考点透视思路突破 视角切换多解探究

杨晓艳

[摘  要] 解析几何中的角问题是高考的重点题型，该类问题常以圆锥曲线与直线为背景，构建几何角，探究角之间的数量关系. 合理转化角是解题的关键，文章以一道解析几何倍角关系问题为例，开展问题透视，多解探究，并总结角转化策略，结合实例拓展探究，同时基于教学实践进行解后反思，提出相应的建议.

[关键词] 解析几何;离心率;斜率;倾斜角;方法

[?]考题再现，问题透视

1. 问题呈现

考题：（2021年八省联考数学卷第21题）双曲线C：-=1（a>0，b>0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，

AF

=

BF

.

（1）求C的离心率;

（2）若B在第一象限，证明：∠BFA=2∠BAF.

2. 问题透视

上述是一道关于双曲线与直线的解析几何综合题，考题共分两问，第一问求双曲线的离心率，考查离心率的相关知识;第二问则是关于倍角关系的证明题，问题依托双曲线的顶点A、焦点F、曲线上的动点B构建了∠BFA和∠BAF，考查圆锥曲线中的角计算和倍角转化知识.

对于第一问，解析关键是从条件中提取关于a，b，c的一组关系，然后结合a2+b2=c2来逐步推导. 而第二问的难点主要有两个：一是如何转化圆锥曲线中的几何角，二是如何构建倍角关系. 解析时需要理清问题图像，把握图像特征，问题所涉∠BFA和∠BAF为△ABF的内角，而该三角形较为特殊，探究倍角关系可将其放置在对应三角形中，利用与“数”“形”结合紧密的三角函数来间接构建.

[?]思路构建，逐问突破

（1）可设双曲线的半焦距为c，则右焦点F的坐标为（c，0），点B位于双曲线上，则点B的坐标可表示为

c，±

. 又知

AF

=

BF

，则=a+c，故c2-ac-2a2=0，即e2-e-2=0，解得e=2，所以双曲线C的离心率为2.

（2）点B位于第一象限，可设点B（x，y），其中x>a，y>0，因为双曲线的离心率e=2，则c=2a，b=a，可求得双曲线的渐近线方程为y=±x，所以∠BAF∈

0，

，∠BFA∈

0，

，可推知点A（-a，0），点F（2a，0）.

①当x>a，x≠2a时，根据正切与直线斜率关系可得tan∠BFA=-k=-= -，tan∠BAF=k=，所以tan2∠BAF====-=tan∠BFA. 因为2∠BAF∈

0，

，所以∠BFA=2∠BAF.

②而当x=2a时，由（1）问可得∠BFA=，∠FAB=，所以∠BFA=2∠BAF.

综上可知，∠BFA=2∠BAF.

[?]切換视角，多解探究

上述在探究第（2）问的倍角关系时基于三角形引入了正切函数，并基于直线斜率与正切值的关系来转化求解，从而完成了证明. 实际上对于该问还可以采用不同的方法加以突破，多解探究的视角有两个：一是采用不同的方式设定点B的坐标;二是从不同视角处理其中的角问题. 下面详细探究，全面呈现多解思路.

多解探究1——设定参数方程

上述基于双曲线的标准方程设定了点B的坐标，实际计算时运算量较大，此时可考虑利用双曲线的参数方程，设定点B的参数坐标，即点B（asecθ，atanθ），则根据原解法的思路可得tan∠BFA= -k=-=，tan∠BAF=k==，则tan2∠BAF=，整理可得tan2∠BAF=，即tan2∠BAF=tan∠BFA，结合角的取值范围可确定∠BFA=2∠BAF.

评析：上述利用双曲线的参数方程，设出动点B的参数坐标，后续计算有两个优势：一是优化了运算过程，二是避免了分类讨论. 其中所涉角为三角形内角是隐含条件，在倍角证明时要充分利用.

多解探究2——平面向量转化

在处理解析几何角的问题时除了可以利用直线斜率与正切关系外，还可以利用向量对角的反映，利用向量运算来推导关键条件.

设点B（x，y），由圆锥曲线的定义可得BF=2x-a，作∠BFA的角平分线，与AB交于点M. 由三角形的内角平分性质可得===，则可得向量关系=，即x+a=（x-x），可解得x==，所以有MA=MF，则∠BFA=2∠BAF.

评析：上述在计算证明倍角问题时引入了向量，利用向量运算推导出关键条件：MA=MF，该种方法是解析几何常用的几何法，核心思想是把握问题的几何特征，结合解析运算挖掘几何性质.

[?]方法总结，拓展探究

1. 方法总结

上述倍角问题可以归结为解析几何角问题，所涉两角的显著特点是角的一边与坐标方向相一致，故可结合角与直线的倾斜角联系来转化构建，即用点坐标来表示所要研究的角的正切值. 实际上解析几何中的角问题还有如下三种情形，对于不同情形可采用不同的转化方法.

情形一：当角的两边所在直线的斜率容易求得时，可将角看作是两条直线的夹角，或一条直线到另一直线的旋转角，此时可以利用到角与夹角公式来求解，所涉公式均与直线的斜率相关，故需要讨论直线的斜率不存在的情形.

情形二：当一个角是锐角、直角或钝角时，可将该角视为是两个向量的夹角，则可将角条件转化为点坐标之间的关系，需要关注的是两个向量的夹角的大小范围为[0，π].

情形三：当问题所涉为三角形的内角时，可联系三角形的其他边、角条件，利用三角形的边角关系转化角问题.

2. 拓展探究

问题：设椭圆C：+y2=1的右焦点为点F，过点F的直线l与C交于点A和B，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;

（2）设坐标原点为O，试证明：∠OMA=∠OMB.

解析：（1）由题意可知右焦点F（1，0），直线l的方程为x=1，分析可得点A

1，

或

1，-

，所以直线AM的方程为y=-x+或y=x-.

（2）①当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

②当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

当l与x轴不垂直也不重合时，设l的方程为y=k（x-1） （k≠0），设点A（x，y）、点B（x，y），则x，x<2，直线MA和MB的斜率之和可表示为k+k=+=. 联立y=k（x-1）与+y2=1，整理可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，由根与系数关系可得x+x=，xx=，所以2kxx-3k（x+x）+4k=0，从而有k+k=0，故直线MA和MB的倾斜角互补，所以有∠OMA=∠OMB.

综上可知，∠OMA=∠OMB.

评析：上述证明圆锥曲线中的角相等，对应角可视为是两条直线的倾斜角，故解析时充分利用了直线斜率的特殊结论，即若两直线的斜率之和为0，则两条直线的倾斜角互补. 另外对于解析几何中的垂直问题，可用直线斜率之积为-1来加以证明，斜率的构建思路与上述总结的方法相似.

[?]解后反思，教学建议

上述深入探究了解析几何中角的问题，并总结了相应的构建思路，向量法、斜率法是常见的解析方法. 挖掘问题本质，注重知识关联，总结问题解法是解题探讨的关键，下面基于教学实践进行深入反思.

1. 透视考点，挖掘本质

透视问题考点，挖掘问题本质是解题探究的关键环节，解析几何综合题所涉考点较为众多，审题环节时要深刻理解题意，把握问题的考查方向、知识要点. 可提取问题的关键词，结合图像理解问题的构建思路，然后关联教材知识点，定位问题考点. 如上述考题证明解析几何中的倍角关系，实则考查的是等角关系构建，解析过程用到了直线斜率，故本质上是关于直线倾斜角与斜率的问题. 教学中建议引导学生逐句审题，全方位思考，定位考点，重点剖析突破.

2. 知识关联，形成体系

解析几何兼具代数与几何两大知识模块的特征，解析过程要充分把握曲线的函数与几何屬性，从“形”的角度审视图像，从“数”的角度逐步推理. 同时关注问题的知识关联，挖掘定义的几何意义，如离心率的几何意义、斜率运算中特值的几何意义等. 教学中注重引导学生充分探究圆锥曲线的知识考点，结合函数知识的研究方法，分析图形变化，推导定理公式，立足知识联系，构建完整的知识体系.