“综合与实践”教学中渗透模型思想的策略与建议——以设计遮阳篷为例*

温建红 邓宏伟 (西北师范大学教育学院 730070)

1 问题提出

数学教学除了要关注学生的基本知识和基本技能，还要重视渗透数学基本思想、积累基本活动经验．模型思想作为数学基本思想之一，是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，其背景往往是来自于现实生活或者跨学科中的情境，具有跨学科、综合性强的特点．如何结合具体内容向学生渗透模型思想，是数学教师面对的重要课题．在数学教学中，教师除了要在日常课堂教学中渗透模型思想，还要创造机会，让学生经历通过建立模型解决问题的数学活动，促使学生在数学建模过程中感悟模型思想，掌握数学建模的方法．

在义务教育数学课程四大学习领域中，“综合与实践”是较为独特的一块内容，它是以问题为载体、以学生自主参与为主，综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题的学习活动，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口；注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用．[1]“综合与实践”综合性强，问题解决特点明显，在数学教材中有多个专题内容供教师选择，如果教师在教学中能给予重视，是渗透模型思想很好的素材．下面结合具体的例子，探讨在“综合与实践”教学中渗透模型思想的策略．

2 在“综合与实践”教学中渗透模型思想的策略

数学教学中渗透模型思想，要展现建模的过程和主要环节．建立和求解模型的过程主要包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义．[1]简单而言，渗透模型思想要凸显三个方面：发现和提出问题、建立模型、求出结果并讨论．“设计遮阳篷”是北师大版数学九年级下册“综合与实践”中的内容[2]，下面就以它为例，来说明如何在“综合与实践”教学中渗透模型思想．

2.1 在已有问题基础上，引导学生发现和提出更为本质的问题

问题是渗透模型思想的起点，在一般的“综合与实践”中，已经有了较为明确的问题，但对数学建模而言，则需要让学生经历从现实生活或具体情境中抽象出数学问题．这就需要教师结合实际情境，在已有问题的基础上引导学生发现和提出更为本质的问题．

在设计遮阳篷中，原来的问题是：假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为h(即图1的AB)．此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α(图1的∠BDC)，最大夹角为β(∠ADC)．请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

图1

结合情境，通过分析发现，解决问题的关键是找到遮阳篷长度CD与h，α，β的关系，那么如何确定α，β就成为关键．

从问题解决来看，当知道居民所在地，能知道的就是所在地的纬度θ．从教材所给的表发现，只要知道所在地的纬度θ，就能得到α，β的值，如果能找到θ与α，β的关系，就能得到CD与θ的关系．这样，只要给出任意一个北半球的地点，就能根据所在地的纬度，得到遮阳篷长度CD．为此，可以在原来问题的基础上提出更为一般的问题：如果要为北半球任意地区的窗户设计遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，该如何设计？

2.2 分析问题，建立模型

为了建立北半球任意地区遮阳篷的模型，教师要引导学生思考：为什么夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角β能达到最大；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角α能达到最小？β与α的本质是什么？对于β与α的值，有没有一般的计算公式？从七年级地理教科书可知[3]，β与α分别是夏至日正午太阳高度角和冬至日正午太阳高度角，为了得到正午太阳高度角，需要知道当地纬度．与前面问题中角α和β相比，当地纬度相对较为容易查得或测量[4]．因此，为了建立北半球地区的遮阳篷模型，需要建立北半球地区夏至日和冬至日的正午太阳高度角的计算公式．正午太阳高度角公式来源于义务教育数学课程标准(2011年版)中关于地球运动的“活动建议”[1]，同时又高于义务教育地理课程标准．考虑到学生现阶段的知识储备(学习了圆的知识、三角形、平行线及浅显的地球运动等相关知识)与接受能力，只探讨特定两日的正午太阳高度角的计算，以降低学生建模难度．

如图2和图3分别是太阳直射北回归线和南回归线时的情况，记B地的纬度为θ(23°26′<θ<90°)，点B的正午太阳高度角为H，当太阳垂直照射的点A在23°26′N时(图2)，点B的正午太阳高度角为H=90°-(θ-23°26′)；当太阳垂直照射的点A在23°26′S时(图3)，B点的正午太阳高度角为H=90°-(θ+23°26′)．

图2 图3

2.3 结果与讨论

在得到遮阳篷长度模型后，需要对遮阳篷长度进行误差分析以改善模型．在建模过程中，始终将地球视为正球体，而实际上地球是一个赤道略鼓、两极稍扁的椭球体．因此，在地理学中纬度的类型不止一个，所谓地理纬度(也称测地纬度)，是指测站的铅垂线与赤道平面的夹角；而地心纬度，指的是“测站-地心”连线与赤道平面的夹角．由于地表面是扁的旋转椭球面(极半径a=6 356.755 km，赤道半径b=6 378.140 km)，所以除了两极、赤道 ，同一地点的地理纬度与地心纬度都不相等．[5]大地纬度(地理纬度，或测地纬度)与地心纬度的差值随地心纬度的变化都是先增大后减小，极值点在45°附近，其中大地纬度与地心纬度的差值最大约为11′32.7″．[6]因为本研究假设地球形状是正球体，所以夏至日和冬至日的正午太阳高度角模型采用的纬度类型是“球心纬度”．而现今关于几种纬度关系的差异分析大多是基于高等数学的方法，随着对地球形状认识的加深，将逐步逼近地球的真实形状． 对于误差的解决，可以采用将遮阳篷设计成可收缩的，就能较好地解决这个问题．给出遮阳篷模型的适用范围后，把北回归线与北极圈的纬度分别代入模型，得到北回归线以北到北极圈的遮阳篷长度在0 m到1.88 m之间．

在数学建模结束后，教师要带领学生对整个模型建立的过程进行回顾和反思：建模过程用到了什么概念，这些概念起到了什么关键作用？(如遮阳篷模型得以建立的关键概念就是正午太阳高度角)．建模经历了哪些步骤？遇到了哪些困难？(建立夏至日与冬至日的正午太阳高度角公式)建模过程中还用到了其他哪些学科知识？用到了什么技术？使用了什么技能？为什么建立的模型需要检验和完善？教师还可以在此问题的基础上，拓展太阳高度角在其他方面的应用：确定地方；确定房屋的朝向；确定当地的地理纬度；确定日期、日影长短及方向；确定楼距、楼高；调整太阳能热水器的倾角；判断山地自然带在南坡和北坡的分布高度等．

3 在“综合与实践”教学中渗透模型思想的建议

3.1 选择适当的“综合与实践”内容开展数学建模

义务教育数学教科书中“综合与实践”内容丰富多彩，形式多样，但并不是所有内容都适合通过数学建模来组织．这就要求教师在教学时除了要有培养学生数学建模素养的意识，还要对“综合与实践”的内容进行深入研究，将比较适合数学建模的内容挑选出来．首先，教师要通过对“综合与实践”内容的研究，判断其中是否包含某种数学模型，这种模型是否具有典型性和广泛的应用性，然后结合学生现有认知水平，考虑能否通过数学建模的方式来开展教学．例如，在北师大版初中数学教材“综合与实践”中，除了“设计遮阳篷”，还有“哪个城市夏天更热”“池塘里有多少鱼”“哪种方式更合算”“制作视力表”“哪一款手机资费套餐更合适”等，它们都比较适合通过数学建模来学习．其次，数学建模除了应用数学知识解决实际问题，还能应用它来解决其他数学问题．教师在组织数学建模学习中，既要看到问题的特殊性，又要看到模型应用的普遍性．如“设计遮阳篷”问题，表面看只是关于遮阳篷的问题，问题情境较为特殊，但当构建起数学模型，会发现其中包含的几何图形结构与函数模型却在三角函数有关计算、测量物体的高度等很多问题中有广泛的应用．

3.2 开展数学建模活动要有STEAM教育理念

随着国际上STEAM教育的兴起，加强科学、技术、工程、艺术与数学的联系，通过不同学科相互关联的知识解决问题，实现跨越学科界限、从多学科知识综合应用的角度，提高学生解决实际问题的能力已成为国际教育界的共识．[7]“综合与实践”内容的最大特点是综合性强，很多问题的解决不仅仅涉及数学学科知识，还可能包含物理、地理、工程、技术、艺术等很多其他学科知识．这就要求数学教师在组织数学建模活动时，必须有STEAM教育理念，引导学生打破学科壁垒，运用跨学科知识解决问题的意识．同时，还要有与其他学科教师合作，一起探索解决问题的意识．回顾遮阳篷模型的建立过程，其中不仅用到了数学知识，还有很多地理学科的知识；而遮阳篷的外形到底设计成直线形、圆弧形还是抛物线形？这既要考虑设计的艺术性，还要兼顾遮阳篷能否伸缩等实用性问题；在此过程中，更离不开测量、动手操作等各种工程与技术方面的知识，整个数学建模过程几乎包含了STEAM教育的所有元素．

3.3 要重视数学建模的过程

在“综合与实践”中开展数学建模，教师可以将课内与课外学习结合起来，给学生较为充分的时间和空间，采取小组合作学习等灵活多样的教学方式，让学生在不断探索中经历数学建模的全过程．发现和提出问题是数学建模的起点，教师要以此为契机，培养学生发现和提出数学问题的能力；分析问题、建立模型是数学建模的关键环节，教师要引导学生通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，得到数学模型；[8]当模型构建起来后，教师还要让学生对其做检验，进一步修正和完善所建立的数学模型．学生只有经历数学建模的全过程，才能切身感受到数学建模的好处，体会到数学建模的特点，学会运用数学建模解决问题的方法，使数学建模素养得到提高．

3.4 建模过程中教师要适当引导

数学建模过程涉及到现实生活的问题或者跨学科的问题，对于学生具有挑战性，正因为如此，对培养学生的资料收集能力、自学能力、问题提出能力、创新能力具有重要作用．但考虑到学生的认知能力和实际能力，教师需要在适当时机进行引导．如夏至日和冬至日全球正午太阳高度角的计算，既是一个跨学科问题，又是一个数学内部知识之间的综合问题(圆、平行线的性质、三角函数等知识的综合)；在最后得出遮阳篷长度模型，求解最大值最小值时，需要教师来帮助完成，最简便的方式是通过几何画板作出图象，学生大概估计出一个范围；同时在误差分析上教师需要从感性分析过渡到理性分析，简要介绍人类认识地球形状的不同阶段．总之，整个建模过程要在教师不失时机的引导下完成．