数学实验：提升学生数学思维能力的有效载体

俞连山

[摘  要] 数学实验是提升学生学习能力、发展学生数学思维能力的有效载体、媒介. 通过数学实验，能转变学生的学习方式，让学生的数学学习从被动转向主动、从离身转向具身. 作为教师，要立足整体进行谋划，通过顶层设计，让学生收获一些正本清源的原理认知、去芜存精的概念理解、敛聚而生的建模意识、刻骨铭心的活动经验.

[关键词] 初中数学;数学实验;思维能力提升

数学实验是融合学生数学思维与操作于一体的一种学习方式. 著名数学教育家波利亚曾经这样说过：“数学有两个侧面：其一是系统性的演绎科学;其二是具有试验性、创造性的归纳科学. ”借助于数学实验，能有效地发掘数学学科的育人功能，彰显数学学科的育人价值，同时能转变学生的学习方式，让学生的数学学习从被动转向主动、从离身转向具身. 数学实验是提升学生学习能力、发展学生数学思维能力的有效载体、媒介，正如欧拉所说：“数学这样的一门学科，既需要观察，更需要实验. ”数学实验能为学生数学学习提供良好的服务，能让学生个性化学习落地生根.

数学实验：让数学思维更有深度

初中生的数学思维，已经开始由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡. 发展学生的数学思维是初中数学教学的根本旨归. 提升学生的思维能力，不仅可以依靠逻辑推理，还可以依靠数学实验. 利用数学实验，不仅有助于学生对相关内容形成具体、形象的心理表征，更有助于学生展开深度思考、探究. 借助于數学实验，提升学生的学习能力，增进学生数学学习信念，引导学生全息洞察相关内容.

比如教学“角的平分线的性质”，很多教师总是直接示范如何作角的平分线，然后讲解角的平分线的性质，最后是对角的平分线的应用. 这样的教学，尽管也能让学生掌握作角的平分线的方法，但学生没有对角的平分线的作图法的深刻理解. 学生“知其然”，而“不知其所以然”. 因此，为突破这样的现象，笔者在教学中采用了数学实验的方式，引导学生经历角的平分线的建构过程.

问题：我们在纸上画一个角，如何才能得到它的平分线？我们在一个木板或钢板上如何得到一个角的平分线？（无法通过量角器测量，也无法折角等.）

观察：这里有一个角平分仪，如何用这种角平分仪来平分角？其背后的数学原理是什么？

实验：我们如何借助于尺规作图的方法作一个角的平分线？用尺规画角平分线与用角平分仪画角平分线有怎样的相似之处？

探究：角的平分线有什么性质？

应用：（略）.

通过这样的一个作角平分线的实验教学，让学生充分经历角平分线的作法的探究过程. 通过激发学生的认知冲突，引入生活中的角平分仪，对学生的思维、探究进行原型启发. 在此基础上借助于尺规作图的方法，引导学生建构角平分线，只有当学生深度把握了角平分线的内在数学本质，才能引导学生继续深入地探究角平分线的性质，助推学生对角平分线的灵活应用. 数学实验让学生的数学思维更有深度.

数学实验：让数学思维更有广度

在数学教学中，如果学生的思维缺乏联结，就会走向单子化、碎片化的状态;而数学实验，则能让学生将相关的数学知识联结起来，从而让学生的数学思维更具系统化. 如果学生在数学学习中，其认知、思维没有有效集结，就会呈现一种无序状态. 数学实验对于发展学生的数学思维是全方位、立体化的，它不仅包括“猜想—验证”，更包括“分析—探究”. 通过数学实验，能丰富数学学科的育人方式，彰显数学学科的育人价值和功能.

比如教学“圆周角”这一部分内容，首先和学生一起复习了圆心角的定义、性质. 不仅让学生简单地回顾，还要让学生借助于数学实验验证“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”. 在此基础上，让学生在圆周上任意取不同的三点A，B，C，进而建构出圆周角∠ACB. 接着，让学生借助于多媒体课件进行仿真性的实验操作并向他们提问：拖动圆周上的任意一点C，圆周角在这个过程中大小会发生变化吗？在圆外任意取一点P，然后连接AP，BP，拖动点P，∠APB的大小会发生变化吗？在圆内任意取一点P，然后连接AP，BP，仍然推动点P，∠APB的大小会发生变化吗？通过实验，让学生将相关的圆周角和圆心角的知识进行整合，这一过程有助于促进学生的类比思维的发展. 同时，笔者作了一个在圆上、以圆心角为顶角的等腰三角形，由此引导学生结合顶角（圆心角）、外角和底角之间的关系，让学生证明圆心角和圆周角之间的关系. 如此，将演绎与归纳、推理与实验相结合，让学生的数学思维更有广度.

数学实验：让数学思维更有效度

学生的数学思维具有独特性、广阔性、批判性、敏捷性和灵活性等特质. 在初中数学教学中，教师可以充分应用数学实验，引导学生从多个视角、多个层面、多个方向、多个结构去审视数学知识、建构数学知识，从而让学生的数学思维更有效度. 在初中数学教学中，通过自身活动获得的数学知识和能力，远远比别人强加的掌握得更加透彻. 为此，教师要让学生自己设计实验，引导学生交流实验方案，让学生认识到数学实验的可行性.

比如“无理数”概念比较抽象，从人类的认识历史来看，无理数的发现经历了曲折的过程. 对于初中生来说，无理数也是需要突破的一个理性认知. 为此，教师在教学中可以借助于数学实验，让学生积累感性的活动经验，为学生理解抽象的数学知识奠定坚实的基础. 在实验过程中，有部分学生借助于数轴这一数学认知作为有效载体，采用尺规作图的方法作出了无理数. 具体来说，就是先在数轴上作出一个距原点单位1的点，然后由原点竖直向上再作一个距原点单位1的点，连接作出的两个点，得到一个等腰直角三角形;以原点为圆心，等腰直角三角形的斜边为半径作弧，与数轴的交点就是的点. 有了这样的操作，学生纷纷探究用尺规作图的方法表示其他的无理数：有的学生在方格纸上，分别以边长1、边长2等的正方形的对角线画出了，等无理数，通过这样的方法，学生能感受到正方形的边长和面积之间的关系;有的学生用一把剪刀、两张同样大小的正方形纸片（边长为1），将这两张正方形纸片分别沿着对角线分成两个相等的等腰直角三角形，然后将这四个等腰直角三角形重新拼接成一个大正方形，这个大正方形的边长就是;有的学生受到了其他同学的启发，用五个边长为1的小正方形，通过分割拼成了边长为的大正方形，等等. 通过多样化的数学实验，学生从不同的实验视角、用不同的实验方法，积极地建构、创造出无理数的理解方法. 这样的实验过程，较之于教师的机械、重复、枯燥的说教，更有启发性、生命力.

数学实验，让数学思维更有创新度

数学实验应当是培育学生创新素养的重要载体、媒介，是学生数学创新的发动器、驱动器. 数学实验的目的不仅在于引导学生建构数学知识，更在于提升学生对知识的创造力、建构力. 数学实验打破了传统的“满堂灌”“满堂练”等数学教学格局，致力于生成学生的数学核心素养，培养学生的“数学的眼光”“数学的大脑”. 通过数学实验，让学生的数学思维更有创新度.

比如在引导学生探索“三角形全等条件”时，笔者借助于生活中一些具体的事例，让学生进行数学实验，通过画图、叠合等操作，激发学生猜想，并让学生验证自己的猜想，这样的一种学习方式，让学生的思维更有创新度. 由此，笔者设置了一个总体性的问题情境：有一块三角形形状的玻璃坏了，如何才能去买到一块完全相同的玻璃？这个问题能激发学生想办法去探索两个三角形全等的条件. 首先让学生在透明纸上画两个指定了一条边长度的三角形，然后让学生以小组合作的方式将这两个三角形的一条边重合，判断两个三角形是否重叠;在此基础上，让学生画两个指定了角的三角形，同样以小组合作的方式将两个角重合，判断两个三角形是否重叠;在此基础上，让学生增加一些条件，从而引导学生去猜想三角形全等的一些条件，如“三条边相等”“两条边和一个夹角相等”“两个角和一条边相等”，等等. 有了数学实验的操作，就能帮助学生积累相关的感性经验，从而为学生理性认识三角形全等的条件奠定坚实的基础.

数学实验是数学学科育人的重要载体，能启迪学生创新思维，让学生学会学习. 作为教师，要将学生的数学实验过程做深、做到位，要让学生的动手操作与动脑思维结合起来. 初中数学实验是一项创造性的学习，作为教师要立足整体进行谋划，通过顶层设计，让学生收获一些正本清源的原理认知、去芜存精的概念理解、敛聚而生的建模意识、刻骨铭心的活动经验.

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