踞数学思想高地，促学科素养提升

李捷生

[摘  要] 文章以“简单几何体外接球”为例，借助数学转换思想，通过图形转换、思维转换等方式，培养学生的模式化思维和载体化意识，培养学生的直观想象素养，促进学生实现深度学习，深化学生对知识的理解，提升学生的迁移能力.

[关键词] 数学思想;核心素养;直观想象素养;简单几何体;外接球

引言

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1]. 对此，部分教师在教学中进行了尝试，并取得了一定的成果. 比如培养学生的直观想象素养，朱贤良通过特殊几何体的结构特征来确定外接球球心的位置，梳理了部分规则几何体的解题思路[2];李健通过一节课堂实例，呈现了如何借助一个立体几何问题，提升学生的数学思维品质的具体范例[3];符强如在高三复习中，尝试通过将多面体外接球问题“模式化”，助力学生深度学习[4]. 这些尝试，在解决简单几何体外接球问题的技巧上提供了很好的借鉴方案，也为提升学生的直观想象素养提供了很好的范例.

在这些优秀同行的研究基础上，文章尝试从数学思想统领整个教学过程的角度出发，以“简单几何体外接球”教学为例，谈谈如何在转换思想[5]的引领下，培养学生的模式化思维和载体化意识，为提升学生的数学直观想象素养展示一条实施路径.

教學设计

1. 以圆柱为载体的外接球

教学中，引导学生分别从题4-1、题4-2的几何体棱长和底面垂直的特征中“萃取”线面垂直模型，从题4-3的几何体一个底面与其中一个侧面垂直的特征中“萃取”面面垂直模型，培养学生对知识的概括能力. 通过“问题链”的方式，引导学生寻求这两个特殊模型的解决方案，并通过类比推理，搭建起空间与平面思维的通道，实现思维的转换. 在教学过程中，教师启发学生思考并提出问题：“平面几何中，确定圆心的位置是解决圆的问题的关键，我们是如何确定圆心的？”“找圆心的方法可以类比到找球心的方法吗？”“圆中的弦该类比到球中的哪个几何元素呢？”通过一系列“问题链”的引导，类比新旧知识，进行思维转换的训练，构建获得新知的科学路径，引导学生注重知识之间的联系，渗透转换思想;通过新旧知识的类比，将解决平面几何问题的方法迁移至立体几何问题上，实现从空间到平面的转换，有助于学生对球问题的深度理解. 将条件特殊化后的两个模型的外接球问题（面面垂直、线面垂直）与平面中圆的两条垂直弦的模型进行类比，加深学生对前一次类比的理解. 通过数学思想的引领，提升学生的知识理解能力和迁移能力.

教学思考

1. 由图形转换提升学生的直观想象素养

学生直观想象素养的提升落实到“简单几何体外接球”的教学环节中，教师需要有意识地引导学生认识并理解图形之间的关系，借助图形的特性，将复杂图形的问题转换为简单图形的问题，将陌生的图形转换为熟悉的图形，帮助学生进行深度理解，培养学生的模式化思维和载体化意识.

在“以圆柱、圆锥为载体的外接球”的教学中，整个教学围绕“如何进行转换”展开，目的是让学生充分体会两次转换（见图5）的意义，引导学生借助图形的对称性及图形之间的转换，实现将特殊棱柱、棱锥问题转换为圆柱、圆锥问题，提升直观想象素养.

在“以长方体为载体的外接球”的教学中，以转换思想引领学生观察特殊三棱锥的特性，联想到长方体的棱垂直多、对角线相等的几何特性，将特殊三棱锥还原为长方体，实现特殊三棱锥模型与长方体模型的转换（见图6）. 一方面，教师应该培养学生关注几何体特殊性质的习惯，培养学生能从一般几何体中“萃取”某一类特殊几何体的能力，并能用直观形象的名称表达出有类别的特殊性质，这实际上就是学生直观想象素养在“能用数学的眼光看世界”“能用数学的语言表达世界”的一种具体表现形式. 另一方面，教师不仅要引导学生从多个视角去看待同一个几何体，而且还要引导学生用联系的眼光去看待多个几何体，从几何体之间的联系这个角度去直观感知几何体，掌握研究几何图形的基本方法，提升直观想象的素养[6].

2. 由思维转换提升学生的直观想象素养

史宁中认为：“几何教学，更好的教学过程应当是先讨论二维空间的情况，然后类比到三维空间的情况，最后抽象出一般n维空间.”[7]球作为圆在三维空间中的拓展，是提升学生直观想象素养很好的一个素材. 但是，由于学生原有的几何储备知识大部分属于二维平面知识，因此在实际的教学中，教师需要引导学生进行思维转换，将三维空间问题降维到他们熟悉的二维平面问题，然后调用二维平面中相应的知识进行类比并解决三维空间问题.

上述教学设计，目的是引导学生站在思想高度去看问题，培养学生高观点下思考问题的能力，通过图形转换和思维转换将简单几何体分别转化为圆柱模型、圆锥模型、长方体模型、垂直模型等四种模型，让学生参与并经历这些转化过程，促使学生更加关注图形特征、图形之间的联系，从而提升学生的直观想象素养. 另一方面，通过数学思想的引领，让学生感悟从整体的视角关注知识之间的联系，感悟从模型的视角去整合知识，有利于促进学生进行深度学习，深化学生对知识的理解，培养学生的模式化思维和载体化意识，提升学生的迁移能力.

结束语

张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的导向，以便掌握其精神实质. 只有把数学思想掌握了，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂.”素养的培养不可能一蹴而就，学生从理解到感悟需要一个过程，需要教师进行有意识的引导. 因此，教学活动需要数学思想作为引领，借助具体的知识作为载体，提升学生的数学核心素养，培养学生的知识理解、迁移、应用的能力.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  朱贤良. 众里寻“心”千百度 繁华落尽识真颜——确定多面体外接球球心位置的一般途径与四个特殊模型[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2019（21）.

[3]  李健. 直观把握数学本质动态提升思维品质——从教材中一个立体几何问题例谈变式教学[J]. 数学通报，2019（10）.

[4]  符强如. 巧建数学模型 助力深度学习——以模式化思想求解多面体外接球问题为例[J]. 高中数学教与学，2019（17）.

[5]  吴炯圻，林培榕. 数学思想方法：创新与应用能力的培养[M]. 厦门：厦门大学出版社，2009.

[6]  宋建辉. 基于学科核心素养的2019高考全国卷立体试题分析[J]. 数学通报，2020（01）.

[7]  史宁中. 数学思想概论（第4辑）——数学中的归纳推理[M]. 长春：东北师范大学出版社，2010.

2711501186206