考点透视思路突破 视角切换多解探究

2021-03-22 02:57杨晓艳
数学教学通讯·高中版 2021年9期
关键词:解析几何倾斜角斜率

杨晓艳

[摘  要] 解析几何中的角问题是高考的重点题型,该类问题常以圆锥曲线与直线为背景,构建几何角,探究角之间的数量关系. 合理转化角是解题的关键,文章以一道解析几何倍角关系问题为例,开展问题透视,多解探究,并总结角转化策略,结合实例拓展探究,同时基于教学实践进行解后反思,提出相应的建议.

[关键词] 解析几何;离心率;斜率;倾斜角;方法

[?]考题再现,问题透视

1. 问题呈现

考题:(2021年八省联考数学卷第21题)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上,当BF⊥AF时,

AF

=

BF

.

(1)求C的离心率;

(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.

2. 问题透视

上述是一道关于双曲线与直线的解析几何综合题,考题共分两问,第一问求双曲线的离心率,考查离心率的相关知识;第二问则是关于倍角关系的证明题,问题依托双曲线的顶点A、焦点F、曲线上的动点B构建了∠BFA和∠BAF,考查圆锥曲线中的角计算和倍角转化知识.

对于第一问,解析关键是从条件中提取关于a,b,c的一组关系,然后结合a2+b2=c2来逐步推导. 而第二问的难点主要有两个:一是如何转化圆锥曲线中的几何角,二是如何构建倍角关系. 解析时需要理清问题图像,把握图像特征,问题所涉∠BFA和∠BAF为△ABF的内角,而该三角形较为特殊,探究倍角关系可将其放置在对应三角形中,利用与“数”“形”结合紧密的三角函数来间接构建.

[?]思路构建,逐问突破

(1)可设双曲线的半焦距为c,则右焦点F的坐标为(c,0),点B位于双曲线上,则点B的坐标可表示为

c,±

. 又知

AF

=

BF

,则=a+c,故c2-ac-2a2=0,即e2-e-2=0,解得e=2,所以双曲线C的离心率为2.

(2)点B位于第一象限,可设点B(x,y),其中x>a,y>0,因为双曲线的离心率e=2,则c=2a,b=a,可求得双曲线的渐近线方程为y=±x,所以∠BAF∈

0,

,∠BFA∈

0,

,可推知点A(-a,0),点F(2a,0).

①当x>a,x≠2a时,根据正切与直线斜率关系可得tan∠BFA=-k=-= -,tan∠BAF=k=,所以tan2∠BAF====-=tan∠BFA. 因为2∠BAF∈

0,

,所以∠BFA=2∠BAF.

②而当x=2a时,由(1)问可得∠BFA=,∠FAB=,所以∠BFA=2∠BAF.

综上可知,∠BFA=2∠BAF.

[?]切換视角,多解探究

上述在探究第(2)问的倍角关系时基于三角形引入了正切函数,并基于直线斜率与正切值的关系来转化求解,从而完成了证明. 实际上对于该问还可以采用不同的方法加以突破,多解探究的视角有两个:一是采用不同的方式设定点B的坐标;二是从不同视角处理其中的角问题. 下面详细探究,全面呈现多解思路.

多解探究1——设定参数方程

上述基于双曲线的标准方程设定了点B的坐标,实际计算时运算量较大,此时可考虑利用双曲线的参数方程,设定点B的参数坐标,即点B(asecθ,atanθ),则根据原解法的思路可得tan∠BFA= -k=-=,tan∠BAF=k==,则tan2∠BAF=,整理可得tan2∠BAF=,即tan2∠BAF=tan∠BFA,结合角的取值范围可确定∠BFA=2∠BAF.

评析:上述利用双曲线的参数方程,设出动点B的参数坐标,后续计算有两个优势:一是优化了运算过程,二是避免了分类讨论. 其中所涉角为三角形内角是隐含条件,在倍角证明时要充分利用.

多解探究2——平面向量转化

在处理解析几何角的问题时除了可以利用直线斜率与正切关系外,还可以利用向量对角的反映,利用向量运算来推导关键条件.

设点B(x,y),由圆锥曲线的定义可得BF=2x-a,作∠BFA的角平分线,与AB交于点M. 由三角形的内角平分性质可得===,则可得向量关系=,即x+a=(x-x),可解得x==,所以有MA=MF,则∠BFA=2∠BAF.

评析:上述在计算证明倍角问题时引入了向量,利用向量运算推导出关键条件:MA=MF,该种方法是解析几何常用的几何法,核心思想是把握问题的几何特征,结合解析运算挖掘几何性质.

[?]方法总结,拓展探究

1. 方法总结

上述倍角问题可以归结为解析几何角问题,所涉两角的显著特点是角的一边与坐标方向相一致,故可结合角与直线的倾斜角联系来转化构建,即用点坐标来表示所要研究的角的正切值. 实际上解析几何中的角问题还有如下三种情形,对于不同情形可采用不同的转化方法.

情形一:当角的两边所在直线的斜率容易求得时,可将角看作是两条直线的夹角,或一条直线到另一直线的旋转角,此时可以利用到角与夹角公式来求解,所涉公式均与直线的斜率相关,故需要讨论直线的斜率不存在的情形.

情形二:当一个角是锐角、直角或钝角时,可将该角视为是两个向量的夹角,则可将角条件转化为点坐标之间的关系,需要关注的是两个向量的夹角的大小范围为[0,π].

情形三:当问题所涉为三角形的内角时,可联系三角形的其他边、角条件,利用三角形的边角关系转化角问题.

2. 拓展探究

问题:设椭圆C:+y2=1的右焦点为点F,过点F的直线l与C交于点A和B,点M的坐标为(2,0).

(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设坐标原点为O,试证明:∠OMA=∠OMB.

解析:(1)由题意可知右焦点F(1,0),直线l的方程为x=1,分析可得点A

1,

1,-

,所以直线AM的方程为y=-x+或y=x-.

(2)①当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.

②当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.

当l与x轴不垂直也不重合时,设l的方程为y=k(x-1) (k≠0),设点A(x,y)、点B(x,y),则x,x<2,直线MA和MB的斜率之和可表示为k+k=+=. 联立y=k(x-1)与+y2=1,整理可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,由根与系数关系可得x+x=,xx=,所以2kxx-3k(x+x)+4k=0,从而有k+k=0,故直线MA和MB的倾斜角互补,所以有∠OMA=∠OMB.

综上可知,∠OMA=∠OMB.

评析:上述证明圆锥曲线中的角相等,对应角可视为是两条直线的倾斜角,故解析时充分利用了直线斜率的特殊结论,即若两直线的斜率之和为0,则两条直线的倾斜角互补. 另外对于解析几何中的垂直问题,可用直线斜率之积为-1来加以证明,斜率的构建思路与上述总结的方法相似.

[?]解后反思,教学建议

上述深入探究了解析几何中角的问题,并总结了相应的构建思路,向量法、斜率法是常见的解析方法. 挖掘问题本质,注重知识关联,总结问题解法是解题探讨的关键,下面基于教学实践进行深入反思.

1. 透视考点,挖掘本质

透视问题考点,挖掘问题本质是解题探究的关键环节,解析几何综合题所涉考点较为众多,审题环节时要深刻理解题意,把握问题的考查方向、知识要点. 可提取问题的关键词,结合图像理解问题的构建思路,然后关联教材知识点,定位问题考点. 如上述考题证明解析几何中的倍角关系,实则考查的是等角关系构建,解析过程用到了直线斜率,故本质上是关于直线倾斜角与斜率的问题. 教学中建议引导学生逐句审题,全方位思考,定位考点,重点剖析突破.

2. 知识关联,形成体系

解析几何兼具代数与几何两大知识模块的特征,解析过程要充分把握曲线的函数与几何屬性,从“形”的角度审视图像,从“数”的角度逐步推理. 同时关注问题的知识关联,挖掘定义的几何意义,如离心率的几何意义、斜率运算中特值的几何意义等. 教学中注重引导学生充分探究圆锥曲线的知识考点,结合函数知识的研究方法,分析图形变化,推导定理公式,立足知识联系,构建完整的知识体系.

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