高中数学中函数概念教学的遐思

田瑞华

[摘  要] 高中数学教学中函数概念教学要思考两个根本问题：如果说函数概念是最基本的概念，那么这种基本性体现在哪些方面？当数学教学面对着核心素养培育的任务，那么在核心素养的背景下，函数概念的教学应当有哪些新的理解与新的任务？从核心素养的角度来看，核心素养强调培养学生的必备品格以及关键能力，如果学生在理解了函数概念后，能够运用动态与联系的眼光去看待生活中的事物，那么也就意味着一种关键能力养成了. 核心素养是一个新的概念，有可能会引导今后很长一段时间内包括数学学科在内的高中教学的发展，因此教师有必要结合函数概念教学，进行一些前瞻性思考.

[关键词] 高中数学;数学教学;函数概念

作为高中数学体系中最重要的概念之一，函数概念一直是笔者非常感兴趣且高度重视的教学内容. 在很长一段时间内，函数概念教学往往围绕着如何让学生理解并掌握不同的函数，然后用之去解题，并根据学生的解题结果判断函数概念教学是否有效. 经过多次的教学与优化，应当说这一思路越来越适合当前数学教学评价的需要. 与此同时笔者发现，这样的教学思路也有一些不足，其中有两个根本问题需要思考：如果说函数概念是最基本的概念，那么这种基本性体现在哪些方面？当数学教学面对着核心素养培育的任务，那么在核心素养的背景下，函数概念的教学应当有哪些新的理解与新的任务？

诚然，这两个问题都是比较大的问题，回答这两个问题需要系列的研究. 限于篇幅，这里笔者不想进行宏大叙事的阐述，更想在实践的基础上谈谈笔者的一些初步思考.

[⇩] 在核心素养培育的视角下再思考函数概念

对于第一个问题的回答，既可以将研究的视角投向历史，又需要将研究的视角投向当下.

从历史的角度来看，函数概念的形成本质是函数思想的形成. 函数思想的形成又来自于对动态和变量的描述，正是因为对这两者的描述，才推进了函数思想的产生，并且随其发展，函数及其思想方法逐渐在整个数学中占有越来越重要的地位. 在中学代数中，函数逐渐从方程图解中分离开，并且函数解析式与函数图像成为联系中学代数与几何的重要纽带. 通过这一阐述可以发现，函数概念教学最为关键的就是要让学生理解动态、理解变化，在动态变化中要能够寻找到变量，然后发现变量之间的关系. 经历这样的过程，学生往往就能够清晰地认识到函数思想.

得出这一认识是非常有意义的，因为让学生在函数概念学习的基础上，进一步认识了函数的本质、理解了函数思想. 尽管从时间的角度来看，让学生在学习函数概念时体会函数思想需要花费更多的时间，但是只要学生认识到了函数思想，那么再教學所有类型的函数往往都能收到事半功倍之效.

从核心素养的角度来看，核心素养强调培养学生的必备品格以及关键能力，如果说学生在理解了函数概念后，能够运用动态与联系的眼光去看待生活中的事物，那么也就意味着一种关键能力养成了. 众所周知，函数是描述客观世界中变量之间的关系和规律的最为重要的数学模式，是研究其他数学领域的基本工具，有广泛的实际应用. 正因为如此，函数及应用是贯穿高中数学课程的主线. 在核心素养的背景下，以核心素养培育作为教学的远景目标，以教学函数概念及在教学中渗透函数思想作为载体，那就可以实现函数概念的教学过程与教学目标相吻合. 通过上面的分析可以发现，在高中函数概念的教学中，既思考历史又思考当下，既思考教学过程又思考教学目标，那就可以让教师更加立体地认识到函数概念的教学，同时也可以让学生学习函数的过程变得更加丰满.

[⇩] 基于核心素养培育的函数概念教学途径的探究

在上述理解的基础上，在核心素养的背景下，函数概念教学应当有新的设计思路以及教学实施的过程. 从教学设计思路的角度来看，函数概念教学的设计，既需要重视学生第一次形成的对函数概念的理解，又需要重视在第一次理解的基础上给学生提供一些新的情境，以进一步丰富学生的认识;从教学实施的角度来看，在函数概念的课堂教学中，教师要合理使用变式教学的方法教学生，靠着各式各样的实例，加深他们对映射的理解，以及透彻地认识函数概念. 下面是笔者的教学设计以及教学实施的流程：首先，为学生提供他们相对熟悉的素材，这些素材都包含着变化关系以及变量. 在上述分析的基础上，教师应当认识到这一教学环节的主要任务是让学生通过分析与综合，发现变量的存在以及变量之间的关系. 这种关系应当尽量由学生自主发现，教师只需在学生分析与综合的过程中遇到困难时进行提示或提供帮助.

其次，引导学生用数学语言描述变量之间的关系. 这里所说的数学语言主要是集合语言. 在上面所举的例子中，不同变量组成的集合是不一样的，让学生在集合的视角下去看待变量以及探究变量之间的关系：看待变量时，可以帮助学生认识定义域与值域，而探究这一关系的过程，也就是寻找对应法则的过程. 通常情况下，定义函数所用的数学语言往往是这样的：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 记作：y=f（x），x∈A. 而为了让学生理解这一定义，教师可以借助于变式思想，让学生分析以前学习过的一些简单的函数，如正比例函数、反比例函数、一次函数等. 这是一个学以致用的过程，有助于学生迅速地理解函数的定义.

再次，引导学生回顾函数概念的学习过程. 回顾的过程中，重点在于让学生认识到函数概念是如何建立起来的，这实际上是对变量之间关系的一次回顾. 只有当学生心中确认了函数是描述变量之间关系的一种数学模型，函数概念在学生的大脑里才不是一个单纯的抽象的数学概念，而是一个能够描述事物（变量）之间关系的数学概念.

通过上述的三个教学环节可以发现，学生理解函数概念的过程中，既有生活事例等作为思维的载体，又有对变量以及变化关系的理解. 在这个时候，笔者将函数发展史上的一段话转述给学生：有相互联系之二量，一量变而另一量随之变，定而随之定，则前量名曰变量而后量名曰函数. 这样的一段文字对于学生而言有文理结合之效，学生阅读起来兴趣盎然，因而能够进一步促进学生对函数概念深入理解.

[⇩] 基于核心素养对函数概念教学的前瞻性思考

在核心素养的视角下理解函数概念教学，固然意味着要通过函数这一重要概念去培养学生的关键能力. 函数是高中数学的重难点内容，也是培养高中学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的最佳素材之一. 虽然在初中已接触过函数概念，但由于高中的函数概念的视角不同、函数符号较抽象……所以学生仍然难以理解. 也正因为如此，函数概念教学不能流于定义表面，而是要真正促进学生理解函数概念. 与此同时，教师也应当认识到，函数概念在高中数学教学演变的过程中，曾经有过多种变化，因此在历史视角下理解函数概念也是非常必要的. 在我国的高中数学教材中，函数思想几乎贯穿了整个高中数学学习过程，教好了函数概念，也就教好了整个高中数学，这是因为学生在函数概念以及相关知识的学习过程中所形成的能力，是可以迁移到其他知识的学习过程中的.

核心素养是一个新的概念，有可能会在今后很长一段时间内引导数学教学的发展，因此教师有必要结合函数概念教学进行前瞻性思考. 所谓前瞻性思考，就是对今后一段时间内函数概念教学所面临的背景以及学习过程的判断，从函数概念的建立到各种复杂函数的学习，变化的是概念定义及其表示形式，不变的是函数思想;而从数学学科核心素养培育的角度来看，最为关键的就是让学生理解函数思想，让学生形成以动态的、变化的、联系的观点去看待生活事物. 明确了这一目标，再设计函数概念的教学过程，重点是让学生能够经历数学抽象、逻辑推理等过程，然后让学生带着建模的思路去建立函数模型，这样既秉承于函数思想的渗透，同时又满足了核心素养培育的需要.

综上所述，在高中数学教学中，面对函数这样一个最重要的概念，教师应当坚持从函数概念发展的历史脉络出发，从核心素养培育的需要出发，努力想方设法让函数思想植根于学生的思维. 只有这样才能促进学生深入理解函数概念，并以之带动整个高中数学的高效教学.

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