把握归纳推理，培养数学思维——以《倍的认识》一课为例

石迎春

（东北师范大学附属小学，吉林长春130000）

“倍”是一个比较抽象的概念，古文中“倍”表示“在原数的基础上增加相等的数”。例如“尝以十倍之地，百万之师，叩关而攻秦”，这里的“倍”就比较接近数学中“倍”的概念了。数学中的“倍”代表着两个数量间的比较关系，“一个数量包含了几个另一个数量”，我们就说这个数是另一个数的几倍。它的产生源于比较，代表着一种关系，这种关系却是看不到、摸不着的，因此对于低年级儿童来说“倍”的学习是一个难点。

一、归纳式教学对“倍”概念教学的价值分析

“倍”是从“加法结构”到“乘法结构”的过渡。“乘法结构”是一个概念体系，其中基本概念是乘法和除法，另外还包括与之相关的“倍、最大公因数、最小公倍数”等。从“加法结构”到“乘法结构”的转变，是学生认知结构一次“质”的变化，而“倍”的学习是认知结构的第一次转变。归纳式教学，尤其是注重过程的归纳式教学将儿童的原有认知结构作为教学的起点，要求学生在特定的学习主题和情境下，通过合情合理的推测、探究、体验等操作，经历知识原初产生的过程、经历多种思维沉思的过程，从而归纳概括出一般结论。注重过程的归纳式教学对儿童认知结构的转变，对“倍”概念的学习具有重要的价值和意义。

（一）从特殊到一般，建立“倍”概念的表象

在传统教学中，教师一般采用“概念同化”的方式来进行教学，即使在教学中重视了图示的运用、丰富的情境以及多种表征的配合，也都是通过演绎的思维方式来理解“倍”。注重过程的归纳式教学强调另一种概念学习的方式，即“概念形成”，通过归纳的思维方式得到“倍”的概念内涵，让学生在多种情境、多种数据关系的比较中，发现一般的规律和特征，进而建立“倍”概念的表象。

（二）从直观到抽象，经历用“实物→模型→算式”表示“倍”的过程

注重过程的归纳式教学要求儿童经历知识完整的形成过程，通过对具象的抽象，对个别的概括来学习新知。“倍”概念的建构需要儿童实现从绝对数量比较到相对数量比较的飞跃，具有一定的抽象性和概括性。儿童的思维具有具体、形象的特点，教学中可以遵循儿童数学思维发展的规律，引导学生经历“实物→模型→算式”表示“倍”的过程，帮助学生建立数学思维。首先从直观操作入手，通过实物来“摆倍”，进而用图形来“画倍”，最后通过算式来“算倍”。通过画图和列式来表示和计算“倍”是理解“倍”概念的核心，在此基础上抽象出“倍”的模型，理解“倍”概念的本质。

二、学情调研与教材分析

（一）学情调研

儿童拥有对客观世界的独特见解和自发的概念结构。维果斯基（L.S.Vygosky）将儿童在日常生活经验中获得的自然而发的概念称为“生活概念”，也有学者称之为“前概念”。注重过程的归纳式教学在进行教学设计时要了解儿童已有的生活概念是怎样的，要在此基础上进行教学。学生在认识“倍”之前已经积累了很多“平均分”、“数量比较”的经验，在正式上课之前，笔者对学生进行了访谈，通过调查发现：

1.学生听说到过“倍”，但是不理解“倍”的真正含义

“你听说过‘倍’这个概念吗？”对于这个问题，大多数学生都说听过，只有两个人说没听过。“我在书中见过这个词，例如倍感欣慰。”“我在数学课外班做题的时候，遇到过倍数问题”。当教师追问“你能具体讲一讲‘倍’是什么意思吗？”几乎没有人能够顺利来解释。“我猜和‘很’是一个意思吧，倍感欣慰，就是很欣慰的意思。”“可能是表示越来越多吧，我听妈妈说过今年挣的钱翻倍了。”通过对学生的访谈发现大部分学生听说过倍，但是对于倍的理解还是停留在初级的层面，没有理解倍的真正含义。

2.学生描述“两个数量之间的关系”，还只是停留在“比多、比少”上

给出一幅关系图，你能说一说方形和三角形在数量上有什么关系吗？

图1

学生的回答都是：方形比三角形少4个，三角形比方形多4个。教师追问“还有其他的方式来描述它们数量之间的关系吗？”所有学生都摇头说不知道。教师继续追问“仔细观察这幅图，你知道谁是谁的几倍吗？”

生1：（挠头）是3倍吧。师：谁是谁的3倍？

生1：方形是三角的3倍。

生2：不对，是多3倍，三角比方形多3倍。

生3：同意，是多3倍。也可以说是方形比三角少3倍。

通过以上对话可以发现，学生在描述两个数量的关系上，还是停留在“比多、比少”上，当教师提示可以用“倍”来描述时，学生对于“谁是一倍量，谁是多倍量”是比较模糊的，另外，学生认为比较两个数量就一定要用“多少”来描述，例如“多3倍，少3倍”。对于三角形的数量有3个方形那么多，学生是有直观感知（数学直觉）的，但是对于绝对数量的比较也就是“差比”到相对数量的比较“倍比”，也就是加法结构到乘法结构的转变，学生在理解上是有困难的。

“倍”的相关知识和后续的“比”的知识联系比较密切，因此笔者又随机抽取了3位同学进行了分物游戏。在分物的时候，为了公平，学生知道要进行平均分，但是对于要把6袋糖果分给2个小组，一个小组是3人，另一个小组是6人时，学生的经验是先把人进行等分，然后再把糖果按照人的份数进行“一一对等”分，也就是说学生对于按比例分配是有一定的认知基础的。因此在本研究中，我们将“按比例分物”作为学习倍的基础，以此让学生感受“倍”产生的必要性。

有过程的归纳教学是以学生者为中心的教学，其典型的特点之一是根植于儿童的生活概念。因此在“倍”的教学中，不能将儿童关于“倍”的前概念，单纯作为“错误”去排除、去矫正，而应将其作为教学资源的一部分，应在解决困惑的基础上去推进儿童概念的发展。因此在教学中，可以尝试放慢脚步，让学生在比较的情境中体会出在“比多少”的众多情况中存在着一种较为特殊的情况，即多少出的部分是由几个“一份”组成，将学习环节细化，让学生用自己的方式表达这种特殊的情况，最终形成对“倍”的理解。

（二）教材对比分析

笔者对国内的“北师、人教、苏教、青岛、河北”这五个版本教材“倍”的内容进行了对比分析。通过比较发现，在年段安排上，北师版教材和河北版教材是最早学习的，在学力基础上也就是从相关知识的铺垫上，北师在“2、3、4、5”乘法和除法之后学习的倍，学生的学习基础是最为薄弱的。在课时安排上各个版本教材都设计了3课时，人教是单设单元进行学习，其他版本都是在相关的计算单元内完成的。在关于问题情境的设计上，各个版本的教材都是从“除法”情境入手，也就是采用“求一个数是另一个的几倍”这样的情境来认识“倍”。另外，本研究重点对人教版和北师版教材进行了分析，我们发现两个版本的教材都注重通过实物、算式、文字、几何符号等多种表征方式来促进学生对“倍”概念的理解，多种表征方式的使用能够更好地帮助学生理解抽象的数学概念。这两个版本的教材都强调了“份”，通过直观的图示，利用“份”或者是“几个那么多”来帮助学生理解倍。“倍”在表示数量关系的时候，实际上就是一份和多份之间的关系。“份”是学生通过圈一圈可以直接看到和感知的，而“倍”则是学生在头脑中通过运算算出来的，借助“份”或者是“几个那么多”可以降低学生对“倍”理解的困难。

三、学习材料的选择与学习任务的设计

通过学情分析和不同版本教材的对比分析，确定了本节课按照“感受倍产生的意义—归纳倍的涵义—在变式中理解倍—倍的实际应用”这样的逻辑顺序进行教学。具体的学习目标和学习任务设计如下。

（一）教学目标

1.在具体情境中经历“倍”概念的初步形成过程，初步理解“倍”的含义，弄清一份的标准以及几份和几倍之间的联系。

2.在学习过程中让学生学会观察、操作、分析、推理以及有条理的叙述。

3.使学生养成善于动手、勤于动脑的良好学习习惯和对数学的学习兴趣。

（二）学习任务

表1学习任务及具体教学设计

四、注重过程的归纳式教学的展开

（一）创设问题情境，感受“倍”概念产生的必要性

注重过程的归纳式教学强调“问题情境”对学生学习的重要性。情境，尤其是蕴藏问题的情境能够引出需要解决的基本问题，激发学生的学习动机，引导学生对基本问题进行探究。基于对“倍”本质的分析，笔者试图将“倍的认识、商不变的规律、比”等几个知识点在纵向上沟联起来形成知识体系，各内容之间相互呼应、彼此渗透。因此设计了真实的、富有挑战的又蕴含比例推理思想的“根据人数来分物”的问题情境。

图2能直接平均分

图3不能直接平均分

首先创设“有6袋糖果，要分给松鼠班和小狗班，怎么分比较合理呢？”这样一个平均分的情境，将学生的学习带入到比较数量之间的关系中来，当数量相等时，可以直接进行平均分。之后讨论数量不相等的情况，“把6袋糖果分给猴子班和猩猩班，怎么分比较合理呢？”通过讨论，学生发现数量不相等时，只知道“谁多谁少”已经不能直接解决问题，需要进一步研究他们之间更深层的关系才能够解决问题。通过这样一个按比例分物的情境，让学生体会到“倍”概念产生的必要性。

（二）提供有效的学习材料，通过类比归纳出“倍”的本质

波利亚在《怎样解题》中提出：“归纳是通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程。”也就是说归纳是从观察出发的，通过观察、分析、比较等思维操作活动，来发展儿童的归纳推理能力。二年级学生数学抽象能力较弱，因此教师要提供利于观察的、特征较明显的学习材料，为学生的归纳抽象搭好梯子和脚手架，帮助学生在特殊中发现一般，在个别中抽象出共性。教学中教师在引导学生观察“猴子和猩猩”这组数据之后，又提供了多组具有“倍”的特点的数据，让学生在众多数据的比较中，发现在“比多少”的众多情形中存在着一种特殊的关系，即多出的部分是由几个“一份组成”的，让学生自发想办法来表达这一类关系，这样的设计实现了学习方式由“概念同化”向“概念形成”的转变，最终帮助学生形成对“倍”概念本质的理解。

图4教学中提供给学生的具有“倍”关系的数据

（三）设计有层次的学习任务，关注操作体验和对话省思，深入理解“倍”

儿童获得知识的过程是动态的，一定要摸一摸、试一试、探一探，儿童亲自体验、操作了，才更有可能理解。因此，教师要设计具有“探究性”的操作活动，通过“探究性学习任务”的驱动，引导儿童基于个人经验亲身参与到发现、探究和建构的过程中来，本节课主要设计了如下的操作活动来帮助学生深入理解倍。

1.摆一摆、画一画，算一算，经历“实物→模型→算式”表示“倍”

儿童对“倍”概念的理解不是一蹴而就的，是需要循环往复和不断加深的。因此我们设计了两个分层学习任务：一是给出1倍量，学生摆出2倍量；二是学生自己创造2倍。设计的这两个任务遵循了儿童的认知发展规律，通过“实物→模型→算式”这个逐步抽象的过程来深入认识“倍”。在这个环节中，教师要引导学生从实物的操作逐步过渡到抽象的思考上，使学生逐步建立“倍”的模型，理解其本质。

图5摆一摆学习指南

图6画一画学习指南

2.说一说，议一议，辨一辨，在师生、生生对话中辨析“倍”

在这个环节中，教师要设计关键性的追问问题，通过不断的追问加深对“2倍”的理解。

问题一：2在哪里？在图中并没有数字2，2在哪里？（其实他藏在6和3的关系里）

问题二：1在哪里？（来凸显对“1份”的理解）

问题三：明明是3个，为什么要说成1？（以此来强调1份作为标准的作用）

图7针对学生作品的作品，教师进行追问

这些追问直接指向“倍”的概念，能够帮助说出结果的学生加深对“倍”的理解，帮助听的学生厘清两者之间的关系，学会新的表达方式，让更多学生理解“倍”的概念、强化对“倍”的理解。

3.提供“变式结构”，在辨析中深化对“2倍”的认识

“标准结构”不能促进学生真正的思考，教学中可以提供“变式结构”，在辨析中深化对所学知识的理解。在“创造2倍”环节中，学生抽象出4是2的2倍，10是5的2倍，8是4的2倍，并找出其中的标准即一倍量，在变式中反复体会2倍的关系，引导学生归纳出2倍的本质：将一倍量作为标准，另一个数里有这样的2份，这就是2倍的关系。从而引导学生“舍弃各种不相干的因素”，在变中抓不变。而这个“不变”，正是两个数量之前的2倍关系，从而更为深入的揭示了现象的本质，这个本质就是新概念“倍”。

（四）追溯起点问题“分糖果”，用“真任务”来评价学生的学习

在学生明晰“倍”的概念之后追溯到开课的起点问题“分糖果”，猩猩和小猴之间是2倍的关系，那么分糖果也要按照2倍的关系来分，这样才是公平合理的。学生利用所学习的“倍”的知识来解决实际的问题，这一环节设计一方面是回应本节课的情境设计，另一方面也是通过这样一个真情境中的任务解决来对学生的学习效果进行评价。

以上，是注重过程的归纳教学在“倍的认识”一节课中的运用，通过实践探索我们可以发现注重过程的归纳教学在进行关于数学概念的教学中具有重要的价值和意义。在实际操作中，首先要重视问题情境的创设，要让儿童在问题解决中感知到数学概念学习的必要性；其次要开发有效的学习材料，让儿童在类比中进行归纳和抽象；再次要设计有层次的学习任务，关注任务解决中儿童的操作体验和对话省思；最后要设计真实的任务来对学生的学习结果进行评价。