词】高中数学;构造法

一、构造法的思维特征

构造法的核心是抓住问题在形式与结构上的本质特征，找出“已知”与“所求或所证”间的联系，多角度多渠道地展开联想，使用已知条件为原材料，引入一个新模型（如函数、方程、不等式、几何体、向量等），使疑难问题得以分解或转化，最终迎刃而解.

构造法由来已久，在中国古代，以秦汉时期 《九章算术》与魏晋时期 《刘徽注 》为代表的中国传统数学，在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中，建立了以构造性与机械化为特色的算法体系.[1]如祖暅沿用刘徽“牟合方盖”理论，得出“幂势既同，则积不容异”的结论，进而通过构造方法计算出“牟合方盖”的体积，然后导出球的体积.

高中数学中，构造法随处可见，其应用分为两方面：一是构造法作为辅助手段，且构造并非解决问题的目标，而只是作为转化问题的辅助手段，架起条件与结论间的桥梁，如常见的构造函数解不等式、构造规则几何体求体积;二是存在性命题的构造证明，如某些概念辨析及命题真伪的判断，要求给出满足（或不满足）条件的数学对象，此时需构造实例（或反例）.

二、构造法的应用举例

构造法不同于常规的逻辑思维方法，没有通用的构造法则和程序直接套用，构造的对象也是多种多样的，如构造函数、向量、方程、图形、数列等，具有鲜明的随机性和创造性，但构造一定要基于数学学科内部各部分之间的有机联系.下面通过几个例子剖析构造法在不同模块中的应用，梳理构造法的思维过程.

1.构造法在不等式中的应用举例

点评 本题常见的做法是利用基本不等式进行解答.然而若将题设条件1x+2y=3稍做改造，变形为1x+2y=2×32，可联想到等差中项，故可构造一个等差数列模型，引入变量d进行消元，最终将本题所要求的问题转化为学生熟悉的二次函数最值问题.本解法通过挖掘题设代数式的特征展开联想，构造特殊数列模型，从函数观点认识方程和不等式，感悟数学知识间的关联，别有一番风味.

2.构造法在三角函数中的应用举例

点评 本题为三角函数的最值问题，首先可以利用周期性将定义域由R压缩为0，2π，然后用导数的方法求解.但大部分学生并不擅长用导数工具探讨三角函数问题，此时可考虑另辟蹊径.事实上，f（x）=2sin x+sin 2x可分解变形为f（x）=sin x+sin x+sin 2x=sin x+sin x+sin（π-2x），结合正弦定理，将代数式sin x+sin x+sin（π-2x）与三角形的周长联系起来，之后运用平面几何知识解决即可.该解法通过对解析式重构和分析，赋予它一定的几何意义，构思精巧，解答形象生动.

3.构造法在数列中的应用举例

点评 为求数列的通项公式，我们常常需要对已知等式进行变形，构造出等差（比）数列定义形式，再转化成特殊数列问题.如第（1）问中，将已知条件中两个等式相加，由等比数列的定义可证{an+bn}是等比数列，同理，将两式相减可证{an-bn}是等差数列，为第（2）问最终求{an}和{bn}两个一般数列的通项公式做好了铺垫.

4.构造法在函数中的应用举例

点评 本题考查函数的单调性，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查考生的逻辑推理、直观想象等核心素养.本例题要求判定一个全称命题是假命题，给出不符合条件的函数，此时需构造一个反例.实例与反例的使用，对加深数学理解，提高解题能力均有益处.特别是反例构造，有助于培养逆向思维以及创造性思维.[2]波普尔指出：“一种严格的经验检验总是要力图找到一種反驳、一个反例.”[3]证伪教学有利于学生更全面深刻地理解数学本质.

5.构造法在立体几何中的应用举例

点评 上述解法通过构造正方体，将讨论的直线显性化，放置于几何体的表面上进行研究，实现了抽象问题具体化、形象化.立体几何中常常需要通过割补法（补形法）构造规则几何体，求解体积、二面角、异面直线所成角等问题，以降低思维难度.

三、结束语

教师在教学过程中使用构造法，突破常规，可迅速找到解决之道，对于培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养大有裨益.然而构造法也非一朝一夕即可练就，是需要学生扎实的基本功和较强的观察力、想象力和创新能力的.教师要精心设计教学内容和活动，引导学生强化基础知识，在此基础上为学生提供充足的研究时间和空间，尤其是适当安排一些与构造思维相关的数学任务，有意识地为学生创造一些训练机会，耐心指导学生深刻剖析问题的本质特征，敏锐捕捉解题灵感，恰当构造辅助模型.

【参考文献】[1]吴文俊.关于研究数学在中国的历史与现状：《东方数学典籍〈九章算术〉 及其刘徽注研究》序言[J].自然辩证法通讯，1990 ，12（4）：37.39.

[2]何忆捷，熊斌.中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值[J].数学教育学报，2018（2）：50-53.

[3]卡尔·波普尔.猜想与反驳：科学知识的增长 [M].傅季重，纪树立，周昌忠，等，译.杭州：中国美术学院出版社，2003.