基于核心素养的问题支架式教学设计

胡能其

【摘要】以“任意角的三角函数”教学设计为例，教师通过设计合理的问题为学习支架引导学生积极思考，体会知识的发展和生成过程，理解知识的本质，从而提升学生的学科核心素养.

【关键词】三角函数定义;核心素养;问题支架;教学过程设计

一、内容和内容解析

（1）教学内容

高中数学人教A版必修4第一章“三角函数”的第二节“任意角的三角函数”.

（2）教学内容分析

教材地位：三角函数是一个重要的周期函数模型，它在几何学、物理学、天文学、测量学等领域都有着广泛的应用.任意角的三角函数定义则是整个三角函数的学习的起点，是学生进一步理解并掌握好三角函数知识的关键，也是培养学生数学建模、逻辑推理和数学抽象等核心素养的重要载体.

教学任务：本节课的教学任务是将学生原认知下的直角三角形模型下的锐角三角形函数定义扩展到直角坐标系下任意角的三角函数的定义，让学生体会到将初中锐角三角函数用边的比值定义到高中用终边上点的坐标的比值定义再到单位圆上的点的坐标定义的合理性和必要性，并在定义的基础上理解和掌握三角函数的符号的判定以及特殊角的三角函数值的求解.

蕴含的数学思想：三角函数的定义从初中的锐角到高中的任意角，从平面几何到解析几何，蕴含着数学建模思想和数形结合思想.

教学重点：任意角的三角函数的定义.

二、目标和目标解析

（1）目标

① 经历三角函数概念的抽象过程，发展数学抽象素养;

② 理解任意角的三角函数的终边定义法和单位圆定义法两种定义;

③ 掌握任意角的三角函数的符号;

④ 初步体会三角函数的周期性.

（2）目标解析

① 学生能在原有的锐角三角函数的认知的基礎上，明确任意角三角函数的定义扩展的必要性和合理性，体会从直角三角形模型到直角坐标系模型的建模过程，并能抽象出任意角的三角函数定义，从而达到对学生数学建模和数学抽象等数学核心素养的培养;

② 学生能理解任意角的三角函数的终边定义法和单位圆定义法及它们的联系，并且能利用定义求出特殊角的三角函数值，从而达到对学生逻辑推理的数学核心素养的培养;

③ 学生能够根据定义得出任意角的三角函数的值在各个象限的符号;

④ 学生能够根据定义初步体会三角函数周而复始的特性.

三、教学问题诊断分析

虽然学生在初中已经学习过锐角三角函数的定义，有了一定的学习起点，但由于初中的锐角三角函数定义是在直角三角形的模型下建立的，而在将锐角放到直角坐标系下时，一开始仍然要以初中的直角三角形模型为起点引入，这样就造成学生在对其他象限角的三角函数的定义进行理解时很难脱离直角三角形模型而转为点的坐标比值定义，这应该是本节课教学遇到的一个难点.另外，为了学生能更好地理解三角函数的定义和今后能更好地学习三角函数相关知识，教材引入了单位圆定义法，而没有提及终边定义法.事实上，两种定义法是一致的，但也各具优点，所以就需要教师做好权衡.笔者建议两种定义都传授给学生，但侧重单位圆定义法.

四、教学支持条件分析

（1）在初中，学生已经学习了锐角三角函数的定义，且明白锐角三角函数的值与直角三角形的大小无关，这都为本节课的学习提供了很好的学习起点.

（2）教师可利用几何画板软件，让学生直观体会任意角三角函数的定义与终边上点（不与原点重合）的位置无关，也可以让学生通过直观演示体会三角函数周而复始的重要属性.

五、教学过程设计

环节1 复习回顾，激发兴趣

问题1 初中锐角三角函数是如何定义的？

师生活动：

（1）由学生写出初中锐角三角函数的定义.

（2）教师追问：如果在不改变角的大小的前提下将直角三角形的三边都扩大或者缩小，锐角所对应的三角函数值会改变吗？

设计意图：回顾初中锐角三角函数定义，并让学生明确对于每个锐角它所对应的三角函数值是唯一的，突出函数概念的特征，为学生学习任意角的三角函数定义做准备.

教师追问：5π3的正弦、余弦和正切值分别是多少呢？

师生活动：明确按照初中的锐角三角函数定义是没有办法求5π3的正弦、余弦和正切值的.

设计意图：激发学生学习新知的兴趣.

环节2 问题支架，构建新知

问题2 根据初中锐角三角函数的定义用点P的坐标写出锐角α的三角函数值.

如图1所示，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在第一象限，在锐角α的终边上任取一点P（a，b），它

与原点的距离r=|OP|=a2+b2>0，过点P作x 轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a， 线段MP的长

度为b.求：

sin α=.

cos α=.

tan α=.

设计意图：让学生体会由直角三角形的锐角三角函数模型转为象限角的锐角三角函数模型的建模过程，引导学生将角α的三角函数值由边的比值转为点P的坐标比值，导入新课.

教师追问：改变点P的位置，锐角α的三角函数值会改变吗？为什么？

设计意图：使学生明白每一个角对应的三角函数值是唯一确定的，不会随着点的位置而改变，符合函数的定义，为任意角三角函数定义的合理性提供依据.

问题3 三角函数的定义由直角三角形的边的比值变为终边上的点的比值，你觉得这种定义的变化能帮我们研究非锐角的三角函数的值吗？

设计意图：引导学生跳出直角三角形模型，在象限角的模型下利用终边上的点的坐标定义三角函数，为讲解任意角三角函数的定义做铺垫.

师生活动：教师结合学生对问题2和问题3的探讨和学习，给出任意角的三角函数的终边定义法的定义.

如图2所示，设任意角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在第一象限，在α终边上任取一点P（x，y），它与原点的距离r=|OP|=x2+y2>0，则定义sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx（x≠0）.

问题4 如图3所示，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆（半径为1）的交点为P（x，y），请同学们根据刚学过的任意角的三角函数定义写出角α 的三角函数值，并说明它们有什么特别之处？

师生活动：教师通过探究活动，给出任意角的终边与单位圆的交点的坐标与三角函数的对应关系，从而利用单位圆定义三角函数的定义.

设计意图：教师通过单位圆将三角函数的定义变得更简洁和清晰，从而使学生掌握任意角三角函数的单位圆定义法的定义，并体会单位圆定义法其实是终边定义法的一种特殊情况，从而发展学生逻辑推理素养.

问题5 请同学们利用单位圆定义法写出0，π2，π，3π2，2π，5π2，3π的三角函数值，并说明sin α在[0，2π）内的大小变化规律.

师生活动：

（1）学生自主完成.

（2）教师利用几何画板软件进行演示，让学生直观感受sin α的值的变化情况以及正弦函数周而复始的属性.

设计意图：让学生进一步掌握单位圆定义法，也让学生体会单位圆定义法的简洁和清晰，同样让学生感受三角函数周而复始的特性.

问题6 根據任意角三角函数的定义写出正弦、余弦和正切函数的定义域及它们在各象限的符号.

师生活动：

（1）学生自主完成.

（2）教师归纳总结三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号规律.

设计意图：引导学生根据三角函数的定义得出三角函数的定义域及其符号规律，进一步掌握任意角三角函数定义的应用.

环节3 例题分析，应用新知

例1 完成问题1中求5π3的正弦、余弦和正切值.

例2 已知角α的终边过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值.

师生活动：

（1）学生根据所学习的任意角三角函数的两种定义选择恰当的方法进行求解.

（2）教师根据学生的解题情况分析比较两种定义的各自特点，并引导学生学会选择合适的方法解题.

设计意图：让学生学会选择合适的三角函数定义求解三角函数值.

例3 求证：当且仅当不等式组sin α<0，tan α>0成立时，角α为第三象限角，反之也对.

师生活动：

（1）教师先提示学生需双向证明.

（2）学生自主完成.

（3）教师总结并对答题规范做出示范.

设计意图：让学生能够根据三角函数值的符号判断角的位置和根据角的位置判定三角函数值的符号.

环节4 课堂小结，提炼方法

（1）学习内容：任意角的三角函数的两种定义，任意角的三角函数的定义域，任意角的三角函数值的符号规律.

（2）求任意角的三角函数值的基本思路：在直角坐标系中准确画出象限角的位置—根据所求角的特征—选择恰当的方法求值.

（3）根据任意角的两种三角函数值的符号确定角的位置的方法：先根据一种三角函数值的符号确定角可能所在的位置，再结合另一种三角函数值的符号确定角可能所在的位置，最后确定角的位置.

六、目标检测设计

目标检测题：

题组一：（Ⅰ）利用三角函数的定义求7π6的三个三角函数值.

检测目标：利用三角函数单位圆定义法求特殊角的三角函数值.

（Ⅱ）已知角α的终边过点P0（-12，5），求角α的三个三角函数值.

检测目标：利用三角函数终边定义法求三角函数值.

设计意图：根据问题的不同特点，选择恰当的方法求值.

题组二：（Ⅰ）设角α是三角形的一个内角，在sin α，cos α，tan α，tan α2中，哪些有可能取负值？

检测目标：判定角的三角函数值的符号.

（Ⅱ）已知角α满足sin α<0，cos α>0，则角α为第几象限角？

检测目标：根据角的三角函数值的符号判定角的位置.

设计意图：掌握三角函数值符号的规律.

【参考文献】[1]章建跃.《普通高中教科书·数学（人教A版）》“单元一课时教学设计”体例与要求[J].中学数学教学参考，2019（22）：14-16.

[2]马旭，欧阳尚昭.“集合的概念”教学设计、教学反思与点评[J].中学数学教学参考，2019（22）：17-23.

[3]易文辉.高中数学发展学生数学学科核心素养的策略分析：以“古典概型”教学为例[J].中学数学教学参考，2019（10）：16-20.