定积分的概念及其应用

胡林

【摘要】随着科学的进步和文化的普及，学习方法成为学习数学的重要元素之一.在数学领域，学习方法尤为重要.而定积分是常用的一种解决问题的方法，则探究定积分解决问题的思路成为必须.

【关键词】数学;分割;定积分

定积分是微积分学里很重要的内容，它不仅在数学中有很多应用，而且在物理学中也有很多应用.那么，定积分的概念以及其应用有怎样的联系呢？定积分的定义表达式怎样向积分表达式进行切换呢？

一、定积分概念的产生

由上可知，我们通过特殊的分割方法，运用分割、求积、求和、求极限可以求出图形的面积.很显然，分割的方式以及取点的方式还有很多，计算还会更加复杂，那么，这样的一个复杂的计算过程可以有代替的方法吗？

我们通过验证，可以找到这样的方法，就是牛顿-莱布尼茨公式.我们可以对前面的问题的计算表达式设定新的数学符号表达式∫10exdx，该表达式称为定积分表达式，这样就有了定积分的概念.

那么，定积分概念中的元素怎么与定积分表达式中的元素建立联系呢？用定积分思维解决的问题怎样用定积分表达式表示呢？

我认为可以有如下步骤：

定积分表达式建立可以分为三个步骤：

1.确定积分变量

在定积分定义思维中，第一步是分割，那么，分割的对象就是积分变量.

2.确定积分上、下限

上、下限由积分变量所在的区间确定.

3.确定被积函数

在积分表达式中，被积表达式=被积函数×d积分变量.

则前面的问题可写成：平面图形的面积=∫10exdx=ex10=e-1.

二、定积分的应用

下面，我们通过案例来体会一下上面的建立定积分表达式的三个步骤：

2.1 定积分在几何上的应用

2.1.1 用定积分求平面图形的面积

综上可知，利用数学思维解决问题的过程是从分析到解决的过程，这个过程在数学知识建构中，更多的是以模型的方式出现，即数学思维模式化.因而，当理解了解决某种类型问题解决的数学思想以后，我们如果能以记忆的方式来解决问题，就可以提高解决问题的效率.以上，就是通过案例以及思维步骤来体会定积分模式化思维的应用.

三、定积分在数学应用中的现状及存在的问题

3.1 定积分在数学应用中的现状

定积分的微元思想在实际应用中，可以求平面图形的面积、求立体几何的体积、求曲线的弧长.《高等数学》与《数学分析》教材中都有该部分内容.

3.2 定积分存在的问题

在很多教材中，对于定积分表达式的建立，给出的思维步骤过于抽象，学生不能在问题解决的过程中写出正确的定积分表达式，这是很多数学内容构建方面存在的问题.对于学生而言，数学思维已很复杂和抽象，再去理解数学符号语言表达的思维就更难了.

四、定积分的发展趋势

4.1 教材内容语言表达方式

定积分的微元思想在具体问题中呈现时，应在实例表达中明确以下几点：

1.指出微元是谁.

2.指出微元计算公式是什么.

3.指出怎么求微元计算公式中的成员.

4.2 教材内容呈现的方式

将实际问题作为案例来呈现，使内容符合学生的认知结构，而不是空中楼阁.

4.3 教师的教学语言改革

数学教师都是在严谨的数学语言训练中成长的，在教学过程中，也常用严谨的数学语言进行教学，而对于大多数学生而言，这种语言就像天书，云里雾里，难以理解.故在教学中，教师应将语言形象化、语言逻辑化，以贴近学生的语言进行教学，例如：微元是长方形，微元计算是长×宽，若分割x，则宽为dx，长为上面曲线的纵坐标-下面曲线的纵坐标，标记为y上-y下.语言是人类交流的方式，教師与学生交流时，理所当然要以学生语言形式进行教学，并在此基础上，再将语言数学化.

【参考文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2002.