复变函数法计算圆形盾构隧道周边土体位移

杨 淼，戴武奎，王 颖

（中国建筑东北设计研究院有限公司 岩土公司，辽宁 沈阳 110006）

0 引言

随着大中城市地下轨道交通建设发展，隧道开挖对周围环境影响显得日益重要.目前，计算圆形盾构隧道周围土体变形的方法主要有：经验法、解析解法和有限元法.而在解析解方面，主要有双击坐标法、镜像法、Airy应力函数法和复变函数法.

复变函数求解隧道问题的优点为，能够把半无限空间映射为定值圆环，而不会影响解析函数求解，并且无穷远端也被映射到圆弧上一点，通过位移差，可以保证无穷远端位移为零.VERRUIJTT[1-2]应用复变函数推导出了隧道孔洞周围在均布径向位移和应力条件下的解析解.王立忠[3]、童磊[4]、张治国[5]均利用PARK[6]或相似的经验边界椭圆化变形形式完成了隧道土体变形复变函数求解.由于经验边界变形形式的引入，使得解析解变得有针对性.

本文在已有复变函数解析解基础上，利用隧道边界土体和混凝土衬砌相对空间位置及协调变形关系，推导出新的复变函数解析解边界条件，不再采用指定的经验边界条件，求出圆形盾构隧道周围土体变形复变函数解，使得计算结果更具有普遍性.采用计算机编程实现算法.

1 隧道位移函数

1.1 基本假设

为满足平面应变要求，假定隧道在轴线上无限长；土体为半无限空间弹性体；土体和衬砌相互作用，满足协调变形条件，但二者之间无摩擦力[7]；不考虑渗流对变形的影响，假设盾构过程中不排水.半空间单圆孔隧道平面简图见图1，采用复数直角坐标系表示，h为隧道中心埋置深度，0r为隧道半径，A为坐标原点，B为无穷远端，C为隧道顶，D为隧道底，R区域为隧道孔洞外区域.

图1 单孔半无限空间Fig.1 half plane with a circular cavity

1.2 位移函数

根据Muskhelishvili[7]平面问题复变函数解法，可以用R区域内的解析函数φ(z)和ψ(z)来表示土体应力和位移分量.应力公式为

位移公式为

式中，G为土体剪切模量，kPa，G=E/2(1+υ)；E为土体弹性模量，kPa；υ为土体泊松比；Ux为土体水平位移，m；Uy为土体竖向位移，m；参数κ=3 -4υ.

在z平面，地表处，土体应力为零；在圆形隧道孔洞处有已知变形，则有

2 复变函数理论

2.1 共形映射

通过Mobius共形映射公式变换，z平面半无限空间中单孔圆形隧道可以转换为ζ平面中定直径圆环，图2为映射后区域.共形映射表达式为

R区域中孔洞边界，地表，点A，点B，点C，点D分别映射到r区域中的，，点A"，点B"，点C"，点D".

图2 mobius共形映射区域Fig.2 plane of mobius conformal transformation

2.2 Laurent级数展开

φ(z)和ψ(z)在R区域内是解析函数，根据复变函数理论中解析函数定理，φζ()和ψζ()在r区域内也是解析函数.φζ()和ψζ()的Laurent双边幂级数展开形式为

式中，0a，ka，kb，0c，kc，dk可由位移函数确定.

2.3 确定级数系数

地表应力边界条件，即式（6）改写为

将式（9）～式（11）代入式（12），得到

隧道洞口位移边界条件，即式（7）改写为

令f*(ασ)=(-ασ).f(ασ)=，将式（9）～式（11）、式（13）～式（15）代入式（16）中，得

3 隧道土体变形复变函数解

3.1 隧道土体变形计算模型

盾构隧道开挖面与衬砌之间存在间隙，为反映隧道开挖推进过程和隧道施工造成的地层损失，LEE[8]提出了间隙参数g，其表达式为

式中，Gp为物理空隙，m，Gp=2Δ+δ；Δ为盾构机盾尾厚度，m；δ为拼装衬砌所需的最小空间，m；为开挖面推进引起的等效三维径向位移，m；ω为与施工质量有关的参数.

LOGANATHAN[9]等研究发现，圆形隧道地层变形呈椭圆化变形，由此得出地层损失率经验公式；SAGASETA[10]提出隧道边界最终变形由造成地层损失的洞口径向均匀收缩和不引起体积变化的衬砌椭圆化变形及隧道面竖向沉降组成；Park[6]根据工程经验提出4种椭圆化边界变形形式，BC-3和BC-4条件较符合实际；王立忠[3]、童磊[4]、张治国[5]等采用PARK[6]或相似的经验变形形式作为边界条件来推导解析解，在一定程度上小弱了解析解的优势.

本文根据混凝土衬砌与隧道孔洞土体相对位置以及位移协调关系，建立函数关系并完成求解.

衬砌与隧道孔洞空间位置见图3，实线表示未变形前衬砌和孔洞空间位置，虚线所示的椭圆形为变形后土体与衬砌边界线.

图3 隧道土体变形计算模型Fig.3 deformation modes of tunnel cavity

二者位移关系采用极坐标表示为

式中，Ur为土体以o"中心的径向位移，m；为径，m；u0为隧道与衬砌半径差，m，u0=g/2.混凝土衬砌以o"中心的径向位移，m；r0为隧道半

根据FLÜEGGE[11]衬砌位移-应力关系（满足假设衬砌厚度远小于隧道半径），得到

式中，sE为衬砌的弹性模量，kPa；sν为衬砌的泊松比；sA为每延米衬砌圆环的截面面积，m2；Is为每延米衬砌圆环对圆心的惯性矩，m4/m.

由衬砌与土体之间无摩擦假定可知，二者接触面上的应力关系为

式中，rσ为土体的径向应力，kPa；r"θτ为土体的切应力，kPa；为衬砌的径向应力，kPa；为衬砌的切应力，kPa.

当r=0r时，由式（21）～式（23）、式（26）、式（27）可得

求解式（28）微分方程并取特解

式中，σr为衬砌与土体接触面上衬砌对土体的应力，kPa，浅埋隧道σr=γ(h-r0sinθ")；γ为土体重度，kN/m3.令m=1+F/C，

得到

3.2 复变函数解

由于复变函数建立的xoy坐标系与上述x"o"y坐标系不同，需对隧道周边的位移条件进行变换，如图4所示.二者之间的关系为

隧道周围土体中任一点M，在xoy和x"o"y坐标系点位分别表示为zc和，可以建立如下关系

由式（31）～式（33）可得到

图4 极坐标转换Fig.4 transformation of polar coordinate

将式（30）转化到z平面上，得到

将式（36）转化到ζ平面上，得到

将式（37）代入式（16），得到

式中，

3.3 算法实现程序

采用Matlab软件实现解析函数求解过程，最终完成隧道周围土体变形计算.编制的运算程序包括9个参数，分别为隧道埋置深度、隧道半径、衬砌内半径、空隙参数、土体弹性模量、土体泊松比、衬砌弹性模量、衬砌泊松比和土体重度.

图5 程序流程Fig.5 flow chart of program

求解步骤如下：

（1）假定初始a0为任意某一虚数，代入式（17）～式（20），求得ak，kb；

（2）由于对称性，当k循环到一定次数时，也趋向一固定值C，将C与a0相加之和作为新的0a重新代入式（17）～式（20）计算.由于解析函数φ(z)和ψ(z)是收敛级数，，经过若干次迭代后，C趋向0（本文控制精度为C≤10-8），可以求得初始a0，及ak，kb；

（3）将0a、ak、kb代入式（13）～式（15），求得kc，dk，即求出解析函数φζ( )和ψζ( )，根据z与ζ关系，确定解析函数φ(z)和ψ(z)；

（4）根据式（3）（位移公式），确定其实部和虚部数值，即为土体的水平位移和竖向位移（在计算时需注意，各点位移需减去无穷远处位移，才与无穷远端位移为零的设定相符合）.

4 计算结果分析

4.1 计算结果与实测数据对比

应用Matlab复变函数解程序计算文献[9]的Heathrow隧道、Thunder Bay隧道、Green Park隧道、Barcelona隧道和Bangkok下水道地表沉降量，并将计算结果与各隧道实测地表沉降量对比.5条隧道的工程参数见表1，其他参数E=Eu，ν=0.2，Es= 25 000 MPa ，νs=0.2.

隧道地表沉降量理论计算值与实测数据对比结果见图6，x轴和y轴分别表示地表水平距离（m）和地表沉降值（mm），可以看出，采用本文复变函数方法计算所得沉降量曲线与实测数据分布特征一致，符合Peck正态曲线特征.在隧道中心线附近沉降量最大，随着水平距离增大，沉降量快速减小.同时发现，理论沉降量和实测沉降量存在一定偏差，相对差值约为15%～20%，理论沉槽宽度比实测宽度略大，需要进一步研究.

4.2 隧道地表沉降量影响因素分析

在应用复变函数求解隧道周围土体变形理论中，涉及到较多参数，而每个参数对最终结果的影响程度需要进行对比研究，在今后的隧道设计中重视这些参数的选取.

根据式（30），最终位移不受土体模量影响.同时考虑到实际工程中，衬砌混凝土标号为固定型号，因此衬砌混凝土弹性模量和泊松比为常值.

因此，本文假定了7种情况，后6种情况相较第1种情况分别改变一个参数数值，见表2.形成3组对比，分别就隧道埋置深度、隧道半径、土体泊松比和土体模量对地表沉降量的影响程度进行讨论.Es=25 000 MPa，νs=0.2.计算结果见图7.

表1 隧道工程参数Tab.1 parameters of tunnels

表2 7种工况隧道工程参数Tab.2 parameters of tunnels in different cases

图6 各隧道地表沉降量对比Fig.6 comparison of ground surface settlements of tunnels

图7 不同工况地表沉降对比Fig.7 comparison of ground surface settlements of different cases

隧道埋置深度.在土质等其他参数相同情况下，隧道埋置深度越小，沉降曲线越陡，地表沉降量越大，沉槽宽度越窄.在隧道中心线附近，地表沉降量受隧道埋置深度影响较大，而远端则影响不明显.埋深减小1/4，中心沉降量增大近0.4倍，可见隧道埋置深度是隧道周围土体变形重要影响因素之一.

隧道半径.在土质其它参数相同情况下，隧道半径越大，沉降曲线越陡，但没有隧道埋置深度影响大，地表沉降量越大，沉槽宽度越大.在隧道中心线附近，地表沉降量受隧道半径影响较大，而远端影响较小.隧道半径增大1/8，中心沉降量增大近1/7，可见隧道半径是隧道周围土体变形的重要影响因素之一，但对沉降曲线形状影响一般.

土体泊松比.在隧道几何等参数相同情况下，土体泊松比越小，地表沉降量越大，沉槽宽度越大.在隧道中心线附近，地表沉积量受土体泊松比影响较大，而远端影响较小.土体泊松比减小1/5，中心沉积量增大近1/5，可见土体泊松比也是隧道周围土体变形的重要影响因素之一，但对沉降曲线形状影响较小.

上述参数对土体位移的影响，也一定程度的解释了上节中计算结果与实测结果存在偏差的现象.实际工程中，地层中土层分布复杂，与半无限空间弹性体的理想假设不同.不同层土质模量不同，而根据巴克洛夫斯基当层理论，上层模量大的土层被下层模量小的土层替换，则土层厚度增加，则影响隧道埋置深度，影响理论值大小.

5 结论

（1）结合衬砌和土体之间位置及变形协调关系，推导出复变函数解析解新的边界条件，提出圆形盾构隧道土体变形的复变函数解法.本文衬砌和土体径向位移差等于二者间位置差，由此推导边界变形函数，改变了之前相似算法采用经验边界变形函数，更具有普遍性.考虑到无穷远端变形为零的情况，使计算结果更符合实际.

（2）本文计算方法涉及的参数较少，且容易测定，并且具有较强的通用性，计算结果比较贴近工程实际，将对盾构隧道的设计方案具有比较大的指导意义.

（3）随着隧道埋置深度的减小，隧道中心附近土体变形增大显著，而远端略有减小，沉槽宽度明显变窄；随着隧道半径的增大，隧道中心附近土体变形增大显著，沉槽宽度变宽；随着土体泊松比变小，隧道中心附近土体沉降增大，沉槽宽度变宽.即隧道埋置深度、隧道半径、土体泊松比均是隧道土体变形重要影响因素，而土体模量在本计算方法中对结果影响较小.